第5章第2節(jié)泰勒公式課件

引言本節(jié)從利用一階導(dǎo)數(shù)做近似計(jì)算及估計(jì)誤差入手,導(dǎo)入Taylor公式利用高階導(dǎo)數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)做一般函數(shù)的近似計(jì)算及估計(jì)誤差.

主要內(nèi)容

1.利用一階導(dǎo)數(shù)做近似計(jì)算

(1)近似計(jì)算;(2)估計(jì)誤差

2.Taylor公式及幾種余項(xiàng)形式1/5/20231

1.近似計(jì)算于是一、利用(一階)導(dǎo)數(shù)作近似計(jì)算指的是對(duì)復(fù)雜函數(shù)用簡(jiǎn)單計(jì)算方法得到一定精度的計(jì)算結(jié)果.yxo1/5/202321.近似計(jì)算于是一、利用(一階)導(dǎo)數(shù)作近似計(jì)算指的是對(duì)復(fù)雜這就是利用導(dǎo)數(shù)作近似計(jì)算的公式。.

1/5/20233這就是利用導(dǎo)數(shù)作近似計(jì)算的公式。.12/20/2022例1.如圖，加工圓錐臺(tái)時(shí)計(jì)算刀架應(yīng)取角.s因一般相當(dāng)小，故解：于是從而1/5/20234例1.如圖，加工圓錐臺(tái)時(shí)計(jì)算刀架應(yīng)取角.s因例2.開方的近似計(jì)算.常用近似公式（充分小有）：

由此可得1/5/20235例2.開方的近似計(jì)算.常用近似公式（充分小例3.計(jì)算的近似值.解：查表得0.4848加題1/5/20236例3.計(jì)算的近誤差估計(jì)例如：設(shè)計(jì)一根軸長(zhǎng)度120毫米，加工后量得120.03毫米，誤差為毫米.設(shè)計(jì)一個(gè)鍵銷長(zhǎng)度12毫米，加工后量得12.03毫米，誤差為毫米.稱這種誤差為絕對(duì)誤差，表明了一個(gè)量與它的近似值之間的差值，反映了某種近似程度.是指估計(jì)近似值與精確值的差1/5/20237誤差估計(jì)例如：設(shè)計(jì)一根軸長(zhǎng)度120毫米，加工后量得120.0上例中，盡管他們的絕對(duì)誤差相等，但明顯地，軸長(zhǎng)（120毫米）的精度要比鍵銷（12毫米）的精度高?？梢?，一個(gè)量的近似精度依賴于其絕對(duì)誤差和這個(gè)量本身的大小，故需計(jì)算絕對(duì)誤差占總長(zhǎng)度的百分比（即相對(duì)誤差）.例如：軸：鍵銷：稱這樣的百分比為相對(duì)誤差.顯然，軸長(zhǎng)精度比鍵銷長(zhǎng)的精度高得多.一般地，有定義：1/5/20238上例中，盡管他們的絕對(duì)誤差相等，但明顯地，軸長(zhǎng)Def:相對(duì)誤差1/5/20239Def:相對(duì)誤差12/20/20229例4.

多次測(cè)量一根圓鋼,測(cè)得其直徑的平均值為D＝50毫米，絕對(duì)誤差不超過0.05毫米.試計(jì)算其截面積,并估計(jì)其誤差.解：S的絕對(duì)誤差：相對(duì)誤差：1/5/202310例4.多次測(cè)量一根圓鋼,測(cè)得其直徑的平均值為D＝50毫二、Taylor公式簡(jiǎn)單函數(shù)多項(xiàng)式復(fù)雜的函數(shù)近似表示從而近似公式近似計(jì)算和理論分析中1/5/202311二、Taylor公式簡(jiǎn)單函數(shù)多項(xiàng)式復(fù)雜的函數(shù)近似表示從而近為提高近似精度，可用二次多項(xiàng)式作近似代替（二階近似）且要求一般地，可用n次多項(xiàng)式作近似代替（n階近似）且…1/5/202312為提高近似精度，可用二次多項(xiàng)式作近似代替（二階近似）且要求一1/5/20231312/20/202213例5.

上述公式表明，近似式階數(shù)越高，近似程度越好.近似程度是多少？教材P198例41/5/202314例5.上述公式表明，近似式階數(shù)越高，近似程度越好.近似Th：Taylor公式（也稱馬克勞林(Maclaurin)公式），式中叫做Lagrange

余項(xiàng).此函數(shù)可表示為以下多項(xiàng)式函數(shù)形式1/5/202315Th：Taylor公式（也稱馬克勞林(Maclaurin證明：作輔助函數(shù)再作輔助函數(shù)1/5/202316證明：作輔助函數(shù)再作輔助函數(shù)12/20/202216利用Cauchy定理，得Lagrange余項(xiàng)還可寫為：又因此余項(xiàng)又可表示為稱為皮亞諾(Peano)余項(xiàng).,將以下代入上式得:(證畢)1/5/202317利用Cauchy定理，得Lagrange余項(xiàng)還可寫為：又因注1：

Cauchy余項(xiàng)注2：由余項(xiàng)可見，不論縮小x或增大階數(shù)n都可提高精度.1/5/202318注1：Cauchy余項(xiàng)注2：由余項(xiàng)可見，不論縮小x或增大Lagrange余項(xiàng)或Peano余項(xiàng)1/5/202319Lagrange余項(xiàng)或Peano余項(xiàng)12/20/2022例5中,誤差為(Lagrange余項(xiàng))1/5/202320例5中,誤差為(Lagrange余項(xiàng))12/20/2022例6.求的冪函數(shù)展開式時(shí)的Maclaurin公式解:所以Lagrange余項(xiàng)1/5/202321例6.求的冪函數(shù)展開式時(shí)的Maclaurin公式解:所以L加題Maclaurin公式1/5/202322加題Maclaurin公式12/20/202222例7.Peano余項(xiàng).Maclaurin公式

解:

…………將x=0依次代入，得1/5/202323例7.Peano余項(xiàng).Maclaurin公式解:特別，二項(xiàng)式展開公式Peano余項(xiàng).1/5/202324特別，二項(xiàng)式展開公式Peano余項(xiàng).12/20/202224例8.Peano余項(xiàng).Maclaurin公式展開解:加題同學(xué)們做題要多算幾項(xiàng)找出規(guī)律1/5/202325例8.Peano余項(xiàng).Maclaurin公式展開解:加題同例9.解：加題Peano余項(xiàng).分項(xiàng)分式法利用前面ppt24結(jié)果對(duì)兩項(xiàng)分別展開1/5/202326例9.解：加題Peano余項(xiàng).分項(xiàng)分式法利用前面ppt24結(jié)例10.解：加題Peano余項(xiàng).利用例8結(jié)果展開然后再還原1/5/202327例10.解：加題Peano余項(xiàng).利用例8然后再還原12/20例11.求注3.

函數(shù)的Taylor公式是函數(shù)無窮小的一種精細(xì)分析，也是在無窮小鄰域?qū)⒊竭\(yùn)算轉(zhuǎn)化為整冪運(yùn)算的手段，從而可將無理或超越函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為有理式的極限而求解，大大簡(jiǎn)化計(jì)算.Peano余項(xiàng).加題1/5/202328例11.求注3.函數(shù)的Taylor公式是函數(shù)小結(jié):

1.利用一階導(dǎo)數(shù)做近似計(jì)算公式相對(duì)誤差

2.絕對(duì)誤差Taylor公式:把一個(gè)一般函數(shù)用n次多項(xiàng)式函數(shù)表示的形式.(高階導(dǎo)數(shù))注意:(1)系數(shù)(2)余項(xiàng)形式Maclaurin公式是Taylor公式的特殊形式.作業(yè):P2032.3.7(1).(3)估計(jì)誤差:使用方法1/5/202329小結(jié):1.利用一階導(dǎo)數(shù)做近似計(jì)算公式相對(duì)誤差

引言本節(jié)從利用一階導(dǎo)數(shù)做近似計(jì)算及估計(jì)誤差入手,導(dǎo)入Taylor公式利用高階導(dǎo)數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)做一般函數(shù)的近似計(jì)算及估計(jì)誤差.

主要內(nèi)容

1.利用一階導(dǎo)數(shù)做近似計(jì)算

(1)近似計(jì)算;(2)估計(jì)誤差

2.Taylor公式及幾種余項(xiàng)形式1/5/202330

1.近似計(jì)算于是一、利用(一階)導(dǎo)數(shù)作近似計(jì)算指的是對(duì)復(fù)雜函數(shù)用簡(jiǎn)單計(jì)算方法得到一定精度的計(jì)算結(jié)果.yxo1/5/2023311.近似計(jì)算于是一、利用(一階)導(dǎo)數(shù)作近似計(jì)算指的是對(duì)復(fù)雜這就是利用導(dǎo)數(shù)作近似計(jì)算的公式。.

1/5/202332這就是利用導(dǎo)數(shù)作近似計(jì)算的公式。.12/20/2022例1.如圖，加工圓錐臺(tái)時(shí)計(jì)算刀架應(yīng)取角.s因一般相當(dāng)小，故解：于是從而1/5/202333例1.如圖，加工圓錐臺(tái)時(shí)計(jì)算刀架應(yīng)取角.s因例2.開方的近似計(jì)算.常用近似公式（充分小有）：

由此可得1/5/202334例2.開方的近似計(jì)算.常用近似公式（充分小例3.計(jì)算的近似值.解：查表得0.4848加題1/5/202335例3.計(jì)算的近誤差估計(jì)例如：設(shè)計(jì)一根軸長(zhǎng)度120毫米，加工后量得120.03毫米，誤差為毫米.設(shè)計(jì)一個(gè)鍵銷長(zhǎng)度12毫米，加工后量得12.03毫米，誤差為毫米.稱這種誤差為絕對(duì)誤差，表明了一個(gè)量與它的近似值之間的差值，反映了某種近似程度.是指估計(jì)近似值與精確值的差1/5/202336誤差估計(jì)例如：設(shè)計(jì)一根軸長(zhǎng)度120毫米，加工后量得120.0上例中，盡管他們的絕對(duì)誤差相等，但明顯地，軸長(zhǎng)（120毫米）的精度要比鍵銷（12毫米）的精度高?？梢?，一個(gè)量的近似精度依賴于其絕對(duì)誤差和這個(gè)量本身的大小，故需計(jì)算絕對(duì)誤差占總長(zhǎng)度的百分比（即相對(duì)誤差）.例如：軸：鍵銷：稱這樣的百分比為相對(duì)誤差.顯然，軸長(zhǎng)精度比鍵銷長(zhǎng)的精度高得多.一般地，有定義：1/5/202337上例中，盡管他們的絕對(duì)誤差相等，但明顯地，軸長(zhǎng)Def:相對(duì)誤差1/5/202338Def:相對(duì)誤差12/20/20229例4.

多次測(cè)量一根圓鋼,測(cè)得其直徑的平均值為D＝50毫米，絕對(duì)誤差不超過0.05毫米.試計(jì)算其截面積,并估計(jì)其誤差.解：S的絕對(duì)誤差：相對(duì)誤差：1/5/202339例4.多次測(cè)量一根圓鋼,測(cè)得其直徑的平均值為D＝50毫二、Taylor公式簡(jiǎn)單函數(shù)多項(xiàng)式復(fù)雜的函數(shù)近似表示從而近似公式近似計(jì)算和理論分析中1/5/202340二、Taylor公式簡(jiǎn)單函數(shù)多項(xiàng)式復(fù)雜的函數(shù)近似表示從而近為提高近似精度，可用二次多項(xiàng)式作近似代替（二階近似）且要求一般地，可用n次多項(xiàng)式作近似代替（n階近似）且…1/5/202341為提高近似精度，可用二次多項(xiàng)式作近似代替（二階近似）且要求一1/5/20234212/20/202213例5.

上述公式表明，近似式階數(shù)越高，近似程度越好.近似程度是多少？教材P198例41/5/202343例5.上述公式表明，近似式階數(shù)越高，近似程度越好.近似Th：Taylor公式（也稱馬克勞林(Maclaurin)公式），式中叫做Lagrange

余項(xiàng).此函數(shù)可表示為以下多項(xiàng)式函數(shù)形式1/5/202344Th：Taylor公式（也稱馬克勞林(Maclaurin證明：作輔助函數(shù)再作輔助函數(shù)1/5/202345證明：作輔助函數(shù)再作輔助函數(shù)12/20/202216利用Cauchy定理，得Lagrange余項(xiàng)還可寫為：又因此余項(xiàng)又可表示為稱為皮亞諾(Peano)余項(xiàng).,將以下代入上式得:(證畢)1/5/202346利用Cauchy定理，得Lagrange余項(xiàng)還可寫為：又因注1：

Cauchy余項(xiàng)注2：由余項(xiàng)可見，不論縮小x或增大階數(shù)n都可提高精度.1/5/202347注1：Cauchy余項(xiàng)注2：由余項(xiàng)可見，不論縮小x或增大Lagrange余項(xiàng)或Peano余項(xiàng)1/5/202348Lagrange余項(xiàng)或Peano余項(xiàng)12/20/2022例5中,誤差為(Lagrange余項(xiàng))1/5/202349例5中,誤差為(Lagrange余項(xiàng))12/20/2022例6.求的冪函數(shù)展開式時(shí)的Maclaurin公式解:所以Lagrange余項(xiàng)1/5/202350例6.求的冪函數(shù)展開式時(shí)的Maclaurin公式解:所以L加題Maclaurin公式1/5/202351加題Maclaurin公式12/20/202222例7.Peano余項(xiàng).Maclaurin公式

解:

…………將x=0依次代入，得1/5/202352例7.Peano余項(xiàng).Maclaurin公式解:特別，二項(xiàng)式展開公式Peano余項(xiàng).1/5/202353特別，二項(xiàng)式展開公式Peano余項(xiàng).12/20/202224例8.Peano余項(xiàng).