應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)8正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

8正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

2正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

當(dāng)試驗(yàn)因素多于2個(gè)時(shí)，也可考慮各因素效應(yīng)是否顯著，這些因素的交互效應(yīng)是否顯著。由于因素多于2個(gè)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)不便于列成前面那樣的平面表格，但我們可以用下標(biāo)的變化來加以表示。例如4因素的試驗(yàn)指標(biāo)可表示為yj1j2j3j4,j1=1,2,,m1,j2=1,2,,m2,j3=1,2,,m3,j4=1,2,,m4。3正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

我們同樣可以建立平方和與自由度的分解，建立服從F分布的統(tǒng)計(jì)量。要考慮交互作用，只需對(duì)因素組合作重復(fù)試驗(yàn)，而將這一試驗(yàn)結(jié)果理解為一個(gè)新的因素。方差分析都要求ij~N(0,2)，且相互獨(dú)立，即要求試驗(yàn)數(shù)據(jù)獨(dú)立性、正態(tài)性、等方差性。4正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

多因素試驗(yàn)由于因素間的組合比較多，往往需要耗費(fèi)大量的時(shí)間與經(jīng)費(fèi)，可以采用正交試驗(yàn)。正交試驗(yàn)不對(duì)各因素各水平的全部組合進(jìn)行試驗(yàn)。至于挑選哪些組合進(jìn)行試驗(yàn)，是由正交表設(shè)計(jì)規(guī)定的。512.1正交表及其用法

正交表是一種特制的表格，以為L(zhǎng)9(34)例來說明。字母L表示正交表，數(shù)字9表示這張表共有9行，說明用這張表安排試驗(yàn)要做9次試驗(yàn)；數(shù)字4表示這張表共有4列，說明用這張表最多可安排4個(gè)因素；數(shù)字3表示在表中主體部分只出現(xiàn)1、2、3三個(gè)數(shù)字，它們分別代表因素的三個(gè)水平，說明各因素都是3個(gè)水平。正交表的構(gòu)造遵循搭配均勻、散布均衡的規(guī)律。6

列號(hào)試驗(yàn)號(hào)12341111121222313334212352231623127313283213933217正交表及其用法例某煉鐵廠為了提高鐵水溫度，需要通過試驗(yàn)選擇最好的生產(chǎn)方案。經(jīng)初步分析，主要有3個(gè)因素影響鐵水溫度，它們是焦比、風(fēng)壓和底焦高度，每個(gè)因素都考慮3個(gè)水平，具體情況如表。問對(duì)這3個(gè)因素的3個(gè)水平如何安排，才能獲得最高的鐵水溫度？8正交表及其用法

因素水平焦比A風(fēng)壓B133Pa底焦高度Cm11:161701.221:182301.531:142001.39正交表及其用法

對(duì)3個(gè)因素的3個(gè)水平的問題，如果每個(gè)因素的每個(gè)水平都互相搭配進(jìn)行全面試驗(yàn)，必須做33=27次試驗(yàn)。按正交表L9(34)的前3列安排試驗(yàn)只須做9次試驗(yàn)。9次試驗(yàn)的結(jié)果如下：試驗(yàn)編號(hào)123456789鐵水溫度13651395138513901395138013901390141010

列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1A2B3C鐵水溫度鐵水溫度-1350111113601521221395453133138535421213904052231395456231138030731313904083211390409332141060K1959585K2115130145K3140125120k131.731.728.3k238.343.348.3k346.741.740.0極差15.011.620.0優(yōu)方案A3B2C211正交表及其用法Ki這一行的3個(gè)數(shù)分別是因素A、B、C的第i個(gè)水平所對(duì)應(yīng)的鐵水溫度之和。ki為i水平的平均值。極差是同一列中k1、k2、k3這3個(gè)數(shù)中最大者減去最小者，反映了因素水平對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響程度。12正交表及其用法

本例中各因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)鐵水溫度的影響按大小順序來說C底焦高度、A焦比、B風(fēng)壓，最好方案是C2A3B2即：

C2底焦高度，第2水平：1.5A3焦比，第3水平：1:14B2風(fēng)壓，第2水平：2301312.2多指標(biāo)的分析方法在實(shí)際問題中，需要考慮的指標(biāo)往往不止一個(gè)，有時(shí)是兩個(gè)、三個(gè)，甚至更多，這都是多指標(biāo)的問題。解決多指標(biāo)試驗(yàn)問題可采用兩種方法：綜合平衡法和綜合評(píng)分法。14多指標(biāo)的分析方法1.綜合平衡法綜合平衡法是：先分別考察每個(gè)因素對(duì)各指標(biāo)的影響，然后進(jìn)行分析比較，確定出最好的水平，從而得出最好的試驗(yàn)方案。15綜合平衡法例為了提高某產(chǎn)品質(zhì)量，要對(duì)生產(chǎn)該產(chǎn)品的原料進(jìn)行配方試驗(yàn)。要檢驗(yàn)3項(xiàng)指標(biāo)：抗壓強(qiáng)度、落下強(qiáng)度和裂紋度，前兩個(gè)指標(biāo)越大越好，第三個(gè)指標(biāo)越小越好。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，配方中有3個(gè)重要因素：水份、粒度和堿度。它們各有3個(gè)水平，具體數(shù)據(jù)如表所示。試進(jìn)行試驗(yàn)分析，找出最好的配方方案。16綜合平衡法

因素水平A水份%B粒度%C堿度1841.12961.33781.517

列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1A2B3C抗壓強(qiáng)度Kg/個(gè)落下強(qiáng)度0.5m/次裂紋度111111.51.1321224.53.64313311.04.6442127.01.1352238.01.62623118.515.1073139.01.1383218.04.62933213.420.21抗壓強(qiáng)度K127.027.538.0K233.520.524.9K330.442.928.0k19.09.212.7k211.26.88.3k310.114.39.3極差2.27.54.4優(yōu)方案A2B3C118

列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1A2B3C抗壓強(qiáng)度Kg/個(gè)落下強(qiáng)度0.5m/次裂紋度111111.51.1321224.53.64313311.04.6442127.01.1352238.01.62623118.515.1073139.01.1383218.04.62933213.420.21落下強(qiáng)度K19.33.320.8K217.89.824.9K325.939.97.3k13.11.16.9k25.93.38.3k38.613.32.4極差5.512.25.9優(yōu)方案A3B3C219

列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1A2B3C抗壓強(qiáng)度Kg/個(gè)落下強(qiáng)度0.5m/次裂紋度111111.51.1321224.53.64313311.04.6442127.01.1352238.01.62623118.515.1073139.01.1383218.04.62933213.420.21裂紋度K11195K2588K3659k13.73.01.7k21.72.72.7k32.01.73.0極差2.01.31.3優(yōu)方案A2B3C120綜合平衡法

對(duì)3個(gè)指標(biāo)分別進(jìn)行計(jì)算分析，得出3個(gè)好的方案：對(duì)抗壓強(qiáng)度是A2B3C1對(duì)落下強(qiáng)度是A3B3C2對(duì)裂紋度是A2B3C1

這3個(gè)方案不完全相同，對(duì)一個(gè)指標(biāo)是好方案，而對(duì)另一指標(biāo)卻不一定是好方案，如何找出對(duì)各個(gè)指標(biāo)都較好的一個(gè)共同方案？21綜合平衡法抗壓強(qiáng)度極差2.27.54.4優(yōu)方案A2B3C1落下強(qiáng)度極差5.512.25.9優(yōu)方案A3B3C2裂紋度極差2.01.31.3優(yōu)方案A2B3C122綜合平衡法粒度B對(duì)各指標(biāo)的影響：從表看出，對(duì)抗壓強(qiáng)度和落下強(qiáng)度來講，粒度的極差都是最大，也就是說粒度是影響最大的因素，且以取B3水平為最好；對(duì)裂紋度來講，粒度的極差不是最大，即是影響最大的因素，但也是以取B3水平為最好。總的來說，對(duì)3個(gè)指標(biāo)來講，粒度都是以取B3水平為最好。23綜合平衡法堿度C對(duì)各指標(biāo)的影響：從表看出，對(duì)3個(gè)指標(biāo)來說，堿度的極差都不是最大，也就是說堿度不是影響最大的因素，是較次要的因素，對(duì)抗壓強(qiáng)度和裂紋度來講，堿度取C1水平為最好；對(duì)落下強(qiáng)度來講，堿度取C2水平為最好，但取C1水平也不是太差。對(duì)3個(gè)指標(biāo)綜合考慮，堿度取C1水平為好。24綜合平衡法水份A對(duì)各指標(biāo)的影響：從表看出，對(duì)裂紋度來講，水份的極差最大，即水份是影響最大的因素，水份取A2水平最好，但對(duì)抗壓強(qiáng)度和落下強(qiáng)度來講，水份的極差都是最小的，即是影響最小的因素。對(duì)抗壓強(qiáng)度來講，水份取A2最好，取A3次之；對(duì)落下強(qiáng)度來講，水份取A3最好，取A2次之。對(duì)3個(gè)指標(biāo)綜合考慮，水份取A2水平為好。25綜合平衡法通過各因素對(duì)各指標(biāo)影響的綜合分析，得出較好的試驗(yàn)方案是：

B3粒度第3水平：8C1堿度第1水平：1.1A2水份第2水平：926綜合評(píng)分法2.綜合評(píng)分法綜合評(píng)分法是：先按重要性程度不同給各個(gè)指標(biāo)賦以權(quán)數(shù)，再對(duì)各試驗(yàn)計(jì)算加權(quán)指標(biāo)，化為單一指標(biāo)問題。27綜合評(píng)分法例某廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品，需要檢驗(yàn)兩個(gè)指標(biāo)：核酸純度和回收率，這兩個(gè)指標(biāo)都是越高越好。有影響的因素有4個(gè)，各有3個(gè)水平，具體情況如表。試通過試驗(yàn)找出較好的方案，使產(chǎn)品的核酸純度和回收率都有提高。28綜合評(píng)分法

因素水平A時(shí)間/hB加料中核酸含量CpH值D加水量1257.55.01:6259.06.01:4316.09.01:229綜合評(píng)分法這是4因素3水平的試驗(yàn)，采用正交表L9(34)安排試驗(yàn)，結(jié)果列于表中。根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，純度的重要性比回收率的重要性大，純度的權(quán)數(shù)取4，回收率的權(quán)數(shù)取1，計(jì)算加權(quán)指標(biāo)得出綜合評(píng)分。總分=4純度+1回收率30

列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1A2B3C4D純度回收率綜合評(píng)分1111117.530.0100.02122212.041.289.2313336.060.084.0421238.024.256.2522314.551.069.0623124.058.474.4731328.531.065.0832137.020.548.5933214.573.591.5K1273.2221.2222.9260.5K2199.6206.7236.9228.6K3205.0249.9218.0188.7k191.173.774.386.8k266.568.979.076.2k368.383.372.762.9極差24.614.46.323.9優(yōu)方案A1B3C2D131綜合評(píng)分法從表看出，A、D兩個(gè)因素的極差都很大，是對(duì)試驗(yàn)影響很大的兩個(gè)因素，還可以看出，A、D都是取第1水平為好；B因素的極差比A、D的極差小，對(duì)試驗(yàn)的影響比A、D都小，B因素取第3水平為好；C因素的極差最小，是影響最小的因素，C取第2水平為好。綜合考慮，最好的試驗(yàn)方案是

A1B3C2D1 32綜合評(píng)分法按影響的大小次序列出：

A1時(shí)間第1水平25hD1加水量第1水平1:6B3料中核酸含量第3水平6.0C2pH值第2水平6.03312.3混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)在實(shí)際問題中，由于具體情況不同，有時(shí)各因素的水平數(shù)是不相同的，這就是混合水平的多因素試驗(yàn)問題。解決這類問題一般可采用兩種方法：（1）直接利用混合水平的正交表；（2）擬水平法，即把水平不同的問題化成水平數(shù)相同的問題來處理。34混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)1.混合水平正交表及其用法混合水平正交表就是各因素水平數(shù)不完全相等的正交表，如L8(4124)，這張表有8行，5列，表示要做8次試驗(yàn)，最多可安排5個(gè)因素，其中1個(gè)是4水平的，4個(gè)是2水平的。35

列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1234511111121222232112242221153121263212174122184211236混合水平正交表及其用法例某農(nóng)科站進(jìn)行品種試驗(yàn)。共有4個(gè)因素：A(品種)、B(氮肥量)、C(氮、磷、鉀肥比例)、D(規(guī)格)。因素A是4水平的，另外3個(gè)因素都是2水平的，具體數(shù)據(jù)如表所示。試驗(yàn)指標(biāo)是產(chǎn)量，數(shù)值越大越好。試用混合水平正交表安排試驗(yàn)，找出最好的試驗(yàn)方案。37

因素水平A品種B氮肥量kgC氮、磷、鉀肥比例D規(guī)格1甲253:3:1662乙302:1:2773丙4丁38

因素

試驗(yàn)號(hào)ABCD試驗(yàn)指標(biāo)產(chǎn)量/kg減去20011111195-5212222055321122202042221225255312121010632122151574122185-1584211190-10K10102020K245352525K325K4-25k102.55.05.0k222.58.86.36.3k312.5k4-12.5極差35.06.31.31.3優(yōu)方案A2B2C2D239混合水平正交表及其用法從表中看出，因素A的極差最大，因此因素A對(duì)試驗(yàn)的影響最大，并且以取2水平為好；因素B的極差僅次于因素A，對(duì)試驗(yàn)的影響比因素A小，也是以取2水平為好；因素C、D的極差都很小，對(duì)試驗(yàn)的影響也就很小，都是以取2水平為好。總的說來，試驗(yàn)方案應(yīng)以A2B2C2D2為好。40擬水平法2.擬水平法在沒有合適的混合水平正交表可用時(shí)，可以對(duì)因素虛擬水平，將水平少的因素歸入水平多的因素正交表中處理。41擬水平法例今有某一試驗(yàn)，試驗(yàn)指標(biāo)只有一個(gè)，它的數(shù)值越小越好，這個(gè)試驗(yàn)有4個(gè)因素A、B、C、D，其中因素A是2水平的，其余因素都是3水平的，具體數(shù)據(jù)如表所示。試對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，找出最好的試驗(yàn)方案。(采用L9(34))42擬水平法

因素水平ABCD13501560652250880753300108543

因素水平ABCD13501560652250880753300108085擬水平法44

因素試驗(yàn)號(hào)ABCD試驗(yàn)指標(biāo)測(cè)試結(jié)果11111145212222363133231242122315522321406231121573132210832113593322147K1937065132K2708116061K3627432k131.023.321.744.0k223.327.026.720.3k320.724.710.7極差10.33.75.033.3優(yōu)方案A3B1C1D345擬水平法從表中的極差看出，因素D對(duì)試驗(yàn)的影響最大，取第3水平最好；其次是因素A取第3水平為好；再者是因素C，取第1水平為好；因素 B的影響最小，取第1水平為好?？偟膩碚f，這實(shí)驗(yàn)的最優(yōu)方案是A3B1B1D3。4612.4有交互作用的

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)在多因素試驗(yàn)中，各因素不僅各自獨(dú)立地起作用，而且各因素還聯(lián)合起來起作用。也就是說，不僅各個(gè)因素的水平改變時(shí)對(duì)試驗(yàn)的指標(biāo)有影響，而且各因素的聯(lián)合搭配對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)也有影響。這后一種影響就是因素的交互作用。因素A和因素B的交互作用記為AB。47交互作用表1.交互作用表用正交表安排有交互作用的試驗(yàn)時(shí)，把兩個(gè)因素的交互作用當(dāng)成一個(gè)新的因素來看待，讓它占有一列，叫交互作用列。交互作用列按交互作用表安排。48交互作用表

列號(hào)列號(hào)()1234567(1)325476(2)16745(3)7654(4)1