2021-2022學年廣東省惠州市龍門縣高二年級下冊學期期中數(shù)學試題【含答案】

2021-2022學年廣東省惠州市龍門縣高級中學高二下學期期中數(shù)學試題一、單選題1．設集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)交集并集的定義即可求出.【詳解】，，.故選：C.2．函數(shù)y＝1＋x＋的部分圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意比較函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象的特征，逐項判斷即可得解.【詳解】當x＝1時，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A、C；當x→＋∞時，y→＋∞，排除B.故選：D.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的識別，抓住函數(shù)圖象的差異是解題關(guān)鍵，屬于基礎題.3．已知點，，點在函數(shù)圖象的對稱軸上，若，則點的坐標是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】由二次函數(shù)對稱軸設出點坐標，再由向量垂直的坐標表示計算可得．【詳解】由題意函數(shù)圖象的對稱軸是，設，因為，所以，解得或，所以或，故選：C．4．若復數(shù)滿足，則的虛部等于（

）A．4 B．2 C．-2 D．-4【答案】C【分析】利用復數(shù)的運算性質(zhì)，化簡得出.【詳解】若復數(shù)滿足，則，所以的虛部等于.故選：C.5．現(xiàn)有5位老師，若每人隨機進入兩間教室中的任意一間聽課，則恰好全都進入同一間教室的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概型概率公式，結(jié)合分步計數(shù)原理，計算結(jié)果.【詳解】5位老師，每人隨機進入兩間教室中的任意一間聽課，共有種方法，其中恰好全都進入同一間教室，共有2種方法，所以.故選：B6．的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和是（

）A．0 B． C． D．32【答案】D【分析】根據(jù)的二項展開式系數(shù)之和為求解即可【詳解】的二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為故選：D7．下圖是某項工程的網(wǎng)絡圖(單位:天)，則從開始節(jié)點①到終止節(jié)點⑧的路徑共有（）A．14條 B．12條 C．9條 D．7條【答案】B【分析】根據(jù)分步乘法計算原理即可求解.【詳解】由圖可知，由①④有3條路徑，由④⑥有2條路徑，由⑥⑧有2條路徑，根據(jù)分步乘法計算原理可得從①⑧共有條路徑.故選：B8．某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（）A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B．越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】D【分析】由正態(tài)分布的特征，對四個選項一一判斷，即可得到正確答案.【詳解】對于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；對于D，因為該物理量一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤，故選：D．二、多選題9．將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（

）A．若，則是偶函數(shù)B．若，則在區(qū)間上單調(diào)遞減C．若，則的圖象關(guān)于點對稱D．若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AC【分析】由函數(shù)平移得，討論、，結(jié)合正余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷奇偶、對稱性以及上的單調(diào)性，即可得答案.【詳解】由題設，，時，為偶函數(shù)，在上有，遞增，故A正確，B錯誤；時，，此時，，即關(guān)于點對稱，在上有，不單調(diào)，故C正確，D錯誤.故選：AC10．已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識進行求解.【詳解】對于A，，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：ABD【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).11．下列統(tǒng)計量中，能度量樣本的離散程度的是（

）A．樣本的標準差 B．樣本的中位數(shù)C．樣本的極差 D．樣本的平均數(shù)【答案】AC【分析】考查所給的選項哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢即可確定正確選項.【詳解】由標準差的定義可知，標準差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；故選：AC.12．已知點在圓上，點、，則（

）A．點到直線的距離小于B．點到直線的距離大于C．當最小時，D．當最大時，【答案】ACD【分析】計算出圓心到直線的距離，可得出點到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當最大或最小時，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項正確.故選：ACD.【點睛】結(jié)論點睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點到直線的距離的取值范圍是.三、填空題13．如圖，在數(shù)軸上，一個質(zhì)點在外力的作用下，從原點O出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，共移動6次，則事件“質(zhì)點位于的位置”的概率為___________.【答案】【分析】理解題意構(gòu)建數(shù)學模型，利用排列組合進行解題.【詳解】由圖可知，若想通過6次移動最終停在-2的位置上，則必然需要向右移動2次且向左移動4次，記向右移動一次為R，向左移動一次為L，則該題可轉(zhuǎn)化為RRLLLL六個字母排序的問題，故落在-2上的排法為所有移動結(jié)果的總數(shù)為，所有落在-2上的概率為故答案為：14．雙曲線的漸近線方程是____________．【答案】【分析】由雙曲線的方程可知，，即可直接寫出其漸近線的方程.【詳解】由雙曲線的方程為，可知，；則雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.15．曲線在點(0，1)處的切線方程為________．【答案】【分析】對函數(shù)求導，將代入可得切線斜率，進而得到切線方程．【詳解】解：，切線的斜率為則切線方程為，即故答案為：16．在的展開式中，含項的系數(shù)為________【答案】【分析】寫出展開式的通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項后即可得解.【詳解】展開式的通項為，令，可得，因此，展開式中含項的系數(shù)為.故答案為：.四、解答題17．在，角所對的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．【答案】（I）；（II）；（III）【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可計算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳解】（I）因為，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.18．已知點，分別是正方形的邊，的中點.現(xiàn)將四邊形沿折起，使二面角為直二面角，如圖所示.（1）若點，分別是，的中點，求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）要證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證明面面平行；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可知平面，再結(jié)合線面角的定義，可得得到直線與平面所成角的正弦值.【詳解】證明：（1）連接，設點為的中點，連接，，在中，又因為點為中點，所以.同理可證得，又因為，分別為正方形的邊，的中點，故，所以.又因為，所以平面平面.又因為平面，所以平面.（2）因為為正方形，，分別是，的中點，所以四邊形為矩形，則.又因為二面角為直二面角，平面平面，平面，所以平面，則為直線在平面內(nèi)的射影，因為為直線與平面所成的角.不妨設正方形邊長為，則，在中，，因為平面，平面，所以，在中，，，即為直線與平面所成角的正弦值.19．購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得10000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立．已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為．（Ⅰ）求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率；（Ⅱ）設保險公司開辦該項險種業(yè)務除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應交納的最低保費（單位：元）．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）15元【詳解】各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是，記投保的10000人中出險的人數(shù)為，則．（Ⅰ）記表示事件：保險公司為該險種至少支付10000元賠償金，則發(fā)生當且僅當，，又，故．（Ⅱ）該險種總收入為元，支出是賠償金總額與成本的和．支出，盈利，盈利的期望為，由知，，．（元）．故每位投保人應交納的最低保費為15元．20．已知拋物線的頂點在坐標原點，橢圓的頂點分別為，，，，其中點為拋物線的焦點，如圖所示.（1）求拋物線的標準方程；（2）若過點的直線與拋物線交于，兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點，求拋物線方程；（2）首先設出直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，并利用韋達定理表示，并利用，求直線的斜率，驗證后，即可得到直線方程.【詳解】解：（1）由橢圓可知，，所以，，則，因為拋物線的焦點為，可設拋物線方程為，所以，即.所以拋物線的標準方程為.（2）由橢圓可知，，若直線無斜率，則其方程為，經(jīng)檢驗，不符合要求.所以直線的斜率存在，設為，直線過點，則直線的方程為，設點，，聯(lián)立方程組，消去，得.①因為直線與拋物線有兩個交點，所以，即，解得，且.由①可知，所以，則，因為，且，所以，解得或，因為，且，所以不符合題意，舍去，所以直線的方程為，即.21．設Sn是正項數(shù)列{an}的前n項和，且．(1)求a1的值；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．【答案】(1)3(2)an＝2n＋1【分析】（1）根據(jù)可以求出；（2）根據(jù)以及所給的遞推關(guān)系，可以求出.【詳解】(1)由所給條件知，當n＝1時，整理得，由于，得；(2)由條件得，

，①-②得，整理得：（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0，因為：an＋an－1＞0，∴an－an－1＝2（n≥2），是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，

，故.22．已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）