2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修二人教B版（魯京遼）講義：第一章 立體幾何初步1.2.2 第3課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精第3課時(shí)平面與平面平行學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握平面與平面的位置關(guān)系，會(huì)判斷平面與平面的位置關(guān)系。2。學(xué)會(huì)用圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示平面間的位置關(guān)系。3。掌握空間中面面平行的判定定理及性質(zhì)定理，并能應(yīng)用這兩個(gè)定理解決問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一平面與平面平行的判定思考三角板的兩條邊所在直線分別與平面α平行，這個(gè)三角板所在平面與平面α平行嗎？答案平行．梳理平面平行的判定定理及推論判定定理推論文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面平行符號(hào)語(yǔ)言l?α，m?α，l∥β，m∥β，l∩m＝A?α∥βa∥c，b∥d,a∩b＝A，a?α，b?α,c?β，d?β?α∥β圖形語(yǔ)言知識(shí)點(diǎn)二平面與平面平行的性質(zhì)觀察長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的兩個(gè)面：平面ABCD及平面A1B1C1D1。思考1平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎?答案是的．思考2過(guò)BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1與BC是什么關(guān)系？答案平行．

梳理平面平行的性質(zhì)定理及推論性質(zhì)定理推論文字語(yǔ)言如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例符號(hào)語(yǔ)言α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b?a∥bα∥β∥γ，m∩α＝A，m∩β＝B，m∩γ＝C，n∩α＝E，n∩β＝F，n∩γ＝G?eq\f（AB,BC)＝eq\f(EF，F(xiàn)G)圖形語(yǔ)言1．若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線都與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行．（×)2．若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線,則這兩個(gè)平面平行．（√）3．如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(√）類(lèi)型一平面與平面平行的判定例1如圖所示，在正方體AC1中，M，N,P分別是棱C1C，B1C1,C1D1的中點(diǎn)，求證：平面MNP∥平面A1BD。證明如圖,連接B1C。由已知得A1D∥B1C，且MN∥B1C，∴MN∥A1D.又∵M(jìn)N?平面A1BD，A1D?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD。連接B1D1，同理可證PN∥平面A1BD.又∵M(jìn)N?平面MNP,PN?平面MNP，且MN∩PN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD。引申探究若本例條件不變,求證：平面CB1D1∥平面A1BD.證明因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1為正方體，所以DD1綊BB1，所以BDD1B1為平行四邊形，所以BD∥B1D1。又BD?平面CB1D1,B1D1?平面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1，同理A1D∥平面CB1D1。又BD∩A1D＝D，所以平面CB1D1∥平面A1BD。反思與感悟判定平面與平面平行的四種常用方法（1)定義法：證明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，通常采用反證法．（2)利用判定定理:一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面．證明時(shí)應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條與另一個(gè)平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線．（3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條直線分別平行，則α∥β.(4)利用平行平面的傳遞性:若α∥β，β∥γ，則α∥γ.跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn),G，H分別是AB,AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；（2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)因?yàn)镚，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以GH是△A1B1C1的中位線，所以GH∥B1C1。又因?yàn)锽1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C,H，G四點(diǎn)共面．（2）因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn),所以EF∥BC.因?yàn)镋F?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因?yàn)锳1G∥EB，A1G＝EB,所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB。因?yàn)锳1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG。因?yàn)锳1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG。類(lèi)型二面面平行性質(zhì)的應(yīng)用命題角度1與面面平行性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算例2如圖，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直線AB與CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34,求CS的長(zhǎng)．證明設(shè)AB，CD共面γ，因?yàn)棣谩搔粒紸C，γ∩β＝BD，且α∥β,所以AC∥BD,所以△SAC∽△SBD,所以eq\f(SC,SC＋CD)＝eq\f(SA,SB)，即eq\f(SC,SC＋34)＝eq\f(8，9)，所以SC＝272.引申探究若將本例改為：點(diǎn)S在平面α，β之間(如圖)，其他條件不變，求CS的長(zhǎng)．解設(shè)AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.因?yàn)棣痢桅?，所以AC與BD無(wú)公共點(diǎn)，所以AC∥BD，所以△ACS∽△BDS，所以eq\f（AS，BS）＝eq\f(CS，DS)。設(shè)CS＝x，則eq\f(x，34－x)＝eq\f（8，9)，所以x＝16，即CS＝16.反思與感悟應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟跟蹤訓(xùn)練2如圖所示,平面α∥平面β,△ABC，△A′B′C′分別在α，β內(nèi)，線段AA′,BB′，CC′共點(diǎn)于O，O在平面α和平面β之間，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2,則△A′B′C′的面積為_(kāi)_______．答案eq\f（4\r(3)，9)解析AA′，BB′相交于O，所以AA′，BB′確定的平面與平面α,平面β的交線分別為AB，A′B′，有AB∥A′B′,且eq\f（OA，OA′)＝eq\f（AB，A′B′)＝eq\f(3，2),同理可得eq\f（OA，OA′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(3,2)，eq\f(OA,OA′)＝eq\f（BC,B′C′)＝eq\f(3,2），所以△ABC，△A′B′C′面積的比為9∶4，又△ABC的面積為eq\r(3）,所以△A′B′C′的面積為eq\f(4\r(3），9）。命題角度2利用面面平行證明線線平行例3如圖所示，平面四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C,D均在平行四邊形A′B′C′D′外，且AA′，BB′,CC′，DD′互相平行，求證:四邊形ABCD是平行四邊形．證明∵四邊形A′B′C′D′是平行四邊形，∴A′D′∥B′C′。∵A′D′?平面BB′C′C，B′C′?平面BB′C′C,∴A′D′∥平面BB′C′C。同理AA′∥平面BB′C′C.∵A′D′?平面AA′D′D，AA′?平面AA′D′D,且A′D′∩AA′＝A′，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C。又∵AD，BC分別是平面ABCD與平面AA′D′D，平面BB′C′C的交線，∴AD∥BC.同理可證AB∥CD。∴四邊形ABCD是平行四邊形．反思與感悟本例充分利用了?A′B′C′D′的平行關(guān)系及AA′，BB′，CC′，DD′間的平行關(guān)系,先得出線面平行，再得面面平行，最后由平面平行的性質(zhì)定理得線線平行．跟蹤訓(xùn)練3如圖,已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中點(diǎn)，求證:四邊形BED1F是平行四邊形．證明如圖,連接AC，BD，交點(diǎn)為O，連接A1C1,B1D1，交點(diǎn)為O1,連接BD1,EF，OO1,設(shè)OO1的中點(diǎn)為M,由正方體的性質(zhì)可得四邊形ACC1A1為矩形．又因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，所以EF過(guò)OO1的中點(diǎn)M，同理四邊形BDD1B1為矩形，BD1過(guò)OO1的中點(diǎn)M，所以EF與BD1相交于點(diǎn)M，所以E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面．又因?yàn)槠矫鍭DD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，所以ED1∥BF。同理，EB∥D1F.所以四邊形BED1F是平行四邊形．類(lèi)型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例4設(shè)AB,CD為夾在兩個(gè)平行平面α，β之間的線段，且直線AB，CD為異面直線，M,P分別為AB，CD的中點(diǎn)．求證：MP∥平面β.證明如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD交平面β于點(diǎn)E,連接DE，BE?！逜E∥CD,∴AE，CD確定一個(gè)平面，設(shè)為γ，則α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.又α∥β,∴AC∥DE（平面平行的性質(zhì)定理)，取AE的中點(diǎn)N，連接NP，MN,∵M(jìn)，P分別為AB,CD的中點(diǎn)，∴NP∥DE，MN∥BE.又NP?β，DE?β,MN?β，BE?β，∴NP∥β，MN∥β，∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β?！進(jìn)P?平面MNP，MP?β，∴MP∥β。反思與感悟線線平行、線面平行、面面平行是一個(gè)有機(jī)的整體,平行關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理是轉(zhuǎn)化平行關(guān)系的關(guān)鍵，其內(nèi)在聯(lián)系如圖所示：跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí),使得平面D1BQ∥平面PAO？解當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面D1BQ∥平面PAO.∵Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)，連接PQ，如圖，易證四邊形PQBA是平行四邊形，∴QB∥PA。又∵AP?平面APO，QB?平面APO，∴QB∥平面APO.∵P，O分別為DD1，DB的中點(diǎn),∴D1B∥PO。同理可得D1B∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO。1．下列命題中正確的是()A．一個(gè)平面內(nèi)兩條直線都平行于另一平面，那么這兩個(gè)平面平行B．如果一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行C．平行于同一直線的兩個(gè)平面一定相互平行D．如果一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)多條直線都平行于另一平面,那么這兩個(gè)平面平行答案B解析如果一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面,即兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn),則兩平面平行，所以B正確．2．在正方體EFGH－E1F1G1H1中,下列四對(duì)平面彼此平行的一對(duì)是（）A．平面E1FG1與平面EGH1B．平面FHG1與平面F1H1GC．平面F1H1H與平面FHE1D．平面E1HG1與平面EH1G答案A解析如圖,∵EG∥E1G1，EG?平面E1FG1,E1G1?平面E1FG1,∴EG∥平面E1FG1。又G1F∥H1E，同理可證H1E∥平面E1FG1,又H1E∩EG＝E,∴平面E1FG1∥EGH1。3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ,且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，則交線a，b,c,d的位置關(guān)系是()A．互相平行 B．交于一點(diǎn)C．相互異面 D．不能確定答案A解析由平面與平面平行的性質(zhì)定理知，a∥b，a∥c,b∥d，c∥d，所以a∥b∥c∥d，故選A。4．若平面α∥平面β,a?α，下列說(shuō)法正確的是________．①a與β內(nèi)任一直線平行；②a與β內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行；③a與β內(nèi)任一直線不垂直；④a與β無(wú)公共點(diǎn)．答案②④解析∵a?α，α∥β，∴a∥β,∴a與β無(wú)公共點(diǎn)，④正確；如圖,在正方體中，令線段B1C1所在的直線為a，顯然a與β內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，故②正確;又AB⊥B1C1，故在β內(nèi)存在直線與a垂直，故①③錯(cuò)誤．5．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM＝DN.求證:MN∥平面AA1B1B。證明如圖,作MP∥BB1交BC于點(diǎn)P，連接NP,∵M(jìn)P∥BB1，∴eq\f（CM，MB1)＝eq\f（CP,PB）.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN,∴eq\f（CM，MB1)＝eq\f（DN,NB），∴eq\f（CP，PB)＝eq\f(DN,NB），∴NP∥CD∥AB.∵NP?平面AA1B1B，AB?平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B。∵M(jìn)P∥BB1，MP?平面AA1B1B，BB1?平面AA1B1B,∴MP∥平面AA1B1B.又∵M(jìn)P?平面MNP,NP?平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵M(jìn)N?平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.1．常用的平面與平面平行的其他幾個(gè)性質(zhì)(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面．（2）夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等．(3)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行．2．空間中各種平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的示意圖一、選擇題1．已知α，β是兩個(gè)不重合的平面，下列選項(xiàng)中，一定能得出平面α與平面β平行的是（）A．平面α內(nèi)有一條直線與平面β平行B．平面α內(nèi)有兩條直線與平面β平行C．平面α內(nèi)有一條直線與平面β內(nèi)的一條直線平行D．平面α與平面β不相交答案D解析選項(xiàng)A、C不正確,因?yàn)閮蓚€(gè)平面可能相交；選項(xiàng)B不正確，因?yàn)槠矫姒羶?nèi)的這兩條直線必須相交才能得到平面α與平面β平行；選項(xiàng)D正確,因?yàn)閮蓚€(gè)平面的位置關(guān)系只有相交與平行兩種．故選D。2。如圖，若經(jīng)過(guò)D1B的平面分別交AA1和CC1于點(diǎn)E，F(xiàn),則四邊形D1EBF的形狀是(）A．矩形B．菱形C．平行四邊形D．正方形答案C解析因?yàn)槠矫婧妥笥覂蓚€(gè)側(cè)面分別交于ED1,BF,所以ED1∥BF，同理D1F∥EB,所以四邊形D1EBF是平行四邊形．3．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有（)A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)答案D解析由圖知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1,平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4對(duì)．4.如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC,α分別交線段PA,PB,PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則S△A′B′C′∶S△ABC等于（)A．2∶25 B．4∶25C．2∶5 D．4∶5答案B解析∵平面α∥平面ABC，平面PAB與它們的交線分別為A′B′，AB,∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC,易得△ABC∽△A′B′C′，S△A′B′C′∶S△ABC＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(A′B′,AB)）)2＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（PA′，PA）))2＝eq\f（4,25)。5．已知a，b表示直線，α，β表示平面，下列選項(xiàng)正確的是（)A．α∩β＝a，b?α?a∥bB．α∩β＝a,a∥b?b∥α且b∥βC．a(chǎn)∥β，b∥β，a?α,b?α?α∥βD．α∥β,α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b答案D解析A中α∩β＝a，b?α，a，b可能平行也可能相交；B中α∩β＝a，a∥b，則可能b∥α，也可能b在平面α或β內(nèi);C中a∥β，b∥β，a?α，b?α，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理，若加上條件a∩b＝A，則α∥β.故選D。6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中,M為棱A1D1的動(dòng)點(diǎn),O為底面ABCD的中心,E，F(xiàn)分別是A1B1，C1D1的中點(diǎn)，則下列平面中與OM掃過(guò)的平面平行的是()A．面ABB1A1 B．面BCC1B1C．面BCFE D．面DCC1D1答案C解析取AB、DC的中點(diǎn)分別為E1和F1，OM掃過(guò)的平面即為面A1E1F1D1（如圖），故面A1E1F1D1∥面BCFE。7．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中,E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)推斷：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1;④平面EFG∥平面BC1D1。其中推斷正確的是（)A．①③B．①④C．②③D．②④答案A解析∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn),G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，∴FG∥BC1。∵BC1∥AD1,∴FG∥AD1，∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D,故①正確；∵EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交,∴EF與平面BC1D1相交，故②錯(cuò)誤；∵FG∥BC1，F(xiàn)G?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，F(xiàn)G∥平面BC1D1，故③正確；∵EF與平面BC1D1相交，∴平面EFG與平面BC1D1相交，故④錯(cuò)誤．故選A。二、填空題8．如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內(nèi)的平行投影A1B1C1D1是一個(gè)平行四邊形,則四邊形ABCD的形狀一定是________形．答案平行四邊解析由夾在兩平行平面間的平行線段相等可得．9。如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中,過(guò)BB1的中點(diǎn)E作一個(gè)與平面ACB1平行的平面交AB與M，交BC與N，則eq\f(MN,AC)＝________。答案eq\f（1，2）解析∵平面MNE∥平面ACB1，由平面平行的性質(zhì)定理可得EN∥B1C,EM∥B1A，又∵E為BB1的中點(diǎn),∴M，N分別為BA，BC的中點(diǎn)，∴MN＝eq\f（1,2）AC.即eq\f(MN，AC)＝eq\f(1,2).10．已知三棱柱ABC－A1B1C1，D，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1,CC1的中點(diǎn)，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是________．答案平行解析∵D,E,F分別是棱AA1,BB1，CC1的中點(diǎn),∴在平行四邊形AA1B1B與平行四邊形BB1C1C中,DE∥AB，EF∥BC，又DE?平面ABC，EF?平面ABC，∴DE∥平面ABC,EF∥平面ABC。又DE∩EF＝E,∴平面DEF∥平面ABC.11．如圖所示的正方體的棱長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為A1D1，AA1的中點(diǎn)，過(guò)C1，E,F的截面的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案4eq\r(5）＋6eq\r（2）解析由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1與平面EFC1的交線為BC1,平面EFC1與平面ABB1A1的交線為BF，所以截面周長(zhǎng)為EF＋FB＋BC1＋C1E＝4eq\r（5)＋6eq\r（2）.

三、解答題12。如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中點(diǎn)，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N。求證：N為AC的中點(diǎn)．證明∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N,∴C1N∥AM，又AC∥A1C1,∴四邊形ANC1M為平行四邊形，∴AN＝C1M＝eq\f（1，2)A1C1＝eq\f(1，2）AC，∴N為AC的中點(diǎn)．13．