2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步精致講義選修1-1北師大版：第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用2.2 第2課時

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時函數(shù)最值的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.2.會利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題及恒成立問題．知識點(diǎn)一生活中的優(yōu)化問題1．生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．2．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)最值．3．解決優(yōu)化問題的基本思路:上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學(xué)建模過程．知識點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)在不等式問題中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)證明不等式及解決不等式恒成立問題的基本思路是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題加以解決．1．用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是建立函數(shù)模型．（√)2．恒成立問題可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題．（√）3．用導(dǎo)數(shù)證明不等式可以通過構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)大于等于0或小于等于0。（√)類型一幾何中的最值問題例1如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目(即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm,兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm),能使矩形廣告面積最??？考點(diǎn)幾何類型的優(yōu)化問題題點(diǎn)面積的最值問題解設(shè)廣告的高和寬分別為xcm，ycm,則每欄的高和寬分別為x－20，eq\f(y－25，2），其中x〉20，y>25.兩欄的面積之和為2(x－20）·eq\f（y－25,2）＝18000，由此得y＝eq\f（18000,x－20)＋25.廣告的面積S＝xy＝xeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(18000，x－20)＋25）)＝eq\f（18000x,x－20）＋25x，∴S′＝eq\f（18000[x－20－x］,x－202)＋25＝eq\f（－360000，x－202)＋25.令S′〉0,得x>140，令S′〈0,得20<x〈140?！嗪瘮?shù)在（140，＋∞）上是增加的，在(20，140）上是減少的，∴S（x)的最小值為S(140)．當(dāng)x＝140時,y＝175。即當(dāng)x＝140,y＝175時，S取得最小值24500，故當(dāng)廣告的高為140cm,寬為175cm時,可使廣告的面積最?。此寂c感悟平面圖形中的最值問題一般涉及線段、三角形、四邊形等圖形，主要研究與面積相關(guān)的最值問題，一般將面積用變量表示出來后求導(dǎo)數(shù)，求極值，從而求最值．跟蹤訓(xùn)練1把邊長為a的正三角形鐵皮的三個角切去三個全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起（如圖)，做成一個無蓋的正三角形鐵皮箱，當(dāng)箱底邊長為多少時，箱子容積最大?最大容積是多少?考點(diǎn)幾何類型的優(yōu)化問題題點(diǎn)幾何體體積的最值問題解設(shè)箱底邊長為x，則箱高為h＝eq\f(\r（3)，3)×eq\f（a－x,2）（0〈x〈a），箱子的容積為V(x）＝eq\f（1，2）x2×sin60°×h＝eq\f(1，8）ax2－eq\f(1，8)x3(0〈x〈a)，則V′(x)＝eq\f（1，4)ax－eq\f（3，8）x2。令V′（x）＝0，解得x1＝0(舍)，x2＝eq\f(2,3）a，當(dāng)x∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（2,3)a）)時，V′(x)>0；當(dāng)x∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2,3)a,a))時,V′(x)〈0,所以函數(shù)V（x）在x＝eq\f（2,3)a處取得極大值，這個極大值就是函數(shù)V(x）的最大值，Veq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2,3)a））＝eq\f(1，8）a×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2，3)a))2－eq\f(1，8）×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2,3）a)）3＝eq\f（1，54）a3.所以當(dāng)箱子底邊長為eq\f(2,3)a時，箱子容積最大,最大容積為eq\f(1，54）a3.類型二函數(shù)的最值與不等式的證明例2已知函數(shù)f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R,a∈R。(1）求f（x)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2)求證：當(dāng)a〉ln2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1.(1)解由f（x)＝ex－2x＋2a知,f′（x）＝ex－2,x∈R，令f′(x）＝0，得x＝ln2.當(dāng)x變化時，f′（x）及f(x)的變化情況如下表:x(－∞，ln2）ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘2（1－ln2＋a）↗故f(x）在區(qū)間（－∞，ln2）上是減少的,在區(qū)間（ln2，＋∞）上是增加的,f（x)在x＝ln2處取得極小值，極小值為2（1－ln2＋a），無極大值．(2)證明設(shè)g(x）＝ex－x2＋2ax－1,x∈R,于是g′(x）＝ex－2x＋2a，由（1)知g′(x）的最小值為2（1－ln2＋a），當(dāng)a>ln2－1時,g′（x）〉0,故g(x）在R上是增加的，所以x〉0時g(x）>g（0）＝0，即ex〉x2－2ax＋1。反思與感悟利用函數(shù)的最值證明不等式常用的方法與步驟(1）構(gòu)造函數(shù)．（2）利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性、最值(或值域)．(3)將其歸結(jié)為函數(shù)的最值或值域問題．（4)證明函數(shù)y＝f(x）的最大（小）值大于0或小于0,或逆用單調(diào)性定義得出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2證明：當(dāng)x∈[0,1]時，eq\f(\r（2）,2)x≤sinx≤x.證明記F（x)＝sinx－eq\f（\r（2)，2）x，則F′（x）＝cosx－eq\f（\r(2）,2)。當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(π，4)）)時,F′（x）〉0,F(x）在eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，4)))上是增加的;當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，4），1)）時，F(xiàn)′（x）〈0,F（x)在eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1)）上是減少的；又F（0）＝0，F(xiàn)（1)〉0，所以當(dāng)x∈［0,1］時，F(xiàn)(x）≥0，即sinx≥eq\f(\r（2)，2）x。記H(x)＝sinx－x，則當(dāng)x∈(0，1）時，H′(x）＝cosx－1<0,所以H（x)在［0,1]上是減少的，則H（x)≤H(0)＝0，即sinx≤x.綜上，eq\f（\r(2）,2）x≤sinx≤x，x∈[0,1］．類型三與最值有關(guān)的恒成立問題例3已知函數(shù)f（x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－eq\f（2,3)與x＝1處都取得極值．（1)求a，b的值及函數(shù)f（x)的單調(diào)區(qū)間．（2）若對任意x∈［－1，2］，不等式f（x）〈c2恒成立，求c的取值范圍．考點(diǎn)函數(shù)最值的應(yīng)用題點(diǎn)恒成立中參數(shù)的取值范圍解(1)由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x）＝3x2＋2ax＋b，因?yàn)閒′（1）＝3＋2a＋b＝0，f′eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(2，3)））＝eq\f(4,3)－eq\f（4，3）a＋b＝0，解得a＝－eq\f（1,2),b＝－2，所以f′（x)＝3x2－x－2＝（3x＋2)（x－1），當(dāng)x變化時,f′（x),f(x）的變化情況如下表：xeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－∞，－\f(2，3))）－eq\f（2,3)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（2,3)，1）)1(1,＋∞）f′(x)＋0－0＋f（x）↗極大值↘極小值↗所以函數(shù)f（x)的遞增區(qū)間為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f（2,3）））和(1，＋∞)；遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1））.（2）由(1)知，f（x）＝x3－eq\f(1，2）x2－2x＋c，x∈［－1，2],當(dāng)x＝－eq\f（2,3）時，feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（2，3)））＝eq\f（22,27）＋c為極大值，因?yàn)閒(2）＝2＋c,所以f(2）＝2＋c為最大值．要使f(x）<c2（x∈［－1,2]）恒成立，只需c2〉f（2）＝2＋c,解得c<－1或c>2。故c的取值范圍為(－∞,－1）∪（2,＋∞)．反思與感悟解決恒成立問題，常用方法是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，通過分離參數(shù)，要使m>f(x)恒成立，只需m>f(x）的最大值即可,同理，要使m<f（x)恒成立，只需m<f(x）的最小值即可．跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)＝xlnx．若對所有x≥1都有f(x）≥ax－1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．題點(diǎn)函數(shù)最值的應(yīng)用題點(diǎn)恒成立中參數(shù)的取值范圍解由題意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞）上恒成立，即不等式a≤lnx＋eq\f（1，x)在x∈［1,＋∞)上恒成立．令g(x)＝lnx＋eq\f(1，x)，則g′(x）＝eq\f（1，x)－eq\f(1,x2）＝eq\f（x－1，x2)，當(dāng)x〉1時，g′(x)〉0，故g（x)在(1,＋∞）上是增加的，所以g(x）的最小值是g（1）＝1。因此a≤g（x）min＝g（1)＝1,故a的取值范圍為(－∞,1］。1．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y（單位：萬元)與年產(chǎn)量x（單位:萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f（1，3）x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大的年利潤的年產(chǎn)量為（)A．13萬件 B．11萬件C．9萬件 D．7萬件考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題答案C解析∵x〉0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x），令y′＝0，解得x＝9，∴當(dāng)x∈(0,9）時，y′〉0,當(dāng)x∈(9，＋∞)時，y′〈0,y先增加后減少．∴當(dāng)x＝9時函數(shù)取最大值,故選C.2．在某城市的發(fā)展過程中，交通狀況逐漸受到更多的關(guān)注，據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從上午6時到9時,車輛通過該市某一路段的用時y(分鐘)與車輛進(jìn)入該路段的時刻t之間的關(guān)系可近似地用函數(shù)表示為y＝－eq\f(1,8）t3－eq\f(3，4)t2＋36t－eq\f（629,4),則在這段時間內(nèi)，通過該路段用時最多的時刻是（)A．6時B．7時C．8時D．9時考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點(diǎn)有關(guān)函數(shù)類型的其他問題答案C解析y′＝－eq\f（3,8)t2－eq\f（3,2)t＋36＝－eq\f（3，8）（t2＋4t－96)＝－eq\f(3,8)（t＋12）（t－8),當(dāng)t∈（6,8）時，y′>0，當(dāng)t∈(8,9)時，y′〈0，故t＝8時，y取最大值．3．容積為256的方底無蓋水箱，它的高為________時最省材料．考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問題答案4解析設(shè)水箱高為h，底面邊長為a，則a2h＝256，其表面積為S＝a2＋4ah＝a2＋4a·eq\f（256,a2)＝a2＋eq\f（210，a)(a〉0)．令S′＝2a－eq\f（210,a2）＝0，得a＝8。當(dāng)0〈a〈8時，S′<0;當(dāng)a〉8時,S′〉0，故當(dāng)a＝8時，S最小，此時h＝eq\f（28，82）＝4.4．要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器，已知底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元,則該容器的最低總造價是________元．考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問題答案160解析設(shè)底面長為x，由題意得底面寬為eq\f(4,x)。設(shè)總造價為y，則y＝20x×eq\f（4，x）＋10×1×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋2×\f(4,x）））,即y＝20x＋eq\f（80，x）＋80，y′＝20－eq\f(80,x2)，令y′＝0，得x＝2.∴當(dāng)x＝2時,ymin＝160(元）．5．已知函數(shù)f（x)＝ex－2x＋a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．答案(－∞，2ln2－2］解析函數(shù)f（x)＝ex－2x＋a有零點(diǎn)，即方程ex－2x＋a＝0有實(shí)根，即函數(shù)g（x）＝2x－ex與y＝a有交點(diǎn)，而g′(x)＝2－ex，可知函數(shù)g（x)＝2x－ex在(－∞,ln2）上是增加的,在(ln2，＋∞)上是減少的，所以g（x)＝2x－ex的值域?yàn)?－∞，2ln2－2］，所以要使函數(shù)g(x）＝2x－ex與y＝a有交點(diǎn)，只需a≤2ln2－2即可．1．正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解是解應(yīng)用題的主要思路．另外需要特別注意(1）合理選擇變量，正確給出函數(shù)表達(dá)式．(2）與實(shí)際問題相聯(lián)系．（3）必要時注意分類討論思想的應(yīng)用．2．“恒成立"問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題．一、選擇題1．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時，原油溫度（單位:℃)為f（x)＝eq\f(1,3）x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時變化率的最小值是()A．8 B.eq\f（20，3）C．－1 D．－8考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點(diǎn)有關(guān)函數(shù)類型的其他問題答案C解析原油溫度的瞬時變化率f′（x)＝x2－2x＝(x－1）2－1(0≤x≤5)，所以當(dāng)x＝1時，原油溫度的瞬時變化率取得最小值－1。2．若x∈［0，＋∞），則下列不等式恒成立的是()A．ex≤1＋x＋x2B。eq\f(1，\r（1＋x））≤1－eq\f（1,2）x＋eq\f（1，4)x2C．cosx≥1－eq\f(1,2）x2D．ln（1＋x）≥x－eq\f（1，8）x2答案C解析設(shè)f（x)＝cosx＋eq\f（1,2)x2－1，則f′(x）＝－sinx＋x≥0(x≥0），f(x）在［0,＋∞)上是增加的，f（x)≥f(0)＝0,故cosx≥1－eq\f(1,2)x2.3．若底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時底面邊長為(）A。eq\r(3,V） B。eq\r（3,2V)C。eq\r(3,4V） D．2eq\r（3，V）考點(diǎn)幾何類型的優(yōu)化問題題點(diǎn)面積的最值問題答案C解析設(shè)底面邊長為x，則表面積S＝eq\f（\r(3)，2）x2＋eq\f(4\r(3)，x)V（x〉0）．∴S′＝eq\f（\r（3），x2）（x3－4V）．令S′＝0，得x＝eq\r(3,4V)。可判斷得當(dāng)x＝eq\r(3,4V)時，直棱柱的表面積最?。?．用邊長為120cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去一個小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接成水箱,則水箱最大容積為(）A．120000cm3 B．128000cm3C．150000cm3 D．158000cm3考點(diǎn)幾何類型的優(yōu)化問題題點(diǎn)幾何體體積的最值問題答案B解析設(shè)水箱底邊長為xcm，則水箱高h(yuǎn)＝60－eq\f(x，2）(cm）,水箱容積V（x)＝x2h＝60x2－eq\f(x3,2）（0<x〈120），則V′（x)＝120x－eq\f(3，2)x2。令V′(x)＝0，得x＝0(舍去）或x＝80?？膳袛嗟卯?dāng)x＝80cm時，V取最大值為128000cm3.5．圓柱形金屬飲料罐的體積一定，要使生產(chǎn)這種金屬飲料罐所用的材料最省,它的高與底面半徑比為（)A．2∶1 B．1∶2C．1∶4 D．4∶1考點(diǎn)幾何類型的優(yōu)化問題題點(diǎn)面積的最值問題答案A解析設(shè)其體積為V，高與底面半徑分別為h，r，則V＝πr2h，即h＝eq\f（V，πr2）。由題意知，表面積S最小時所用材料最?。甋＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πreq\f（V，πr2)＝2πr2＋eq\f（2V,r），令S′＝4πr－eq\f(2V,r2)＝0，得r＝eq\r(3,\f(V，2π）)，當(dāng)r＝eq\r(3,\f(V,2π))時,h＝eq\f（V,π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\f（V,2π))）)2）＝eq\r(3,\f（4V,π）)。則h∶r＝2∶1時，表面積S最?。?．某公司租地建倉庫，每月土地占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比．如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元,那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫的建造位置到車站的距離為()A．4千米B．5千米C．6千米D．7千米考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)解決費(fèi)用最省問題答案B解析依題意可設(shè)每月土地占用費(fèi)y1＝eq\f（k1，x)(k1>0），每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2＝k2x（k2>0)，其中x是倉庫到車站的距離,于是由2＝eq\f（k1，10)，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝eq\f（4,5)。因此兩項(xiàng)費(fèi)用之和為y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x，5），y′＝－eq\f(20,x2)＋eq\f（4,5)。令y′＝0,得x＝5（x＝－5舍去）,此點(diǎn)即為最小值點(diǎn)．故當(dāng)倉庫建在離車站5千米處時,兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小．7．某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進(jìn)一批商品．若該商品零售價定為p，銷售量為q，且銷售量q（單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關(guān)系：q＝8300－170p－p2，則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進(jìn)貨支出)(）A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元考點(diǎn)函數(shù)類型的優(yōu)化問題題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解最大利潤問題答案D解析由題意知毛利潤w＝(p－20)(8300－170p－p2)＝－p3－150p2＋11700p－166000,w′＝－3p2－300p＋11700，令w′＝0,得p＝30或p＝－130(舍）．∵只有唯一一個極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，∴當(dāng)p＝30時，wmax＝23000元．8．已知函數(shù)f(x）＝eq\f(1,2)x4－2x3＋3m，x∈R,若f（x）＋9≥0恒成立，則m的取值范圍是()A．m≥eq\f(3，2） B．m>eq\f（3,2)C．m≤eq\f(3,2) D．m<eq\f(3，2）考點(diǎn)函數(shù)最值的應(yīng)用題點(diǎn)恒成立中參數(shù)的取值范圍答案A解析∵f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x）＝0,得x＝0或x＝3，驗(yàn)證可知x＝3是函數(shù)的最小值點(diǎn)，故f(x)min＝f(3)＝3m－eq\f(27，2）,由f(x）＋9≥0恒成立，得f(x）≥－9恒成立，即3m－eq\f（27,2)≥－9,∴m≥eq\f(3,2）。二、填空題9．已知函數(shù)f（x)＝2lnx＋eq\f(a，x2）（a＞0），若當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f（x）≥2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案[e，＋∞）解析由f(x)≥2，得a≥2x2－2x2lnx。設(shè)g（x)＝2x2－2x2lnx，則g′(x）＝2x(1－2lnx)，令g′（x)＝0，得x＝eeq\f（1,2）或x＝0（舍去），因?yàn)楫?dāng)0＜x＜eeq\f（1,2)時,g′(x）＞0；當(dāng)x＞eeq\f(1，2)時，g′(x)＜0.所以當(dāng)x＝eeq\f（1,2)時,g（x)取得最大值g（eeq\f（1，2))＝e，故a≥e。10．如果圓柱軸截面的周長l為定值,則體積的最大值為________．考點(diǎn)幾何類型的優(yōu)化問題題點(diǎn)幾何體體積的最值問題答案eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(l，6))）3π解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，體積為V，則4r＋2h＝l，∴h＝eq\f(l－4r，2）,V＝πr2h＝eq\f（l，2)πr2－2πr3eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0<r〈\f(l，4）)）,則V′＝lπr－6πr2,令V′＝0，得r＝0(舍)或r＝eq\f（l,6），∴r＝eq\f(l，6)是其唯一的極值點(diǎn)，∴當(dāng)r＝eq\f（l,6)時，V取得最大值，最大值是eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(l，6）））3π.11．若不等式x3－eq\f(9，2)x2>2－a對實(shí)數(shù)x∈[－1,＋∞)恒成立，則a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(31，2），＋∞))解析設(shè)f(x)＝x3－eq\f(9，2）x2，令f′(x)＝3x2－9x＝0，得x＝0或x＝3。當(dāng)－1≤x〈0時，f′（x）〉0；當(dāng)0〈x<3時，f′（x）〈0;當(dāng)x〉3時,f′(x）〉0，所以當(dāng)x＝3時，f（x）取得極小值f（3）＝－eq\f(27,2），又f（－1)＝－eq\f(11,2）>－eq\f(27，2），所以f(x）的最小值為－eq\f(27,2）,從而f（x)min＝－eq\f(27,2)〉2－a，所以a〉eq\f（31,2)。三、解答題12．一火車鍋爐每小時煤消耗費(fèi)用與火車行駛速度的立方成正比，已知當(dāng)速度為20km/h時，每小時消耗的煤價值40元，其他費(fèi)用每小時需200元,火車的最高速度為100km/h，則火車以何速度行駛才能使從甲城開往乙城的總費(fèi)用最少?解設(shè)速度為xkm/h，甲、乙兩城距離為akm.則總費(fèi)用f（x)＝(kx3＋200）·eq\f(a,x)＝aeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(kx2＋\f(200,x））).由已知條件，得40＝k·203，∴k＝eq\f(1,200)，∴f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，200）x2＋\f（200,x）））。令f′（x）＝eq\f(ax3－20000，100x2）＝0，得x＝10eq\r（3,20）.當(dāng)0〈x<10eq\r（3,20）時,f′（x)〈0；當(dāng)10eq\r（3，20）〈x<100時，f′(x）〉0?！喈?dāng)x＝10eq\r(3,20）時,f（x）有最小值,即速度為10eq\r（3,20）km/h時,總費(fèi)用最少．13．已知函數(shù)f（x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R）．(1）若函數(shù)f(x)在x＝－1和x＝3處取得極值,試求a，b的值；(2)在（1)的條件下，當(dāng)x∈［－2，6]時，f（x）<2｜c(diǎn)|恒成立，求c的取值范圍．解（1）f′(x)＝3x2－2ax＋b，∵函數(shù)f（x)在x＝－1和x＝3處取得極值,∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的兩根．∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－1＋3＝\f(2,3)a,,－1×3＝\f(b，3)，)）∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－9.）)(2）由(1）知f(x）＝x3－3x2－9x＋c,f′（x)＝3x2－6x－9。當(dāng)x變化時，f′(x)，f（x）隨x的變化如下表：x(－∞，－1）－1（－1，3）3(3，＋∞）f′(x)＋0－0＋f（x）↗極大值c＋5↘極小值c－27↗而f(－2）＝c－2，f(6）＝c＋54,∴當(dāng)x∈[－2,6]時,f（x）的最大值為c＋54，要使f（x)〈2|c｜恒成立,只要c＋54〈2|c|即可,當(dāng)c≥0時,c＋54<2c，∴c〉54；當(dāng)c<0時，c＋54<