2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)章末綜合提升學(xué)案北師大版1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第3章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)[牢固層·知識(shí)整合][提升層·題型研究］指數(shù)與指數(shù)冪運(yùn)算，對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算是兩個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，它們既是學(xué)習(xí)和研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ),也是高考必考內(nèi)容之一，應(yīng)恩賜足夠的重視．【例1】已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，則實(shí)數(shù)k的值為)A．6B．9C．12D．18-1-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精［由2a＝3b＝k（k≠1),知k〉0,且a＝log2k，b＝log3k，將它們代入2a＋b＝ab，得2log2k＋log3k＝log2k·log3k,即錯(cuò)誤!＋錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，因此2logk3＋logk2＝1，logk9＋logk2＝1，logk18＝1，因此k＝18.］【例2】設(shè)函數(shù)f(x)＝錯(cuò)誤!則f[f（2）]＝( )A．錯(cuò)誤!B．2e2C．2eD．2A［由于f(2)＝log3錯(cuò)誤!＝log3錯(cuò)誤!＝log33－1＝－1，因此f[f（2）］2－1－1－2＝f（－1)＝2e＝2e＝e2。］指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中兩個(gè)重要的基本初等函數(shù),它們的圖像與性質(zhì)向來是高考觀察的重點(diǎn)，應(yīng)熟練掌握?qǐng)D像的畫法及形狀，記熟性質(zhì)．由于指數(shù)函數(shù)y＝ax，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax（a>0，a≠1)的圖像與性質(zhì)都與a的取值有親近的聯(lián)系,a變化時(shí)，函數(shù)的圖像與性質(zhì)也隨之改變，因此，在a的值不確準(zhǔn)時(shí)，要對(duì)它們進(jìn)行分類討論．【例3】已知f（x)是函數(shù)y＝log2x的反函數(shù)，則y＝f(1－x)的圖像是( )-2-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精ABCD[由于函數(shù)y＝log2x的反函數(shù)是y＝2x,因此f（x)＝2x。故f(1x)＝21－x，由于此函數(shù)在R上是減函數(shù)，且過點(diǎn)(0，2)．因此選C.]【例4】已知奇函數(shù)f（x)＝錯(cuò)誤!（x∈R）．1）試確定a的值;2）判斷f(x)的單調(diào)性，并證明;（3）若方程f（x)＝m在（－∞,0）上有解,試證－1<3f(m）<0.[思路研究]（1)依照奇函數(shù)的定義求a的值；(2)依照定義判斷單調(diào)性；（3)依照方程的有關(guān)性質(zhì)談?wù)摲秶甗解]（1)（定義法)f∵（x）是奇函數(shù)，f(－x)＝－f（x)，即錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!,化簡(jiǎn)整理得2(a－1)(2x＋1）＝0。x∵2〉0,∴a－1＝0，即a＝1。（特別值法）∵f(x）在R上是奇函數(shù)，-3-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精f（0）＝0,即錯(cuò)誤!＝0.a＝1.2x－122）由a＝1可知,f(x)＝2x＋1＝1－2x＋1.任取x1,x2∈R,且x1<x2，則2x1〈2x2.∴f（x1)－f(x2)＝錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!〈0，即f(x1）<f(x2），∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．（3)∵x∈(－∞，0）時(shí)，2x∈(0，1），∴1－錯(cuò)誤!∈（－1，0)，若方程f（x）＝m，即1－錯(cuò)誤!＝m在(－∞，0）上有解，則m∈（－1，0）．∵f（x)在R上是增函數(shù),f(－1)<f(m）〈f(0),即1－錯(cuò)誤!<f(m)<1－錯(cuò)誤!，∴－錯(cuò)誤!<f(m)〈0,故－1<3f(m）<0。比較大小問題比較幾個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的重要應(yīng)用．常用的方法有：?jiǎn)握{(diào)性法、圖像法、中間量法（搭橋法)、作-4-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精差法、作商法、解析轉(zhuǎn)變法等．【例5】若a＝錯(cuò)誤!，b＝錯(cuò)誤!，c＝錯(cuò)誤!，則( )A．a(chǎn)〈b<cB．c<b<aC．c<a〈bD．b〈a<cC[法一:a＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!·ln2＝ln2錯(cuò)誤!，b＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!·ln3ln＝3錯(cuò)誤!，c＝錯(cuò)誤!＝ln5錯(cuò)誤!.(2錯(cuò)誤!）30＝215，（3錯(cuò)誤!）30＝310，（5錯(cuò)誤!)30＝56，而56<215<310，∴5錯(cuò)誤!<2錯(cuò)誤!<3錯(cuò)誤!。ln5錯(cuò)誤!〈ln2錯(cuò)誤!〈ln3錯(cuò)誤!。c<a<b.∴應(yīng)選C.法二：a－b＝錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!(ln8－ln9)<0.a〈b。同理可得c<a，c<a〈b。應(yīng)選C。]【例6】比較以下各組數(shù)的大小:-5-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(2)冪函數(shù)y＝x錯(cuò)誤!,∵錯(cuò)誤!〉0，y＝x錯(cuò)誤!在區(qū)間［0，＋∞）上是單調(diào)增函數(shù)．由于0.7〈1。7,1.7錯(cuò)誤!>0。7錯(cuò)誤!。指數(shù)函數(shù)y＝0.7x，0<0.7〈1,y＝0.7x是R上的單調(diào)減函數(shù)．0.7錯(cuò)誤!〉0。72，1。7錯(cuò)誤!>0.7錯(cuò)誤!>0。72。-6-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本章中數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用1.數(shù)形結(jié)合思想數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)欠入微，把數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與幾何圖形的直觀形象有機(jī)地結(jié)合起來，可以充分裸露問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，合適地改正問題，使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，本章中，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像簡(jiǎn)短、直觀，對(duì)解決某些問題很有幫助，如研究?jī)珊瘮?shù)圖像的交點(diǎn)問題，判斷方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，依照?qǐng)D像求參數(shù),圖像的平移和對(duì)稱問題等．【例7】若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|（a〉0，且a≠1）的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．0〈a〈錯(cuò)誤![函數(shù)y＝｜ax－1｜的圖像可看作y＝ax的圖像向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再把x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方獲取．當(dāng)0<a〈1時(shí)，y＝｜ax－1｜的圖像如圖1所示，要使y＝2a與y-7-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精＝｜ax－1|有兩個(gè)不同樣交點(diǎn)，需2a<1，∴0<a<錯(cuò)誤!.當(dāng)a〉1時(shí)，y＝｜ax－1|的圖像如圖2所示,要使y＝2a與y＝|ax－1|有兩個(gè)不同樣交點(diǎn)，需0〈2a〈1，顯然無解．綜上易知，0〈a<錯(cuò)誤!.圖1圖2]2．換元思想換元法的作用是利用整體代換，將問題轉(zhuǎn)變成常有的問題．本章中，常設(shè)u＝logax或u＝ax，轉(zhuǎn)變成一元二次方程、二次函數(shù)等問題,特別要注意換元后u的取值范圍．【例8】若2≤x≤8，求函數(shù)y＝(log錯(cuò)誤!x）2＋log錯(cuò)誤!x2＋5的值域．［思路研究]經(jīng)過對(duì)函數(shù)式進(jìn)行換元、變形，可化為二次函數(shù)求值域問題，從而得解．[解]設(shè)t＝log錯(cuò)誤!x.2≤x≤8,∴l(xiāng)og錯(cuò)誤!8≤t≤log錯(cuò)誤!2，即－錯(cuò)誤!≤t≤－錯(cuò)誤!.又∵y＝（log錯(cuò)誤!x)2＋log錯(cuò)誤!x2＋5＝(log錯(cuò)誤!x)2＋2log錯(cuò)誤!x＋5，∴y＝t2＋2t＋5＝（t＋1)2＋4.-8-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精又∵－錯(cuò)誤!≤t≤－錯(cuò)誤!，∴當(dāng)t＝－1時(shí)，y取最小值4；當(dāng)t＝－錯(cuò)誤!或t＝－錯(cuò)誤!時(shí)，y值17相等且最大，此時(shí)y的最大值為4.故所求函數(shù)的值域?yàn)殄e(cuò)誤!.3．分類談?wù)撍枷朐诮獠坏仁街械膽?yīng)用解指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式是本章常有題型，其解法主若是“同底法",經(jīng)過等價(jià)轉(zhuǎn)變，將指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式（或方程）轉(zhuǎn)變成一次或二次不等式（或方程)，若是含有參數(shù)的不等式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，一般需利用分類談?wù)摰乃枷敕椒ㄅ袛啵?【例9】若－1<loga3〈1，求a的取值范圍．［解］－1〈loga錯(cuò)誤!〈1loga錯(cuò)誤!＝－1<loga錯(cuò)誤!〈1＝logaa。①當(dāng)a〉1時(shí)，有y＝logax為增函數(shù)，錯(cuò)誤!〈錯(cuò)誤!〈a，∴a〉錯(cuò)誤!,結(jié)合a〉1，故a>錯(cuò)誤!。②當(dāng)0〈a<1時(shí)，有y＝logax為減函數(shù)，錯(cuò)誤!>錯(cuò)誤!〉a，a<錯(cuò)誤!，結(jié)合0<a〈1，故0<a<錯(cuò)誤!。a的取值范圍是錯(cuò)誤!.4．轉(zhuǎn)變與化歸思想-9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精轉(zhuǎn)變與化歸思想是數(shù)學(xué)中最基本的思想,數(shù)學(xué)中所有問題的解決都離不開轉(zhuǎn)變與化歸：數(shù)形結(jié)合思想表現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)變，函數(shù)與方程思想表現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)變,分類談?wù)撍枷氡憩F(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)變，以上三種思想都是轉(zhuǎn)變與化歸思想的詳盡表現(xiàn)，因此說轉(zhuǎn)變與化歸思想是數(shù)學(xué)思想的靈魂．轉(zhuǎn)變與化歸的原則是：將不熟悉的和難解的問題轉(zhuǎn)變成熟知的、易解的或已經(jīng)解決的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)變成詳盡的、直觀的問題,將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)變成簡(jiǎn)單的問題，將一般性的問題轉(zhuǎn)變成直觀的、特其余問題，將實(shí)責(zé)問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)問題,使問題便于解決．【例10】函數(shù)y＝（log錯(cuò)誤!x)2＋log錯(cuò)誤!x的單調(diào)遞減區(qū)間是_______．［解]設(shè)t＝log錯(cuò)誤!x，則原函數(shù)轉(zhuǎn)變成二次函數(shù)y＝t2＋t，即y＝錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!.∵t＝log錯(cuò)誤!x在（0,＋∞）上是減函數(shù)，y＝錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!－錯(cuò)誤!在t∈錯(cuò)誤!上單調(diào)遞加．又由t≥－錯(cuò)誤!,得log錯(cuò)誤!x≥－錯(cuò)誤!,即log錯(cuò)誤!x≥log錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!，∴0<x≤錯(cuò)誤!?！嗪瘮?shù)y＝(log錯(cuò)誤!x)2＋log錯(cuò)誤!x的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，錯(cuò)誤!］．-10-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精［答案]（0，3]指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)創(chuàng)新題指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)模型，在近來幾年高考或各地模擬考試中，接踵出現(xiàn)了一些以指、對(duì)、冪函數(shù)為背景的創(chuàng)新題，這些試題情境奇特、構(gòu)思優(yōu)良、解法靈便，顯示了數(shù)學(xué)的活力和魅力．1.信息遷移創(chuàng)新這類問題經(jīng)過給出一個(gè)新看法，或定義一種新運(yùn)算等來創(chuàng)立新的問題情境，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)新信息向所學(xué)的知識(shí)和方法的遷移，達(dá)到創(chuàng)新解題的目的．【例11】在直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫格點(diǎn)．若函數(shù)y＝f(x)的圖像恰好經(jīng)過k個(gè)格點(diǎn),則稱函數(shù)y＝f(x)為k階格點(diǎn)函數(shù)．以下函數(shù)中為一階格點(diǎn)函數(shù)的序號(hào)是________．①y＝x2;②y＝x－1;③y＝ex－1；④y＝log2x。③［令各個(gè)函數(shù)的自變量x取整數(shù),計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值易知①有無數(shù)個(gè)格點(diǎn)，如(0,0),（1,1），(2，4），；④也有無數(shù)個(gè)格點(diǎn)，如(2,1），（4,2），(8,3)，；②有兩個(gè)格點(diǎn)(1,1）和（－1，－1）；而③除了格點(diǎn)（0,0)外，其余點(diǎn)的坐標(biāo)都與e有關(guān)，應(yīng)選③。]-11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。開放研究創(chuàng)新這類問題是指沒有明確的條件和結(jié)論，要求在讀懂題意的基礎(chǔ)上，確定研究方向,搜尋合理的解題路子．【例12】把下面不完滿命題補(bǔ)充完滿,并使之成為真命題:若函