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CS229LecturePart主成分分（Principalcomponents前面我們講了因子分析（factorysis），其中在某個k 度子空間對x∈Rn進行近似建模，k遠小于n，即k?n。 維度仿射空間（affinespace）{Λz+μ;z∈Rk}中生成某個z(i)，然后增加Ψ-協(xié)方差噪音（covariancenoise）。因子分析（factorysis）是基于一個概率模型（probabilistic 然后參數(shù)估計（parameterestimation）使用了迭代期望最大化算法（iterativeEMalgorithm）。 （PrincipalComponents ysis，縮寫為PCA），這個方法 里面可以通過eig函數(shù)輕松假如我們有一個數(shù)據(jù)集{x(i);i=1,...,m}，其中包括了m種 umspeed），轉(zhuǎn)彎半徑（urnradus）等等。設(shè)其中每個i都有x(i)∈Rn，(n?m)。但對于兩個不同的屬性，例如xi和xj，對應(yīng)著以英里每小時（mph）為單位的最高速度和以公里每小時（kph）為單位的最高速度。因此這兩個屬性應(yīng)該基本是線性相關(guān)（linearlydependent）的，只在對mph和kph進行四舍五入似處于一個n-1維度的子空間中的。我們?nèi)绾巫詣訖z測和刪舉一個不那么麻煩的例子，設(shè)想有一個數(shù)據(jù)集，其中包含的是對一個無線電直升機（rado-conroledhelcopers）飛行員得到的數(shù)據(jù)，其中的x1(i)指代的是i的飛行技能的度量，而x2(i)指代的是該對飛行的喜愛程度。無線電直升機是很難操作的，只有那些非常投入，并且特別熱愛飛行的學(xué)生，才能成為好的。所以，上面這兩個屬性x1和x2之間的相關(guān)性是非常強的。所以我們可以認為在數(shù)據(jù)中沿著對角線方向（也就是下圖中的u1方向）表征了一個人對飛行投入程度的內(nèi)在“源動力（karma）”，只有少量的噪音脫離這個對角線方向。如下圖所示，我們怎么來自動去計算出u1的方向呢？我們接下來很快就要講到主成分分析算法（PCAalgorthm）了。但在運行PCA之前，我們首先要進行一些預(yù)處理（pre-proces），正則化（normalize）數(shù)據(jù)的均值（mean）和方差 將每個x(i)替換成x(i)?設(shè)將每個x(i)替換成第（1-2）步把數(shù)據(jù)的平均值清零（zeroout），然后可以省略掉所有有零均值的數(shù)據(jù)（例如，對應(yīng)語音或者其他聲學(xué)信號的差（unitvariance），這確保了不同的屬性（attributes）都在同樣的“尺度（scale）”上來進行處理。例如，如果x1是汽車的最大速度（以mph為單位，精確到十位），然后x2是汽車的座位數(shù)量（取值一般在2-4），這樣這個重新正則化j（scale），然后這些不同屬性就更具有對比性（morecomparabe）。如果我們事先已經(jīng)知道不同的屬性在同一尺度上，就可以省略第（3-4）步。例如，如果每個數(shù)據(jù)點表示灰度圖像（grayscaleimage）中的每個數(shù)據(jù)點，而每個x(i)就從j{0,1,...,255}中取值，對應(yīng)的也就是在圖像i中像素j位置的灰度值（intensityvalue）?！爸饕儺愝S（majoraxisofvariation）”u，該如何去計算呢？法是找出一個單位向量（unitvector）u，使得數(shù)投影在u的方向上的時候，投影的數(shù)據(jù)的方差（variance）最（variance）/信息量（nformaon）。我們要選擇的是這樣一個方向的單位向量u：數(shù)據(jù)能近似投放到與單位向量u的方向（drection）/子空間（ubpace），并且盡可能多地保留上面的方差（variance）。 這些點距離零點也都比較遠。樣本則如下圖所示，我們選的單位向量u。要對這個過程進行方程化（formalize），要注意到給定一個向量u和一個點x，x投影到u上的投影長度就可以用xTu來得到。也就是說，如果x(i)是我們數(shù)據(jù)集中的一個點（上面幾個圖中畫叉的x點中的一個），那么這個點在u上的投影（對應(yīng)的是圖中的圓點）就是從原點到xTu面式子最大化的單位長度向量u：Weeasilyrecognizethatizingthissubjectto||u||2=givestheprincipaleigenvector whichisjusttheempiricalcovariancematrixofthedata(assumingithaszeromean).1很容易就能發(fā)現(xiàn)，要讓上面的式子最大化，||u||2= 給出的主特征向量（principal總結(jié)一下，如果我們要找一個1維度子控件來近似數(shù)據(jù)，就要選擇Σ的主特征向量（principaleigenvector）作為單位向量u。更廣義地理解，就是如果要講數(shù)據(jù)投影到一個k維度子空間（k<n），就應(yīng)當選擇Σ的k個特征向量（eigenvectors）來作為單位向量u1,...,uk。這里的ui就形成了數(shù)據(jù)的一組新的正交基（orthogonalbasis）。2然后，要使用這組正交基來表示x(i)，只需要計算對應(yīng)的向因此，x(i)Rn，向量y(i)就是對x(i)的近似/表示。因此，主（dimensionalityreductionalgorithm）。而其中的單位向量u1,...,uk也就叫做數(shù)據(jù)集的前k個主成分（principal備注。雖然我們已經(jīng)正式表述了，僅當k=1的情況下，使用特征向量（egenvecors）的眾所周知的特性，很明顯，在所有可能的正交基（orthogonalbaes）當中，我們選擇的那一組就能使得取最大值。因此，我們對基向量（basis）在習(xí)題集4中，你會發(fā)現(xiàn)主成分分析算法（PCA）也可以有另外一種推導(dǎo)方式：將數(shù)據(jù)投影到數(shù)據(jù)所的k維度子空（approximationerror）就來給出若干樣例。首先是壓縮—用更低維度的y(i)來表示x(i)，這很明顯就是一種用途了。如果我們把高維度的數(shù)據(jù)降維到k=2或者3，那么就可以將y(i)進行可視化了。例 類型），來看看哪些車彼此相似，以及這些車可以成那些另一個常用應(yīng)用就是在使用x(i)作為輸入特征進行監(jiān)督學(xué)習(xí)算法（uperviedlearningalgorhm）之前降低數(shù)據(jù)維度的預(yù)處理步驟。除了有利于緩解計算性能壓力之外，降低數(shù)據(jù)維度還可以降低假設(shè)類（hypohesisclas）的復(fù)雜度（compexy），然后避免過擬合（overfitting）（例如，低維度的輸入特征控件上的線性分類器（inearcasifiers）會有更小的VC維度）最后，正如在直升機那個樣例，我們可以把PCA用作為一種降噪算法（noisereductionalgorithm）。在那個例子中，算法從對飛行技巧和熱愛程度的有噪音的衡量中估計了直觀的“飛行原動力（pilotingra）”。在課程特征算法（eigenfacemethod）。其中每個點x(i)R100×100都是一個10000維度的向量，每個坐標對應(yīng)的是一個100x100 y(i)來表示每個圖x(i)。在這個過程中，我們希望主成分（principalcomponents）“噪音（s）”。然后我們通過降低緯度然后計算||y(i)?y(j)||2來測量面孔i和j之間的距離。這樣就能得到一個令人驚艷的面部匹配和檢索算法（face-m