高中數學高考29第五章 平面向量與復數 5 3 平面向量的數量積

§5.3平面向量的數量積第五章平面向量與復數NEIRONGSUOYIN內容索引基礎知識自主學習題型分類深度剖析課時作業(yè)1基礎知識自主學習PARTONE知識梳理1.向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作

則

就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是

.ZHISHISHULI∠AOB[0，π]定義設兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數量

叫做a與b的數量積，記作a·b投影

叫做向量a在b方向上的投影，

叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影_______的乘積2.平面向量的數量積|a||b|·cosθ|a|cosθ|b|cosθ|b|cosθ3.向量數量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝

.(3)(a＋b)·c＝

.a·(λb)a·c＋b·c結論幾何表示坐標表示模|a|＝_____|a|＝_________夾角cosθ＝a⊥b的充要條件_____________________|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤_____4.平面向量數量積的有關結論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a||b|1.a在b方向上的投影與b在a方向上的投影相同嗎？提示不相同.因為a在b方向上的投影為|a|cosθ，而b在a方向上的投影為|b|cosθ，其中θ為a與b的夾角.2.兩個向量的數量積大于0，則夾角一定為銳角嗎？提示不一定.當夾角為0°時，數量積也大于0.【概念方法微思考】題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)向量在另一個向量方向上的投影為數量，而不是向量.(

)(2)兩個向量的數量積是一個實數，向量的加、減、數乘運算的運算結果是向量.(

)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(

)(4)(a·b)c＝a(b·c).(

)(5)兩個向量的夾角的范圍是 (

)(6)若a·b<0，則a和b的夾角為鈍角.(

)√××√×123456×基礎自測JICHUZICE題組二教材改編2.[P105例4]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則k＝______.12345612解析∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3.[P106T3]已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為_____.－2解析由數量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.123456題組三易錯自糾4.已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝______.123456方法二(數形結合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB，如圖，則|a＋2b|＝又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.123456解析∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，1234562題型分類深度剖析PARTTWO題型一平面向量數量積的基本運算1.(2019·百校聯盟聯考)已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，則x等于A.8 B.10 C.11 D.12√自主演練解析∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)，∴a＋b＝(x－2,5)，又(a＋b)⊥b，∴(x－2)×(－2)＋20＝0，∴x＝12.2.(2018·全國Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)等于A.4 B.3 C.2 D.0√解析a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.解析如圖，∵D，E是邊BC的兩個三等分點，√平面向量數量積的三種運算方法(1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用數量積的幾何意義求解.思維升華題型二平面向量數量積的應用命題點1求向量的模例1

(1)(2019·永州模擬)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是多維探究A.1 B.2C.3 D.4√解析如圖所示，√命題點2求向量的夾角例2

(1)(2018·泉州質檢)設向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a·(a－b)＝3，則a與b的夾角為解析

由題意得a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×1×cosα＝4－2cosα＝3，√(2)已知e1，e2是互相垂直的單位向量.若

e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實數λ的值是_____.解析由題意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，(1)求解平面向量模的方法思維升華(2)求平面向量的夾角的方法③解三角形法：把兩向量的夾角放到三角形中.跟蹤訓練1

(1)(2019·鄭州模擬)已知向量a與b的夾角為30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，則|b|＝_____.解析∵|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝1，∴4－4|b|cos30°＋b2＝1，解析∵a⊥(a－b)，√題型三平面向量與三角函數(1)求a·b及|a＋b|；師生共研∴cosx>0，∴|a＋b|＝2cosx.(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值.當cosx＝1時，f(x)取得最大值－1.平面向量與三角函數的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數的關系式，然后求解.(2)給出用三角函數表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路是經過向量的運算，利用三角函數在定義域內的有界性，求得值域等.思維升華(1)若m⊥n，求tanx的值；所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.3課時作業(yè)PARTTHREE基礎保分練1.已知a，b為非零向量，則“a·b>0”是“a與b的夾角為銳角”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√12345678910111213141516解析根據向量數量積的定義式可知，若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或零角，若a與b的夾角為銳角，則一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a與b的夾角為銳角”的必要不充分條件，故選B.2.(2019·西北師大附中沖刺診斷)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若ka－2b與a垂直，則實數k的值為A.1 B.－1C.2 D.－2√12345678910111213141516解析

向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，則ka－2b＝(k－4，k＋6).若ka－2b與a垂直，則k－4＋k＋6＝0，解得k＝－1.故選B.則(a－b)2＝a2＋b2－2a·b

＝5－2a·b＝5，可得a·b＝0，結合|a|＝1，|b|＝2，可得(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，√123456789101112131415164.(2018·東三省三校模擬)非零向量a，b

滿足：|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，則a－b

與b

夾角θ的大小為A.135° B.120° C.60° D.45°√12345678910111213141516解析∵非零向量a，b滿足a·(a－b)＝0，∴a2＝a·b，由|a－b|＝|a|可得，∴θ＝135°，故選A.5.(2019·咸陽模擬)已知兩個單位向量a和b的夾角為60°，則向量a－b在向量a方向上的投影為√123456789101112131415166.(2018·欽州質檢)已知點M是邊長為2的正方形ABCD的內切圓內(含邊界)一動點，則

的取值范圍是A.[－1,0]

B.[－1,2]C.[－1,3]

D.[－1,4]√12345678910111213141516解析如圖所示，由題意可得，點M所在區(qū)域的不等式表示為(x－1)2＋(y－1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2).可設點M(x，y)，A(0,0)，B(2,0).12345678910111213141516＝－x(2－x)＋y2＝(x－1)2＋y2－1，解析∵(a＋b)·b＝a·b＋b2＝7，∴a·b＝7－b2＝3.設向量a與b的夾角為α，12345678910111213141516解得a·b＝－1.12345678910111213141516－17解析如圖，建立平面直角坐標系，則C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，D(0,2).1234567891011121314151612345678910111213141516解析利用向量的加減法法則可知，11.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a與b的夾角θ；12345678910111213141516解因為(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，(2)求|a＋b|；12345678910111213141516解|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2