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微專題05函數(shù)的對稱性與周期性一、基礎(chǔ)知識(一)函數(shù)的對稱性1、對定義域的要求:無論是軸對稱還是中心對稱,均要求函數(shù)的定義域要關(guān)于對稱軸(或?qū)ΨQ中心)對稱2、軸對稱的等價描述:(1)關(guān)于軸對稱(當(dāng)時,恰好就是偶函數(shù))(2)關(guān)于軸對稱在已知對稱軸的情況下,構(gòu)造形如的等式只需注意兩點,一是等式兩側(cè)前面的符號相同,且括號內(nèi)前面的符號相反;二是的取值保證為所給對稱軸即可。例如:關(guān)于軸對稱,或得到均可,只是在求函數(shù)值方面,一側(cè)是更為方便(3)是偶函數(shù),則,進(jìn)而可得到:關(guān)于軸對稱。①要注意偶函數(shù)是指自變量取相反數(shù),函數(shù)值相等,所以在中,僅是括號中的一部分,偶函數(shù)只是指其中的取相反數(shù)時,函數(shù)值相等,即,要與以下的命題區(qū)分:若是偶函數(shù),則:是偶函數(shù)中的占據(jù)整個括號,所以是指括號內(nèi)取相反數(shù),則函數(shù)值相等,所以有②本結(jié)論也可通過圖像變換來理解,是偶函數(shù),則關(guān)于軸對稱,而可視為平移了個單位(方向由的符號決定),所以關(guān)于對稱。3、中心對稱的等價描述:(1)關(guān)于軸對稱(當(dāng)時,恰好就是奇函數(shù))(2)關(guān)于軸對稱在已知對稱中心的情況下,構(gòu)造形如的等式同樣需注意兩點,一是等式兩側(cè)和前面的符號均相反;二是的取值保證為所給對稱中心即可。例如:關(guān)于中心對稱,或得到均可,同樣在求函數(shù)值方面,一側(cè)是更為方便(3)是奇函數(shù),則,進(jìn)而可得到:關(guān)于軸對稱。①要注意奇函數(shù)是指自變量取相反數(shù),函數(shù)值相反,所以在中,僅是括號中的一部分,奇函數(shù)只是指其中的取相反數(shù)時,函數(shù)值相反,即,要與以下的命題區(qū)分:若是奇函數(shù),則:是奇函數(shù)中的占據(jù)整個括號,所以是指括號內(nèi)取相反數(shù),則函數(shù)值相反,所以有②本結(jié)論也可通過圖像變換來理解,是奇函數(shù),則關(guān)于中心對稱,而可視為平移了個單位(方向由的符號決定),所以關(guān)于對稱。4、對稱性的作用:最突出的作用為“知一半而得全部”,即一旦函數(shù)具備對稱性,則只需要分析一側(cè)的性質(zhì),便可得到整個函數(shù)的性質(zhì),主要體現(xiàn)在以下幾點:(1)可利用對稱性求得某些點的函數(shù)值(2)在作圖時可作出一側(cè)圖像,再利用對稱性得到另一半圖像(3)極值點關(guān)于對稱軸(對稱中心)對稱(4)在軸對稱函數(shù)中,關(guān)于對稱軸對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反;在中心對稱函數(shù)中,關(guān)于對稱中心對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同(二)函數(shù)的周期性1、定義:設(shè)的定義域為,若對,存在一個非零常數(shù),有,則稱函數(shù)是一個周期函數(shù),稱為的一個周期2、周期性的理解:可理解為間隔為的自變量函數(shù)值相等3、若是一個周期函數(shù),則,那么,即也是的一個周期,進(jìn)而可得:也是的一個周期4、最小正周期:正由第3條所說,也是的一個周期,所以在某些周期函數(shù)中,往往尋找周期中最小的正數(shù),即稱為最小正周期。然而并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期,比如常值函數(shù)5、函數(shù)周期性的判定:(1):可得為周期函數(shù),其周期(2)的周期分析:直接從等式入手無法得周期性,考慮等間距再構(gòu)造一個等式:所以有:,即周期注:遇到此類問題,如果一個等式難以推斷周期,那么可考慮等間距再列一個等式,進(jìn)而通過兩個等式看能否得出周期(3)的周期分析:(4)(為常數(shù))的周期分析:,兩式相減可得:(5)(為常數(shù))的周期(6)雙對稱出周期:若一個函數(shù)存在兩個對稱關(guān)系,則是一個周期函數(shù),具體情況如下:(假設(shè))①若的圖像關(guān)于軸對稱,則是周期函數(shù),周期分析:關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱的周期為②若的圖像關(guān)于中心對稱,則是周期函數(shù),周期③若的圖像關(guān)于軸對稱,且關(guān)于中心對稱,則是周期函數(shù),周期7、函數(shù)周期性的作用:簡而言之“窺一斑而知全豹”,只要了解一個周期的性質(zhì),則得到整個函數(shù)的性質(zhì)。(1)函數(shù)值:可利用周期性將自變量大小進(jìn)行調(diào)整,進(jìn)而利用已知條件求值(2)圖像:只要做出一個周期的函數(shù)圖象,其余部分的圖像可利用周期性進(jìn)行“復(fù)制+粘貼”(3)單調(diào)區(qū)間:由于間隔的函數(shù)圖象相同,所以若在上單調(diào)增(減),則在上單調(diào)增(減)(4)對稱性:如果一個周期為的函數(shù)存在一條對稱軸(或?qū)ΨQ中心),則存在無數(shù)條對稱軸,其通式為證明:關(guān)于軸對稱函數(shù)的周期為關(guān)于軸對稱注:其中(3)(4)在三角函數(shù)中應(yīng)用廣泛,可作為檢驗答案的方法二、典型例題:例1:設(shè)為定義在上的奇函數(shù),,當(dāng)時,,則__________思路:由可得:的周期,考慮將用中的函數(shù)值進(jìn)行表示:,此時周期性已經(jīng)無法再進(jìn)行調(diào)整,考慮利用奇偶性進(jìn)行微調(diào):,所以答案:例2:定義域為的函數(shù)滿足,當(dāng)時,,則()A.B.C.D.思路:由,可類比函數(shù)的周期性,所以考慮將向進(jìn)行轉(zhuǎn)化:答案:D小煉有話說:雖然不是周期函數(shù),但函數(shù)值關(guān)系與周期性類似,可理解為:間隔2個單位的自變量,函數(shù)值呈2倍關(guān)系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法,將自變量向已知范圍進(jìn)行靠攏。例3:定義在上的函數(shù)對任意,都有,則等于()A.B.C.D.思路:由及所求可聯(lián)想到周期性,所以考慮,所以是周期為4的周期函數(shù),故,而由已知可得,所以答案:D例4(2022山東):定義在上的函數(shù)滿足,則的值為()A.B.C.D.思路:所給的特點為才有解析式能夠求值,而只能通過減少自變量的取值,由所求可聯(lián)想到判斷是否具有周期性,時,,則有,兩式相加可得:,則,即在時周期是6,故,而答案:C小煉有話說:(1)本題的思路依然是將無解析式的自變量通過函數(shù)性質(zhì)向含解析式的自變量靠攏,而數(shù)較大,所以考慮判斷函數(shù)周期性。(2)如何快速將較大自變量縮至已知范圍中?可利用帶余除法除以周期,觀察余數(shù)。則被除數(shù)的函數(shù)值與余數(shù)的函數(shù)值相同,而商即為被除數(shù)利用周期縮了多少次達(dá)到余數(shù)。例如本題中,從而(3)本題推導(dǎo)過程中也有其用處,其含義是間隔為3的自變量函數(shù)值互為相反數(shù),相比周期,它的間隔更小,所以適用于利用周期縮小自變量范圍后,進(jìn)行“微調(diào)”從而將自變量放置已知區(qū)間內(nèi)例5:函數(shù)是周期為的偶函數(shù),當(dāng)時,,則不等式在上的解集為___________思路:從已知出發(fā)可知時,為增函數(shù),且,所以時,,時,,由偶函數(shù)可得:時,,時,。從而可作出草圖。由所解不等式可將分為兩部分,當(dāng)時,,所以,當(dāng)時,,所以,綜上解集為:答案:例6:已知是定義在上的函數(shù),滿足,當(dāng)時,,則函數(shù)的最小值為()A.B.C.D.思路:由可得是周期為2的周期函數(shù),所以只需要求出一個周期內(nèi)的最值即可。由可得為奇函數(shù),所以考慮區(qū)間,在時,,所以,而由于為奇函數(shù),所以在時,,所以即為在的最小值,從而也是在上的最小值答案:B例7:已知定義域為的函數(shù)滿足,且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,如果,且,則的值()A.可正可負(fù)B.恒大于0C.可能為0D.恒小于0思路一:題目中給了單調(diào)區(qū)間,與自變量不等關(guān)系,所求為函數(shù)值的關(guān)系,從而想到單調(diào)性,而可得,因為,所以,進(jìn)而將裝入了中,所以由可得,下一步需要轉(zhuǎn)化,由可得關(guān)于中心對稱,所以有。代入可得,從而思路二:本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合更便于求解。先從分析出關(guān)于中心對稱,令代入到可得。中心對稱的函數(shù)對稱區(qū)間單調(diào)性相同,從而可作出草圖。而,即的中點位于的左側(cè),所以比距離更遠(yuǎn),結(jié)合圖象便可分析出恒小于0答案:D小煉有話說:(1)本題是單調(diào)性與對稱性的一個結(jié)合,入手點在于發(fā)現(xiàn)條件的自變量關(guān)系,與所求函數(shù)值關(guān)系,而連接它們大小關(guān)系的“橋梁”是函數(shù)的單調(diào)性,所以需要將自變量裝入同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)。而對稱性起到一個將函數(shù)值等價轉(zhuǎn)化的作用,進(jìn)而與所求產(chǎn)生聯(lián)系(2)數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵點有三個:第一個是中心對稱圖像的特點,不僅僅是單調(diào)性相同,而且是呈“對稱”的關(guān)系,從而在圖像上才能看出的符號;第二個是,進(jìn)而可知;第三個是,既然是數(shù)形結(jié)合,則題中條件也要盡可能轉(zhuǎn)為圖像特點,而表現(xiàn)出中點的位置,從而能夠判斷出距離中心對稱點的遠(yuǎn)近。例8:函數(shù)的定義域為,若與都是奇函數(shù),則()A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.D.是奇函數(shù)思路:從已知條件入手可先看的性質(zhì),由為奇函數(shù)分別可得到:,所以關(guān)于中心對稱,雙對稱出周期可求得,所以不正確,且由已知條件無法推出一定符合。對于選項,因為,所以,進(jìn)而可推出關(guān)于中心對稱,所以為圖像向左平移個單位,即關(guān)于對稱,所以為奇函數(shù),正確答案:D例9:已知定義域為的函數(shù)在上只有和兩個零點,且與都是偶函數(shù),則函數(shù)在上的零點個數(shù)為()A.B.C.D.思路:已知區(qū)間僅是,而所求區(qū)間為,跨度如此之大,需要函數(shù)性質(zhì)。從條件入手為偶函數(shù)可得關(guān)于軸對稱,從而判斷出是周期函數(shù),且,故可以考慮將以10為周期分組,先判斷出一個周期內(nèi)零點的個數(shù),再乘以組數(shù),加上剩余部分的零點即可解:為偶函數(shù)關(guān)于軸對稱為周期函數(shù),且將劃分為關(guān)于軸對稱在中只含有四個零點而共組所以在中,含有零點共兩個所以一共有806個零點答案:C小煉有話說:(1)周期函數(shù)處理零點個數(shù)時,可以考慮先統(tǒng)計一個周期的零點個數(shù),再看所求區(qū)間包含幾個周期,相乘即可。如果有不滿一個周期的區(qū)間可單獨統(tǒng)計(2)在為周期函數(shù)分段時有一個細(xì)節(jié):“一開一閉”,分段的要求時“不重不漏”,所以在給周期函數(shù)分段時,一端為閉區(qū)間,另一端為開區(qū)間,不僅達(dá)到分段要求,而且每段之間保持隊型,結(jié)構(gòu)整齊,便于分析。(3)當(dāng)一個周期內(nèi)含有對稱軸(或?qū)ΨQ中心)時,零點的統(tǒng)計不能僅限于已知條件,而要看是否由于對稱產(chǎn)生新的零點。其方法一是可以通過特殊值的代入,二是可以通過圖像,將零點和對稱軸標(biāo)在數(shù)軸上,看是否有由對稱生成的零點(這個方法更直觀,不易丟解)例10:設(shè)函數(shù)是定義在上以1為周期的函數(shù),若在區(qū)間上的值域為,則函數(shù)在上的值域為()A.B.C.D.思路:設(shè),則,因為為周期函數(shù),故以為突破口,,考慮在中,所以,在中,所以,所以在的值域為答案:B三、近年模擬題題目精選1、(2022,慶安高三期中)已知函數(shù)是R上的偶函數(shù),且滿足,當(dāng)時,,則的值為()A.B.C.D.12、(2022,安徽)設(shè)函數(shù)滿足,當(dāng)時,,則()A.B.C.D.3、(2022,四川)設(shè)是定義在上的周期為2的函數(shù),當(dāng)時,,則_________4、(2022,新課標(biāo)全國卷I)設(shè)函數(shù)的定義域都為,且是奇函數(shù),是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是()A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù)D.是奇函數(shù)5、(2022,會寧縣校級月考)已知,方程在內(nèi)有且只有一個,則在區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)為()A.B.C.D.6、已知定義在上的函數(shù)滿足:,當(dāng)時,,則______________7、已知定義在上的函數(shù)滿足,且時,,則()A.B.C.D.8、已知是定義在上的奇函數(shù),且對任意實數(shù),恒有,當(dāng)時,,求習(xí)題答案:1、答案:B解析:由可得:,兩式相減可得:,所以的周期,再由是偶函數(shù)可得:2、答案:A解析:由可知,,,所以可得:3、答案:1解析:4、答案:C解析:為奇函數(shù),可知為
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