MBA數(shù)學(xué)備考公式大全1

第一章實(shí)數(shù)的概念、性質(zhì)和運(yùn)算一、實(shí)數(shù)及其運(yùn)算L^］整數(shù)（正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)）有理數(shù)實(shí)數(shù)1〔分?jǐn)?shù)（正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)）、無理數(shù)（即為無限不循環(huán)小數(shù)）整數(shù)還有以下分類：-“［偶數(shù)1整數(shù)J%如正整數(shù){質(zhì)數(shù)〔奇數(shù)〔合數(shù)1、自然數(shù)我們把0,1,2,3,叫做自然數(shù)，自然數(shù)的集合用字母n表示，即N={o,1,2,3,卜自然數(shù)也叫非負(fù)整數(shù)，除0以外的自然數(shù)叫做正整數(shù)。自然數(shù)具有下面的性質(zhì)：（1）自然數(shù)n的后繼數(shù)（n的后面與它相鄰的數(shù)）是n+1（2）兩個(gè)自然數(shù)的和、差的絕對(duì)值以及它們的積都是自然數(shù)。2、奇數(shù)與偶數(shù)當(dāng)自然數(shù)n被自然數(shù)n（n豐0）除，所得商仍是一個(gè)自然數(shù)時(shí)，我們就說自然數(shù)n能被自然數(shù)n整12212除，此時(shí)稱n是n的倍數(shù)；n是n的約數(shù)。1221能被2整除的自然數(shù)都是偶數(shù)；不能被2整除的自然數(shù)都是奇數(shù)。偶數(shù)都可以表示成2k（k為整數(shù)）的形式；奇數(shù)都可以表示成2k+1（k為整數(shù)）的形式。

4、公約數(shù)和公倍數(shù)（1）公約數(shù)設(shè)a,a,a,,a（n>2）是n個(gè)正整數(shù)，若d是它們中每一個(gè)數(shù)的約數(shù)，則稱d為這n個(gè)TOC\o"1-5"\h\z123n整數(shù)的公約數(shù)（或公因數(shù)）。n個(gè)正整數(shù)a,a,a,,a（n>2）的公約數(shù)中最大的一個(gè)，叫做這n

123n個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)。若n個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是1，則稱這n個(gè)正整數(shù)互質(zhì)。（2）公倍數(shù)…設(shè)a,a,a,,a（n>2）是n個(gè)正整數(shù)，若a是它們中每一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，則稱a為這n個(gè)123n正整數(shù)的公倍數(shù)。n個(gè)正整數(shù)a,a,a,,a（n>2）的公倍數(shù)中最小的一個(gè)，叫做這n個(gè)正整數(shù)123n的最小公倍數(shù)。,,,5、數(shù)的整除（1）如果a,b都能夠被c整除，那么它們的和與差也能夠被c整除。（2）如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a。（3）如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。（4）如果b與C都能整除a，且b與C互質(zhì)，那么b與C的乘積能整除a。（5）零能被任意非零自然數(shù)整除；（6）能被2整除的數(shù)個(gè)位數(shù)字是0,2,4,6,8；（7）各位數(shù)字之和能被3（或9）整除的數(shù)必能被3（或9）整除；（8）末兩位數(shù)能被4整除的數(shù)必能被4整除；（9）末位數(shù)是0或5的數(shù)能被5整除；（10）兩個(gè)相鄰自然數(shù)中，必有一個(gè)是偶數(shù)，另一個(gè)是奇數(shù)；6、循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)的方法記循環(huán)小數(shù)0.135135135=0.甘3^3、素?cái)?shù)與和數(shù)若一個(gè)正整數(shù)只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，則稱這個(gè)正整數(shù)為素?cái)?shù)（或質(zhì)數(shù)）。若一個(gè)正整數(shù)有除1和自身以外的約數(shù)，則稱這個(gè)正整數(shù)為合數(shù)。正整數(shù)可以分為3類：自然數(shù)1，素?cái)?shù)與合數(shù)。2是最小的素?cái)?shù)，除2以外的素?cái)?shù)都是奇數(shù)。大于1的任意自然數(shù)都可以表示成若干個(gè)素因數(shù)連乘積的形式，如：120=23x3x5，我們把這個(gè)分解得的算式（如23x3x5）叫做該自然數(shù)的素因數(shù)分解式。對(duì)于給定的大于1的自然數(shù)，它的素因數(shù)分解式是唯一的。

□口aaa0.aa=-r^——kk10k-1???7、有理數(shù)和無理數(shù)之間的運(yùn)算規(guī)律有理數(shù)士無理數(shù)二無理數(shù)非零有理數(shù)X無理數(shù)二無理數(shù)非零有理數(shù).無理數(shù)=無理數(shù)無理數(shù).非零有理數(shù)二無理數(shù)名蛇置編—優(yōu)秀資料名蛇置編—優(yōu)秀資料二、絕對(duì)值、平均值)絕對(duì)值.絕對(duì)值的定義：[aa>二、絕對(duì)值、平均值)絕對(duì)值.絕對(duì)值的定義：[aa>0=<一aa<0.幾何意義：實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上與a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。.絕對(duì)值的主要性質(zhì)：1)|a|>02)|a|=|-a|3)la+b<|a|+bl等號(hào)成立的條件為ab>0a-b<a\+b|等號(hào)成立的條件為ab<0a-b>||a|-|b||等號(hào)成立的條件為ab>06)|a|2=a24.非負(fù)數(shù)a>0a2>0(3)若--a有意義，則a>0,且:a>0二)絕對(duì)值方程與不等式1、兩類主要絕對(duì)值函數(shù)1)、fx)=Ix-al+lx-bI解題思路：1)主要考慮fx)的最小值，其最小值是lb-a|；2)當(dāng)a<x<b時(shí)取到最小值；3)圖像特點(diǎn)：中間平，兩頭翹。2)、fx)=Ix-al-lx-bI解題思路：1)主要考慮f(x)的最大值和最小值，其最大值是b-a，最小值是-Ib-a；2)圖像特點(diǎn)：兩頭平，中間斜。2、絕對(duì)值方程問題解題思路：1)方程f(x)=|x-a|+x-b|=c有解，等價(jià)于c>f(x)min2)方程f(x)=|x-a|+x-b|=c無解，等價(jià)于c<f(x)min3)方程f(x)=|x-a|-|x-b|=c有解，等價(jià)于TOC\o"1-5"\h\zf(x)<c<f(x)minmax4)方程f(x)=|x-a|-|x-b|=c無解，等價(jià)于c<f(x)或c>f(x)minmax3、絕對(duì)值不等式恒成立問題解題思路：1)若不等式f(x)>A在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)>A；min2)若不等式f(x)<B在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)<B。max4、絕對(duì)值不等式能成立問題(有解；解集非空)解題思路：1)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式f(x)>A成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)>Amax2)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式f(x)<B成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)<Bmin5、不等式無解問題解題思路：在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式f(x)>A無解，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)<A;max在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式f(x)<B無解，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)>Bmin6、絕對(duì)值不等式的解法1)、基本解法If(x)|>a=f(x)>a或f(x)<-a(a>0)，若a<0則解集為；f(x)|<a=-a<f(x)<a(a>0)，若a<0時(shí)，則解集為中；If(x)1>|g(x)|of2(x)>g2(x)注意變形：|f(x)>|g(x)o|f(x)|-g(x)|>0f(x)|<|g(x)|of2(x)<g2(x)注意變形：|f(x)<|g(x)1oIf(x)1-|g(x)1<01/(%)|>g(x)of(x)>g(x)或f(x)<—g(x)If(x)|<g(x)o-g(x)<f1/(%)|>g(x)of(x)>g(x)或f(x)<—g(x)If(x)|<g(x)o-g(x)<f(x)<g(x))形如ax2+b\x\+c=0或ax2+b|x|+c>(<)0的方程或不等式解題思路：利用|x|2=x2，將ax2+b|x+c化成alxl2+blxl+c三、余式定理和因式定理TOC\o"1-5"\h\z余式定理如果f(x)=axn+axn-1++a除以01n一次因式x-a所得的余式一定是f(a)。三)、平均值1.算術(shù)平均值：n個(gè)數(shù)x,,的算術(shù)平均值為2nx+x++x、_,、，-_1Vyn，記為:???x=x^xnnii=12.幾何平均值:?個(gè)正數(shù)三)、平均值1.算術(shù)平均值：n個(gè)數(shù)x,,的算術(shù)平均值為2nx+x++x、_,、，-_1Vyn，記為:???x=x^xnnii=12.幾何平均值:?個(gè)正數(shù)x,,的幾何平均值為12n的充要條件是f(a)=0?！璶x，x，，x記為G=12ni=1注意：當(dāng)f(x)除以一個(gè)一次因式x—a時(shí)，用一次余式定理或因式定理即可；當(dāng)f(x)除以一個(gè)二次因式ax2nx，x，，x記為G=12ni=13.算術(shù)平均值與幾何平均值的關(guān)系3.算術(shù)平均值與幾何平均值的關(guān)系一、一元二次方程1、標(biāo)準(zhǔn)形式為：ax2+bx+c=0(a豐0)2、解法：第二章整式和分式①因式分解法第二章整式和分式一、熟記一些乘法公式:②配方法：一、熟記一些乘法公式:③公式法：丫=-b±"&-4ac(a(a±b)2=a2±2ab+b2(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a+b)(a-b)=a2一b2(a±b)(a2_ab+b2)=a3±b3+1a2+b2+c2+ab+bc+ac=2[(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2]a2+b2+c2-ab-bc-ac=2[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]2a3、一元二次方程的判別式：ax2+bx+c=0(a豐0)A=b2-4ac①當(dāng)A>0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。②當(dāng)A=0時(shí)，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根。③當(dāng)A<0時(shí)，方程無實(shí)根。注意：在討論方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根的情況時(shí)，要分a=0和a豐0兩種情況討論。4、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：、整式的除法運(yùn)算多項(xiàng)式f(x)除以多項(xiàng)式g(x)，商式是q(x、整式的除法運(yùn)算多項(xiàng)式f(x)除以多項(xiàng)式g(x)，商式是q(x)，余式是r(x)，則12bcx+x=—-，xx=一

12a12a當(dāng)一元二次方程為x2+px+q-0時(shí)，則有x+x--p,xx-q121211x+x一+-=2xxx?x121211(x+x)2-2x-x+-1212x2x2(x-x)21212x2,x2_(x+x)2-2x-x1十2—1212x3Ix3_(x+x)[(x+x)2-3x-x]1十2—121212f(k)>0①x<x<kb:②x>x>k127--b-<k122aA>0③x<k<xof(k)<012-f(k)>0④f(k2)>0k<x<x<koVb1122k<-<k12a2A>0A>0x3_x3_(x-x)[(x+x)2-x?x]

12—121212⑤，一「一一，k<x<k<x<koV11223f(k)>01f(k)<02f(k)>035、方程ax2+bx+c-0(a豐0)根的綜合討論(1)方程有兩個(gè)正根I90vx+x>012xx>0I126、以x，x兩數(shù)為根的一元二次方程為x2-(x+x)x+xx-02「12127、若實(shí)數(shù)x產(chǎn)％?，且滿足1axi2+bx1+c=0(a中0),則ax2+bx+c=0l22q,x2是一元二次方程ax2+bx+c-0(a豐0)兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。(2)方程有兩個(gè)負(fù)根L0vx+x<012xx>0l12(3)—正一負(fù)根1A>0，特別正根絕對(duì)值比負(fù)根絕xx<0i12[A>0對(duì)值大時(shí)，]x+x>0xx、0I128、高次方程或特殊方程的求解一些高次方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程都可通過換元化為一元二次方程求解，注意換元時(shí)成立的條件，如x2+1=1>1,'；f(x)=1>0,am=1>0(a>0)等。負(fù)根絕對(duì)值比正根絕對(duì)值大時(shí)，IA>0vx+x<012xx<0I12(4)f(x)-ax2+bx+c=0(a>0)的實(shí)根分布二、一元二次不等式1)一元二次不等式的解法考題中一元二次不等式通常與其他的知識(shí)結(jié)合起來，解題時(shí)要特別注意題中的隱含條件，如函數(shù)的定義域、絕對(duì)值非負(fù)等等，并且要熟練不等式解集的結(jié)構(gòu)。求解一元二次不等式借助二次函數(shù)圖像最為簡便，做法是先確定二次項(xiàng)系數(shù)正負(fù)號(hào)，其次再研究判別式A。二次函數(shù)，一元二次不等式及一元二次方程三者之間的關(guān)系表：判別式△△△二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)\]!的圖象01^<2xV，一元二次方程ax2+bx+c=0(dfh0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)根-b±-4ac為。=（巧<丐）有兩個(gè)相等的實(shí)根b/0=-——2a沒有實(shí)根不病十加十「川等（a>0）卜或丫>再}卜卜―埸實(shí)數(shù)集式啟卷解（a>0）集{g〈X〈&00二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)（即<）的不等式，可以先化成二次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)的不等式，再求它的解集.三、分式不等式四、無理不等式,f(x)>0或o(gx(>)0f(x)>gx2)]I—f(x)>0、f(x)<g(x)ojg(x)>0J(x)<[g(x)]2;—f(x)>07f(x)g(x)ojg(x)>0f(x)>g(x)五、已知一元二次不等式的解集求不等式中系數(shù)這類題主要是利用不等式的解與一元二次方程根的關(guān)系，再利用韋達(dá)定理反求參數(shù)。六、不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立問題不等式ox2+bx+c>0對(duì)任意x恒成立的條件是：!a>0或卜=b=0A<0一\c>0II不等式ax2+bx+c<0對(duì)任意x都成立的條件是<“<0或<a-b—0A<0一\c<0第四章應(yīng)用題1、工程問題有關(guān)計(jì)算單位時(shí)間（1天、1小時(shí)、1分鐘）內(nèi)的工作量（即工作效率），以及完成一定的工作量所需要的時(shí)間（簡稱工作時(shí)間），與在一定時(shí)間內(nèi)所完成的工作量（簡稱工作總量）的問題叫做工程問題。有關(guān)工程問題的關(guān)系式有：工作效率x工作時(shí)間=工作總量工作總量+工作時(shí)間=工作效率工作總量+工作效率=工作時(shí)間在問題中，若對(duì)于工作總量與工作效率沒有說明具體的數(shù)量，那末，我們通常把工作總量看作“1”（100%）。

2、行程問題解題提示：根據(jù)題意畫圖，找等量關(guān)系（一般是時(shí)間和路程），列方程求解。相遇問題：類型一：相向直線運(yùn)動(dòng)A?——甲*1?ZC直線■型)1等量關(guān)系：S+S=S,V甲=AC（時(shí)間相同）甲乙VBC乙此類問題主要抓住運(yùn)動(dòng)路程，速度和時(shí)間之間的關(guān)系，在實(shí)際試題中要注意：1）若兩個(gè)物體相向而行，則相對(duì)速度為兩速度之和；2）若兩個(gè)物體同向而行，則相對(duì)速度為兩速度之差；3）兩物體在同一時(shí)間行走路程與速度成正比關(guān)系，而在行駛同路程時(shí)所用時(shí)間與兩速度成反比關(guān)系。類型二：圓周運(yùn)動(dòng)1）同向等量關(guān)系：（經(jīng)歷時(shí)間相同）S田—S7=S（S代表周長，相遇時(shí)S甲代表甲的路程，S乙代表乙的路程）甲乙甲乙甲乙每相遇一次甲比乙多跑一圈若相遇次則有S—S=n-S甲）逆向乙等量關(guān)系：S+S=S（S代表周長，S甲代表甲的路程，S乙代表乙的路程）甲乙即：每相遇一次，甲與乙路程之和為一圈，若相遇〃次有+S=n-S甲乙3濃度配比問題溶液量=溶質(zhì)量+溶劑量濃度=溶質(zhì)量+溶液量等差數(shù)列定義①a一等差數(shù)列定義①a一a=d②2a=a+a通項(xiàng)公式a=a+(n-1)d=dn+(a-d)=kn+bn11a=a+(n一m)dnd=nmnmn—m增減性①d>00遞增②d=0=常數(shù)列③d<0=遞減前n項(xiàng)和S=n(a+a)/2(重要)n1nn(n—1)dd_4.r①當(dāng)。1>0且d<0時(shí)，SS=na+d=n2+(a—)n=An2+Bn1nn12212有最大值；通過［a>0解得n的范圍<na<0n+1②當(dāng)a,<0且d>0時(shí)，S有最小值；通過；a<0解得n的范圍1n\na>0等差中項(xiàng)A為a,b的等差中項(xiàng)<=>2A=a+b、等差數(shù)列①]”｝為等差數(shù)列oa=kn+bn｛an｝為等差數(shù)列oS=An2+Bn（k,b,A,B為常數(shù)）n三個(gè)數(shù)a,b,c為等差數(shù)列o2b=a+c性②當(dāng)m+n=p+q時(shí)，a+a=a+amnpqa+a=2a(m,n為同奇或同偶)mnm+n2③若S為等差數(shù)列｛a｝前n項(xiàng)和，則S,S-S,S-S也成等差數(shù)質(zhì)nnn2nn3n2n歹U，公差為n2d④若差數(shù)列股a｝,｛b｝前n項(xiàng)和分別為ST,則a__^””,n—2n-1nnnn1rribTn2n-1⑤當(dāng)?shù)炔顢?shù)列｛a｝的項(xiàng)數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，則S-S=ndn偶奇2當(dāng)?shù)炔顢?shù)列｛a｝的項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，則S-S=a，9奇=辿n奇偶中Sn-1偶⑥等差數(shù)列解題設(shè)元常用方法已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，可設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為a-d,a,a+d；已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，可設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為a-3d,a-d,a+d,a+3d、等比數(shù)列等比數(shù)列定義①一②a2=a-a(a,a,a手0)n+1—qn+1nn+2nn+1n+2a通項(xiàng)公式a=a-qn-1=k-qnn1aa=a?qn-mnqn-m——nma增減性①a>0,q>1或a<0,0<q<10遞增11②q=10常數(shù)列③a>0,0<q<1或a<0,q>10遞減11前n項(xiàng)和fnaq=1S=\a(1-qn)八I"1(q)q中1〔1-q若|q|<1,則所有項(xiàng)的和S=&i-q等比中項(xiàng)G為a,b的等比中項(xiàng)oG2=ab性質(zhì)①｛a｝為等比數(shù)列oa=kqn（k,q豐0為常數(shù)）｛a｝為等比數(shù)列，且。豐1qnoS=b?qn+c,b+c=0（b,c為常數(shù)）三個(gè)不等于零的數(shù)a,b,c為等比數(shù)列ob2=a?c②當(dāng)m+n=p+q時(shí)，a?a=a?amnpqa+a=（a_）2（m,n為同奇或同偶）mnm+n2③若S為等比數(shù)列｛a｝前n項(xiàng)和，則S,S-S,S-S也成等比數(shù)nnn2nn3n2n歹U，公比為qn④等比數(shù)列解題設(shè)元常用方法在已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列時(shí)，可設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為aaaa；,a,a-qq在已知四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列時(shí)，可設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為aa〃〃3,,aq,aq3q3q111=—

n(n+1)nn+1n(n+2)2nn+2’)n(n+1)(n+2)2"n(n+1)(n+1)(n+2))]三、特殊數(shù)列求通項(xiàng)1、形如a=a+f(n)的形式采用累加法n+1naan+1a=a+f(n)na—a=f(n)，從而TOC\o"1-5"\h\zn+1nn+1na—a=f(1),a—a=f(2),,a—a=f(n—1)，兩邊分別相加即可求解2132nn—12、形如a=a-f(n)的形式采用疊乘法n+1n=a,f(n)n0n+1=f(n)，從而nan五、數(shù)列中的應(yīng)用題解題思路：關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型，要分清該數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，是求S還是求a。一般情況下，增或減的量是具體量時(shí)，應(yīng)該用等差數(shù)列公式；增或減的量是百分?jǐn)?shù)nn時(shí)，應(yīng)該用等比數(shù)列有關(guān)公式。若是等差數(shù)列，則增或減的量就是公差；若是等比數(shù)列，則用1加或減這個(gè)百分?jǐn)?shù)才是公比。a2=f(1),a3=f(2),,鼻=f(n—1),aaa12n—1兩邊分別相乘得a=f(1),f(2)..f(n—1)a1TOC\o"1-5"\h\z3、形如a=pa+q的形式，化為等比數(shù)列n+1n設(shè)a+m=p(a+m)na=pa+(p—1)m，令(p—1)m=q解出m，從而數(shù)列n+1nn+1n{a+m}為等比數(shù)列n4、已知S求通項(xiàng)annSn=1a=《1n[S—Sn>2nn—1四、特殊數(shù)列求和1、｛a+b｝型，其中｛a｝為等差數(shù)列，｛b｝為等比數(shù)列nnnn解題思路：分別對(duì)｛a｝和｛b｝求和，再相加nn2、｛a.b｝型，其中｛a｝為等差數(shù)列，lb｝為等比數(shù)列nnnn解題思路：錯(cuò)位相減3、裂項(xiàng)相消法解題思路：將數(shù)列的通項(xiàng)分解相減，使之消去一些項(xiàng)，然后再求和。第六章排列、組合、加法原理與乘法原理1、加法原理TOC\o"1-5"\h\z做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m種不同的方法，在第二類辦法中有m種12不同的方法，……，在第n類辦法中有m種方法，那么完成這件事共有nN=m+m++m種方法12n2、乘法原理做一件事，完成它需要n個(gè)步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二步有m種不同的方12法，……，做第n步有m種方法，那么完成這件事共有N=m?m??m種方法12n二、排列與組合1、排列的定義…從n個(gè)不同元素中，任取m(m<n)個(gè)元素(被取出的元素各不相同)，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。2、排列數(shù)的定義從n個(gè)不同元素中任取m(m<n)個(gè)元素的所有排列數(shù)的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Pm（或Am）表示。nn3、排列數(shù)公式（1）當(dāng)m<n時(shí)，排列稱為選排列，排列數(shù)為Pm=n（n-1）[n-（m-1）]n（2）當(dāng)m=n時(shí)，排列稱為全排列，排列數(shù)為Pn=n（n-1）3-2.1n4、組合的定義…從n個(gè)不同元素中，任取m（m-n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。5、排列數(shù)的定義從n個(gè)不同元素中任取m（m-n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Cm表示。n6、排列數(shù)公式Pmn!Cm=-n—=nPmm!（n一m）!m7、組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)Cm=Cn-mnnCm=Cm+Cm-1n+1nn三、排列、組合問題的求解應(yīng)掌握的基本方法與技巧1、特殊元素優(yōu)先安排2、排列、組合混合的問題先選后排3、相鄰問題捆綁法（先考慮受限制元素）4、不相鄰問題插空處理（先考慮不受限制元素）5、分排問題直排處理6、至多至少問題間接法7、數(shù)量不大問題窮舉法8、分組問題四、常見考試題型1、“在位”與“不在位”（1）某元素必在某位置解題思路：某個(gè)（或幾個(gè)）元素要排在指定位置，可先排這個(gè)（或幾個(gè)）元素，再排其他元素。（2）某元素不在某位置解題思路：先把所有元素全部排列，在減去某個(gè)（或幾個(gè)）元素要排在指定位置的排法。2、相鄰與不相鄰（1）k個(gè)元素在一起的排列解題思路：捆綁法（2）兩組元素在一起全排列，其中一組的元素互不相鄰解題思路：先插空再排列4、標(biāo)號(hào)排位問題解題思路：這類題的解答程序是，先把元素排到指定號(hào)碼的位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成。五、排數(shù)問題解題思路：主要考慮特殊元素和特殊位置，一般先考慮個(gè)位，再考慮首位。第七章概率初步一、互斥事件概率的計(jì)算“A與B至少有一個(gè)發(fā)生”表示為A+B或AUB，若A與B互斥，貝P（A+B）=P（A）+P（B）二、對(duì)立事件概率的計(jì)算事件A與它的對(duì)立事件A的概率和為1，即P（A）=1-P（A），在求解“至少”或“至多”類型的概率問題時(shí)常用此關(guān)系式。三、古典概率1、摸球問題設(shè)口袋中有a+P個(gè)球，其中a個(gè)白球，p個(gè)黑球。從中取出a+b個(gè)球，觀察它們的顏色，

則其中恰有a個(gè)白球和b黑球的概率為：P=CCCa+b

a+p2、分房問題掌握以下三種類型：將n個(gè)人等可能地分配到N(n<N)間房中去，試求下列事件的概率：A="某指定的n間房中各有1人”B="恰有n間房各有1人”C="某指定的房中恰有m(m<n)人"。解：將n個(gè)人等可能地分配到N(n<N)間房中的每一間去，共有N種方法。對(duì)固定的某n間房，第一個(gè)人可分配到其中的任一間，因而有n種方法，第2個(gè)人分配到余下的n-1間中的任一間，有n—1種分法，依次類推，得到事件A包含的基本事件數(shù)目為n!，于5、在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k(0<k<n)次的概率為P(k)=Ckpk(1-p)n-k(k=0,1,2,,n)nn注意：…“恰有k次發(fā)生”和“某指定的k次發(fā)生，其余次試驗(yàn)不發(fā)生”的區(qū)別。前者的概率為P=Ckpk(1-p)n-k，后者的概率為pk(1-p)n-k；n“事件A恰好發(fā)生k次”和“事件A恰好發(fā)生k次，且最后一次事件A發(fā)生”的區(qū)別。前者的概率為P(k)=Ckpk(1-p)n-k，后者的概率為Ck-1pk-1(1-p)n-k-p。nnn-1是有p(A)=包Nn對(duì)于事件B,由于“恰有n間房”可自N間房中任意選取，且并不是指定的，因此有Cn種N選發(fā)，對(duì)于每一種選出的n間房，按上面的分析可知，事件B共含Cnn!個(gè)基本事件，故N第八章平面幾何、解析幾何與立體幾何、兩條直線的位置關(guān)系Cnn!P(B)=Nn1、兩條直線相交兩條直線l與l相交于點(diǎn)O，成兩組對(duì)頂角Z1,公和Z2,Z4，如圖6-1所示，則有12對(duì)于事件C,由于恰有m人”可自n個(gè)人中任意選出，并不是指定的，因此有Cm種，而其n余n-m個(gè)人可以任意分配到其余N-1間房中，有(N-1)n-m種分法，因此事件C包含的基本事件數(shù)為Cm(N-1)n-m,于是nZ1=Z3,Z2=/4Cm(N1)nP(C)=nNnCm()m(1-)n-mnNN22、兩條直線平行如圖6-2所示，i//i，直線l與l,l均相交，則1212Z1=/2(同位角相等)Z3=Z2(內(nèi)錯(cuò)角相等)Z1=/3(對(duì)頂角相等)N2+N4=180(同旁內(nèi)角互補(bǔ))二、三角形°1、三角形邊角之間的關(guān)系1)三角形的內(nèi)角和等于180；3、抽簽問題在無放回取球模型中，如果是逐個(gè)取出k個(gè)球，則第k次取到白球的概率均為與k無關(guān)。a+p，四、獨(dú)立事件1、“A與B同時(shí)發(fā)生”表示為AB或A^B2、A與B獨(dú)立—p(ab)=P(A)P(B)3、若三個(gè)事件A,B,C相互獨(dú)立，則p(ABC)=P(A)P(B)P(C)4、如果事件A,B相互獨(dú)立，則a,B；A,B；A,B每一對(duì)事件都相互獨(dú)立2）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角之和；如圖6-3中，Na=（BAC+（B④直角三角形中，30銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，如圖6-52）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角之和；如圖6-3中，Na=（BAC+（B2此時(shí)直角三角形的三邊之比為a:b:c=1：<3:2，圖6—3圖6—5」3）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；4）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;5）三角形的面積：S=1bcah,BC為底，AH為高AABC2⑤直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30；⑥等腰直角三角形，如圖6-6所示，NA=NB=45，它的三邊之比為a：b：c=1：1：<22、三角形的分類按邊分類:不等邊三角形三角形等腰三角形,底與腰不等的三角形、等邊三角形按角分類:銳角三角形、鈍角三角形3、三角形的中位線〔直角三角形⑦s=1ch=1ab，其中a，b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高;RtAABC22⑧RtAABC的內(nèi)切圓的半徑〃a+b—c，外接圓的半徑，R=c/2=斜邊上的中線的一半。r=2圖6-8③頂角的平分線，底邊的中線，圖6-8③頂角的平分線，底邊的中線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。4、直角三角形①直角三角形的兩銳角互余；②直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，如圖6-4中a2+b2=c2；③直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，如圖6-4中，D為BA的中點(diǎn)，有DA=DB=DC；

5、等腰三角形①具有三角形的一切性質(zhì)②兩底角相等“等邊對(duì)等角”）底邊上的高互相重合“三線合一”），如圖6-7所示。圖6-73）等邊三角形（如圖6-8所示）①定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形②性質(zhì)：具有等要三角形的一切性質(zhì),此外：等邊三角形的三個(gè)角都相等，都等于60③判定：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形。6、全等三角形°1)定義：能完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。2、矩形定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形，如圖6-11所示右邊的圖形。性質(zhì)：具有平行四邊形的一切性質(zhì)，對(duì)角線相等。2)性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)角平分線、中線、高相等，周長、面積相等。2)性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)角平分線、中線、高相等，周長、面積相等。3)判定：邊角邊公理、角邊角公理、角角邊定理、邊邊邊公理、斜邊直角邊定理。7、相似三角形相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段成比例，面積比等于相似比的平方。如圖6-10所示，/a=ZA,/B=ZB,/C=ZC,且abacrc，S.AB、AB=AC=BC&ABC=()2ABACBCSABAABC圖6—10三、四邊形1、平行四邊形定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形，如圖6-11所示左邊圖。性質(zhì)：對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分。周長與面積：l=2(a+b),S=bh圖6—11周長與面積：l=2(a+b),S=ab，對(duì)角線長度為“a2+b23、菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形。性質(zhì)：具有平行四邊形的一切性質(zhì)，四條邊都相等，對(duì)角線互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。面積：面積等于對(duì)角線乘積的一半。4、正方形定義：有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形。性質(zhì)：具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。5、梯形1)定義：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形。等腰梯形：兩腰相等的梯形。直角梯形：一腰垂直于底的梯形。2)中位線與面積如圖6-12所示，設(shè)梯形的上底為a,下底為b，高為h，中位線為MN,于是mn=1(a+b),S=1(a+b)h22圖6—12+J四、圓與圓有關(guān)的計(jì)算公式：如圖6-13所示1、圓周長c=2s2、弧長/_迎一1803、圓的面積S=冗r24、扇形面積0皿1,，其中n為對(duì)應(yīng)的圓心角?！狪V扇形3602解析幾何一、解析幾何基本公式的應(yīng)用1、兩點(diǎn)間距離公式設(shè)點(diǎn)A(x,y),B(x,y)，則Ab|=、,；(x-x)2+(y-y)2112212122、有向線段的定比分點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)P(x,y)為有向線段AB的定比分點(diǎn)，且定比為九，即AP=九(AP,PB分別為有向線段PB一AP,PB的數(shù)量)，起點(diǎn)A(x,y),終點(diǎn)B(x,y)，則x=x1+九x2丫=y1+九y21T221+九T1+九特殊情況：中點(diǎn)公式當(dāng)％=1時(shí)，貝UP(x,y)為線段AB的中點(diǎn)，于是3、直線斜率的計(jì)算公式設(shè)直線1上的兩個(gè)點(diǎn)為A(x,y),B(x,y"則k=ryt(x豐x)1122x-x1221直線Ax+By+C=0(B豐0)的斜率為k=-AB注意：1)上述兩個(gè)公式都不包括直線垂直于x軸的情況2)直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系：當(dāng)傾斜角a小于90。時(shí)，斜率k隨著傾斜角a的增大而增大；當(dāng)傾斜角a大于90。時(shí)，斜率k隨著傾斜角a的增大也增大。3)直線越“陡”，斜率的絕對(duì)值越大。4、點(diǎn)到直線的距離公式設(shè)直線1的方程為Ax+By+C=0，點(diǎn)P(xy)到直線1的距離為d=Ao+Byo+C00<A2+B25、1:Ax+By+C=0,1:Ax+By+C=0(C豐C”則這兩條平行直線間的距離公式是d=,-A2+B2二、求直線方程解題思路：根據(jù)題干要求采取合適的直線方程的形式1、點(diǎn)斜式：y-y=k(x-x)，其中直線過點(diǎn)P(x,y)，斜率為kTOC\o"1-5"\h\z00002、斜截式：y=kx+b，其中直線斜率為k，在y軸上截距為b3、兩點(diǎn)式：上yT=±xr，直線過兩點(diǎn)A(x,y),B(x,y),(x豐x,y豐y)y-xx-x1122121221214、截距式：x+y=1，其中直線在x軸、y軸上的截距分別為a、b(a,b豐0)ab注意：截距不是距離，在遇到直線方程在兩個(gè)坐標(biāo)軸上截距的關(guān)系時(shí)要考慮直線過原點(diǎn)的特殊情形。5、一般式：Ax+By+C=0(A,B不全為零)注意：要會(huì)把一般式化成斜截式或截距式三、兩條直線的位置關(guān)系1)兩條直線的相交直線1:Ax+By+C=0,1:Ax+By+C=0相交TOC\o"1-5"\h\z11112222=JA1x+B1y+C1=0(I)有惟一一組實(shí)數(shù)解，其中它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組(I)Ax+By+C=01222的解。2)兩條直線平行和垂直若直線1:y=kx+b,1:y=kx+b,111222則①1〃/=k=k,b=b②1，1ok,k=-11212121212若直線1:Ax+By+C=0,1:Ax+By+C=0，且A,A,B,B都不為零，則111122221212①1//1^A_B^C；②111oAA+BB=02o'1=1力11212122ABCii/2223)兩條直線的夾角公式若直線1:y=kx+b,1:y=kx+b，兩直線夾角e111222則tan0=k2-k11+kk12四、直線過定點(diǎn)問題解題思路：將題干所給的直線方程變成兩條直線相交，交點(diǎn)就是所求的定點(diǎn)。五、對(duì)稱問題1、對(duì)稱點(diǎn)(1)兩點(diǎn)4B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱=M為線段AB的中點(diǎn)(2)兩點(diǎn)A,B關(guān)于直線1對(duì)稱O直線1為線段AB的垂直平分線解題思路：設(shè)A(x,y)關(guān)于直線001:Ax+By+C=0(k*0)的對(duì)稱點(diǎn)為B(x,y)，則y一yBx-x0-axxTOC\o"1-5"\h\zI0Ax+X0+B^±^0+C=0i22解出x，y，可得到B(x,y)。記住一些特殊情況：設(shè)A(x,y)為平面上的一點(diǎn)，則00①點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,-y)；00②點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,y)；00③點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(y,x)；00④點(diǎn)A關(guān)于直線y=-x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-y,-x)；002、對(duì)稱直線(1)兩直線1,1關(guān)于點(diǎn)A(x,y)對(duì)稱f1//1200o1.1..2,,,點(diǎn)A到直線11與直線12的距離相等(2)兩直線1,1關(guān)于直線1對(duì)稱o直線11上任一點(diǎn)關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)都在直線1上1212記住一些特殊情況：設(shè)f(x,y)=0為平面上一直線，則①f(x,y)=0關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為f(x,-y)=0；②f(x,y)=0關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為f(-x,y)=0；③f(x,y)=0關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為f(y,x)=0；④f(x,y)=0關(guān)于直線y=-x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為f(-y,-x)=03、反射問題解題思路：反射問題轉(zhuǎn)化為直線對(duì)稱問題，即入射光線與反射光線關(guān)于已知直線對(duì)稱。六、圓的方程1、標(biāo)準(zhǔn)方程：x2+y2=r2，圓心為(0,0)，半徑為r；(x一a)2+(y一b)2=r2，圓心為(a,b)，半徑為r。2、一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0經(jīng)過配方得,D,ED2+E2—4F(x+)2+(y+)2=TOC\o"1-5"\h\z224DE當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)，方程為圓的一般方程，圓心為(-一,-一)，半徑為22D2+E2-4F；r=；2當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程為一個(gè)點(diǎn)(-D2--E)當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí)，方程不表示任何圖形3、圓的直徑式方程以端點(diǎn)A(x,y),B(x,y)為直徑的圓的方程為(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0TOC\o"1-5"\h\z11221212七、點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓內(nèi)，圓上，圓外。HYPERLINK\l"bookmark15