高中數(shù)學高考40第七章 不等式、推理與證明 7 4 基本不等式及其應用

§7.4基本不等式及其應用第七章不等式、推理與證明NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學習題型分類深度剖析課時作業(yè)1基礎(chǔ)知識自主學習PARTONE知識梳理ZHISHISHULI(1)基本不等式成立的條件：

.(2)等號成立的條件：當且僅當

時取等號.2.幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥

(a，b∈R).a>0，b>0a＝b2ab2以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為

，幾何平均數(shù)為

，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).4.利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當

時，x＋y有最

值

.(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當

時，xy有最

值

.(簡記：和定積最大)x＝y(tǒng)x＝y(tǒng)小大1.若兩個正數(shù)的和為定值，則這兩個正數(shù)的積一定有最大值嗎？提示不一定.若這兩個正數(shù)能相等，則這兩個數(shù)的積一定有最大值；若這兩個正數(shù)不相等，則這兩個正數(shù)的積無最大值.【概念方法微思考】題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)基礎(chǔ)自測JICHUZICE123456(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R).(

)××√××√123456(6)兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.(

)題組二教材改編2.[P99例1(2)]設(shè)x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值為A.80 B.77 C.81 D.82√1234563.[P100A組T2]若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是___m2.123456解析設(shè)矩形的一邊為x

m，面積為y

m2，當且僅當x＝10－x，即x＝5時，ymax＝25.25A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件123456題組三易錯自糾√123456即當f(x)取得最小值時，x＝3，即a＝3，故選C.√6.若正數(shù)x，y滿足3x＋y＝5xy，則4x＋3y的最小值是A.2 B.3 C.4 D.5123456√123456故4x＋3y的最小值為5.故選D.2題型分類深度剖析PARTTWO題型一利用基本不等式求最值命題點1配湊法例1

(1)已知0<x<1，則x(4－3x)取得最大值時x的值為___.多維探究解析∵x>1，∴x－1>0，命題點2常數(shù)代換法√解析由題意可得，a1＝q，∴a1·qm－1·(a1·qn－1)2＝(a1·q3)2，即qm·q2n＝q8，即m＋2n＝8.當且僅當m＝2n時，即m＝4，n＝2時，等號成立.命題點3消元法√解析∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，∴a＋b≥a2＋a＋4.當且僅當a＝2，b＝8時取等號.故選B.(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是消元法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法；三是配湊法.思維升華A.8 B.9 C.12 D.16√當且僅當a＋1＝2(b＋c)，即a＝1，b＋c＝1時，等號成立.故選B.A.2 B.3 C.4 D.6√解析

∵a，b，c都是正數(shù)，且a＋b＋c＝2，∴a＋b＋c＋1＝3，且a＋1>0，b＋c>0.題型二基本不等式的綜合應用多維探究命題點1基本不等式與其他知識交匯的最值問題√解析

根據(jù)題意，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，即a2＋b2＝9，結(jié)合基本不等式，命題點2求參數(shù)值或取值范圍A.2 B.4C.6 D.8√即正實數(shù)a的最小值為4，故選B.求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍.思維升華√解析由△ABC的面積為2，當且僅當b＝2，c＝4時，等號成立，故選C.√解析

由函數(shù)f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，由函數(shù)f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線斜率為2，所以f′(1)＝2a＋b＝2，數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學的語言表達問題，用數(shù)學的方法構(gòu)建模型解決問題.過程主要包括：在實際情景中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計算求解、檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題.核心素養(yǎng)之數(shù)學建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO利用基本不等式求解實際問題例

某廠家擬在2019年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x＝3－

(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件.已知2019年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元.每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).(1)將2019年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；解由題意知，當m＝0時，x＝1，∴1＝3－k?k＝2，(2)該廠家2019年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？∴y≤－8＋29＝21，ymax＝21(萬元).故該廠家2019年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為21萬元.素養(yǎng)提升利用基本不等式求解實際問題時根據(jù)實際問題抽象出目標函數(shù)的表達式，建立數(shù)學模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.3課時作業(yè)PARTTHREEA.3 B.4C.6 D.8√12345678910111213141516當且僅當x＝±2時，等號成立，故選B.基礎(chǔ)保分練A.x＝y(tǒng)

B.x＝2yC.x＝2且y＝1 D.x＝y(tǒng)或y＝1解析∵x>0，y>0，12345678910111213141516√√1234567891011121314151612345678910111213141516解析由題意知，正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，4.若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，則a＋b的最小值為A.8 B.6C.4 D.2解析由lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，√12345678910111213141516當且僅當a＝b＝2時等號成立，所以a＋b的最小值為4，故選C.5.已知函數(shù)f(x)＝ex在點(0，f(0))處的切線為l，動點(a，b)在直線l上，則2a＋2－b的最小值是A.4 B.212345678910111213141516解析由題意得f′(x)＝ex，f(0)＝e0＝1，k＝f′(0)＝e0＝1.所以切線方程為y－1＝x－0，即x－y＋1＝0，∴a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，√6.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為√12345678910111213141516123456789101112131415167.設(shè)x，y均為正數(shù)，且xy＋x－y－10＝0，則x＋y的最小值是___.123456789101112131415166123456789101112131415164解析設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，∵S7－S5＝a7＋a6＝3(a4＋a5)，1234567891011121314151612345678910111213141516解析由題意得b2＋c2－a2＝bc，12345678910111213141516∵a2＝b2＋c2－bc，∴a2≥2bc－bc＝bc＝3(當且僅當b＝c時，等號成立)，解析由題意得(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，代入已知得(a＋b)2＝4(ab)3＋4ab，12345678910111213141516當且僅當ab＝1時取等號.11.已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；1234567891011121314151612345678910111213141516解∵x>0，y>0，當且僅當2x＝5y時，等號成立.此時xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴當x＝5，y＝2時，u＝lgx＋lgy有最大值1.12345678910111213141516解∵x>0，y>0，1234567891011121314151612.某人準備在一塊占地面積為1800平方米的矩形地塊中間建三個矩形溫室大棚，大棚周圍均是寬為1米的小路(如圖所示)，大棚占地面積為S平方米，其中a∶b＝1∶2.12345678910111213141516(1)試用x，y表示S；12345678910111213141516解由題意可得xy＝1800，b＝2a，則y＝a＋b＋3＝3a＋3，(2)若要使S的值最大，則x，y的值各為多少？1234567891011121314151612345678910111213141516＝1808－240＝1568，即x＝40時等號成立，S取得最大值，所以當x＝40，y＝45時，S取得最大值.12345678910111213141516令f′(x)＝0，則x＝40，當0<x<40時，f′(x)>0；當x>40時，f′(x)<0.所以當x＝40時，S取得最大值，此時y＝45.12345678910111213141516技能提升練√12345678910111213141516∴(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinCcos