高中數(shù)學(xué)高考41第七章 不等式、推理與證明 7 5 合情推理與演繹推理

§7.5合情推理與演繹推理最新考綱考情考向分析1.了解合情推理的含義，能進(jìn)行簡單的歸納推理和類比推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．2.了解演繹推理的含義，掌握演繹推理的“三段論”，并能運(yùn)用“三段論”進(jìn)行一些簡單演繹推理．3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.以理解類比推理、歸納推理和演繹推理的推理方法為主，常以演繹推理的方法根據(jù)幾個(gè)人的不同說法作出推理判斷進(jìn)行命題．注重培養(yǎng)學(xué)生的推理能力；在高考中以填空題的形式進(jìn)行考查，屬于中低檔題.1．合情推理合情推理合情推理2．歸納推理的一般步驟(1)通過觀察發(fā)現(xiàn)某些；(2)從已知的中推出一個(gè)明確表述的．3．類比推理的一般步驟(1)找出兩類事物之間的或．(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)．4．演繹推理由概念的定義或一些真命題，依照一定的邏輯規(guī)則得到正確結(jié)論的過程，通常叫做．簡言之，演繹推理是由到的推理．5．“三段論”可表示為①大前提：M是P；②小前提：S是M；③結(jié)論：所以，S是P.概念方法微思考1．合情推理所得結(jié)論一定是正確的嗎？2．合情推理對我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么幫助？3．“三段論”是演繹推理的一般模式，包括大前提，小前提，結(jié)論，在用其進(jìn)行推理時(shí)，大前提是否可以省略？題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確．()(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．()(3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適．()(4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的．()(5)一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)是1，2，3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝n(n∈N＋)．()(6)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確．()題組二教材改編2．已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝an－1＋2n－1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是()A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝4n－3C．a(chǎn)n＝n2 D．a(chǎn)n＝3n－13．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則存在的等式為________________．題組三易錯(cuò)自糾4．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理()A．結(jié)論正確 B．大前提不正確C．小前提不正確 D．全不正確5．類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可得出空間內(nèi)的下列結(jié)論：①垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行；④垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行．則正確的結(jié)論是________．(填序號(hào))6．觀察下列關(guān)系式：1＋x＝1＋x；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x))2≥1＋2x，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x))3≥1＋3x，……，由此規(guī)律，得到的第n個(gè)關(guān)系式為________．題型一歸納推理命題點(diǎn)1與數(shù)式有關(guān)的的推理例1(1)(2018·撫順模擬)《周易》歷來被人們視為儒家經(jīng)典之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認(rèn)識(shí)，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映了中國古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法．我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻“”當(dāng)做數(shù)字“1”，把陰爻“”當(dāng)做數(shù)字“0”，則八卦代表的數(shù)表示如下：卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113以此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號(hào)“”表示的十進(jìn)制數(shù)是()A．18B．17C．16D．15(2)觀察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，根據(jù)以上式子可以猜想：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,20182)<________.命題點(diǎn)2與圖形變化有關(guān)的推理例2(2019·呼和浩特模擬)分形理論是當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科．其中，把部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形．分形是一種具有自相似特性的現(xiàn)象、圖象或者物理過程．標(biāo)準(zhǔn)的自相似分形是數(shù)學(xué)上的抽象，迭代生成無限精細(xì)的結(jié)構(gòu)．也就是說，在分形中，每一組成部分都在特征上和整體相似，只僅僅是變小了一些而已，謝爾賓斯基三角形就是一種典型的分形，是由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出的，按照如下規(guī)律依次在一個(gè)黑色三角形內(nèi)去掉小三角形，則當(dāng)n＝6時(shí)，該黑色三角形內(nèi)去掉小三角形個(gè)數(shù)為()A．81 B．121C．364 D．1093跟蹤訓(xùn)練1某種樹的分枝生長規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1，1，2，3，5，則預(yù)計(jì)第10年樹的分枝數(shù)為()A．21B．34C．52D．55例3(1)已知{an}為等差數(shù)列，a1010＝5，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝5×2019.若{bn}為等比數(shù)列，b1010＝5，則{bn}類似的結(jié)論是()A．b1＋b2＋b3＋…＋b2019＝5×2019B．b1b2b3…b2019＝5×2019C．b1＋b2＋b3＋…＋b2019＝52019D．b1b2b3…b2019＝52019(2)如圖(1)所示，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AO，BO，CO，并延長交對邊于A1，B1，C1，則eq\f(OA1,AA1)＋eq\f(OB1,BB1)＋eq\f(OC1,CC1)＝1，類比猜想：點(diǎn)O是空間四面體V—BCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，如圖(2)所示，連接VO，BO，CO，DO并延長分別交面BCD，VCD，VBD，VBC于點(diǎn)V1，B1，C1，D1，則有____________________．跟蹤訓(xùn)練2在平面上，設(shè)ha，hb，hc是△ABC三條邊上的高，P為三角形內(nèi)任一點(diǎn)，P到相應(yīng)三邊的距離分別為Pa，Pb，Pc，我們可以得到結(jié)論：eq\f(Pa,ha)＋eq\f(Pb,hb)＋eq\f(Pc,hc)＝1.把它類比到空間中，則三棱錐中的類似結(jié)論為____________________．題型三演繹推理例4數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n∈N+)．證明：(1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比數(shù)列；(2)Sn＋1＝4an.跟蹤訓(xùn)練3某市為了緩解交通壓力，實(shí)行機(jī)動(dòng)車輛限行政策，每輛機(jī)動(dòng)車每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五輛車，保證每天至少有四輛車可以上路行駛．已知E車周四限行，B車昨天限行，從今天算起，A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，E車明天可以上路，由此可知下列推測一定正確的是()A．今天是周六 B．今天是周四C．A車周三限行 D．C車周五限行1．“對數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，f(x)＝log2|x|是對數(shù)函數(shù)，因此f(x)＝log2|x|是非奇非偶函數(shù)”，以上推理()A．結(jié)論正確 B．大前提錯(cuò)誤C．小前提錯(cuò)誤 D．推理形式錯(cuò)誤2．中國古代十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造．據(jù)史料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年．算籌記數(shù)的方法是：個(gè)位、百位、萬位…的數(shù)按縱式的數(shù)碼擺出；十位、千位、十萬位…的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出，如7738可用算籌表示為.1～9這9個(gè)數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如上圖所示，則的運(yùn)算結(jié)果可用算籌表示為()3．下列推理是歸納推理的是()A．M，N為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足||PM|－|PN||＝2a<|MN|(a>0)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線B．由a1＝2，an＝3n－1求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C．由圓x2＋y2＝r2的面積S＝πr2，猜想出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面積S＝πabD．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛水艇4．觀察下列等式，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102.根據(jù)上述規(guī)律，13＋23＋33＋43＋53＋63等于()A．192B．202C．212D．2225．天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，以此類推．已知1949年為“己丑”年，那么到中華人民共和國成立80年時(shí)為()A．丙酉年B．戊申年C．己申年D．己酉年6．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)一起去向老師詢問數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試成績等級．老師說：“你們四人中有2人A等，1人B等，1人C等，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績等級，給乙看丙的成績等級，給丙看丁的成績等級”．看后甲對大家說：“我知道我的成績等級了”．根據(jù)以上信息，則()A．甲、乙的成績等級相同B．丁可以知道四人的成績等級C．乙、丙的成績等級相同D．乙可以知道四人的成績等級7．在等差數(shù)列{an}中，若公差為d，且a1＝d，那么有am＋an＝am＋n，類比上述性質(zhì)，寫出在等比數(shù)列{bn}中類似的性質(zhì)：___________________________________________.8．觀察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此規(guī)律，第n個(gè)等式為________．9．已知f(x)＝eq\f(x,1＋x)，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，則f2019(x)的表達(dá)式為________．10.如圖所示，在平面上，用一條直線截正方形的一個(gè)角，截下的是一個(gè)直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空間中的正方體，用一平面去截正方體的一角，截下的是一個(gè)三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，若這三個(gè)兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，截面面積為S，類比平面的結(jié)論有________．11．《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術(shù)．得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟．”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：2eq\r(\f(2,3))＝eq\r(2\f(2,3))，3eq\r(\f(3,8))＝eq\r(3\f(3,8))，4eq\r(\f(4,15))＝eq\r(4\f(4,15))，5eq\r(\f(5,24))＝eq\r(5\f(5,24))，……，則按照以上規(guī)律，若8eq\r(\f(8,n))＝eq\r(8\f(8,n))具有“穿墻術(shù)”，則n＝________.12．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年英國來華傳教偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲，1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將2至2018這2017個(gè)整數(shù)中能被2除余1且被3除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為________．13．一質(zhì)點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，按如圖的運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)，每步運(yùn)動(dòng)一個(gè)單位，例如第3步結(jié)束時(shí)該質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)為(0，1)，第4步結(jié)束時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)為(－1，1)，那么第2018步結(jié)束時(shí)該質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)為________．14．為了提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)原信息為a1a2a3，傳輸信息為h1a1a2a3h2，其中h1＝a1a2，h2＝h1a3，運(yùn)算規(guī)則為：00＝0，01＝1，10＝1，11＝0.例如：原信息為111，則傳輸信息為01111.傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列接收信息出錯(cuò)的是()A．01100B．11010C．10110D．11000層每邊有3個(gè)點(diǎn)，…，依此類推，如果一個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有169個(gè)點(diǎn)，那么它的層數(shù)為()A．6B．7C．8D．916．分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)．分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的．一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程