西安交大西工大 考研備考期末復(fù)習(xí) 線性代數(shù)復(fù)習(xí)

把個不同的元素排成一列，叫做這個元素的全排列（或排列）．個不同的元素的所有排列的種數(shù)用表示，且．１全排列第一章習(xí)題課逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．在一個排列中，若數(shù)，則稱這兩個數(shù)組成一個逆序．一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)．２逆序數(shù)分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)．３計算排列逆序數(shù)的方法定義在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，稱為一次對換．將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換．定理一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性．推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)．４對換５n階行列式的定義６n階行列式的性質(zhì)１）余子式與代數(shù)余子式７行列式按行（列）展開２）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)８克拉默法則克拉默法則的理論價值定理定理定理定理１用定義計算（證明）例1用行列式定義計算解

評注本例是從一般項入手，將行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)順序排列，討論列標(biāo)的所有可能取到的值，并注意每一項的符號，這是用定義計算行列式的一般方法．注意例2設(shè)證明由行列式的定義有

評注

本題證明兩個行列式相等，即證明兩點(diǎn)，一是兩個行列式有完全相同的項，二是每一項所帶的符號相同．這也是用定義證明兩個行列式相等的常用方法．２利用范德蒙行列式計算例3計算利用范德蒙行列式計算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結(jié)果。解上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知

評注本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式．３用化三角形行列式計算例4計算解提取第一列的公因子，得

評注本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式．化零時一般盡量選含有１的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有１，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的．４用降階法計算例5計算解

評注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低1階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計算出來為止（一般展開成二階行列式）．這種方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用．５用拆成行列式之和（積）計算例6證明證６用遞推法計算例7計算解由此遞推，得如此繼續(xù)下去，可得評注７用數(shù)學(xué)歸納法例8證明證對階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法評注計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應(yīng)用．在計算時，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對它進(jìn)行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法．小結(jié)１矩陣的定義第二章習(xí)題課２方陣列矩陣行矩陣兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時，就稱它們是同型矩陣．３同型矩陣和相等矩陣４零矩陣單位矩陣交換律結(jié)合律５矩陣相加運(yùn)算規(guī)律６數(shù)乘矩陣７矩陣相乘運(yùn)算規(guī)律n階方陣的冪８方陣的運(yùn)算方陣的行列式運(yùn)算規(guī)律轉(zhuǎn)置矩陣９一些特殊的矩陣對稱矩陣反對稱矩陣冪等矩陣正交矩陣對角矩陣對合矩陣上三角矩陣主對角線以下的元素全為零的方陣稱為上三角矩陣．下三角矩陣主對角線以上的元素全為零的方陣稱為下三角矩陣．伴隨矩陣定義１０逆矩陣相關(guān)定理及性質(zhì)矩陣的分塊，主要目的在于簡化運(yùn)算及便于論證．分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相類似．１１分塊矩陣一、矩陣的運(yùn)算二、逆矩陣的運(yùn)算及證明三、矩陣的分塊運(yùn)算典型例題例１計算一、矩陣的運(yùn)算解解由此得例２例３解方法一用定義求逆陣二、逆矩陣的運(yùn)算及證明注方法二利用公式例4三、矩陣的分塊運(yùn)算解（１）根據(jù)分塊矩陣的乘法，得（２）由（１）可得１初等變換的定義換法變換倍法變換消法變換第三章習(xí)題課初等變換逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換．反身性傳遞性對稱性２矩陣的等價三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣．３初等矩陣由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣．經(jīng)過初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩陣，其特點(diǎn)是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元，也就是非零行的第一個非零元．例如４行階梯形矩陣經(jīng)過初等行變換，行階梯形矩陣還可以進(jìn)一步化為行最簡形矩陣，其特點(diǎn)是：非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其它元素都為0．例如５行最簡形矩陣對行階梯形矩陣再進(jìn)行初等列變換，可得到矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是：左上角是一個單位矩陣，其余元素都為0．例如６矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個等價類中形狀最簡單的矩陣．定義７矩陣的秩定義定理行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)．８矩陣秩的性質(zhì)及定理定理定理９線性方程組有解判別定理

齊次線性方程組：把系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，寫出通解．

非齊次線性方程組：把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有解，把增廣矩陣進(jìn)一步化成行最簡形矩陣，寫出通解．10線性方程組的解法定理11初等矩陣與初等變換的關(guān)系定理推論一、求矩陣的秩二、求解線性方程組三、求逆矩陣的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法典型例題求矩陣的秩有下列基本方法（１）計算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的子式開始，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一個子式，則這個子式的階數(shù)就是矩陣的秩．一、求矩陣的秩（２）用初等變換．即用矩陣的初等行（或列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個數(shù)，而初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩陣中非零行（或列）的個數(shù)就是原矩陣的秩．例１求下列矩陣的秩解對施行初等行變換化為階梯形矩陣

注意在求矩陣的秩時，初等行、列變換可以同時兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形．當(dāng)方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)不相同時，一般用初等行變換求方程的解．當(dāng)方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相同時，求線性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換法和克萊姆法則．二、求解線性方程組例２求非齊次線性方程組的通解．解對方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，使其成為行最簡單形．由此可知，而方程組(1)中未知量的個數(shù)是，故有一個自由未知量.例３當(dāng)取何值時，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解．解法一系數(shù)矩陣的行列式為從而得到方程組的通解解法二用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形例4

解故原方程組的通解為三、求逆矩陣的初等變換法例5求下述矩陣的逆矩陣．解

注意用初等行變換求逆矩陣時，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換．同樣地，用初等列變換求逆矩陣時，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換．四、解矩陣方程的初等變換法例6解分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量．分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量．１向量的定義定義第四章習(xí)題課向量的相等零向量分量全為0的向量稱為零向量．負(fù)向量向量加法２向量的線性運(yùn)算數(shù)乘向量向量加法和數(shù)乘向量運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算，滿足下列八條運(yùn)算規(guī)則：除了上述八條運(yùn)算規(guī)則，顯然還有以下性質(zhì)：若干個同維數(shù)的列（行）向量所組成的集合叫做向量組．定義３線性組合定義４線性表示定理定義定義５線性相關(guān)定理定理定義６向量組的秩等價的向量組的秩相等．定理矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩．定理設(shè)向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩．推論１推論２推論３（最大無關(guān)組的等價定義）設(shè)向量組是向量組的部分組，若向量組線性無關(guān)，且向量組能由向量組線性表示，則向量組是向量組的一個最大無關(guān)組．７向量空間定義設(shè)為維向量的集合，如果集合非空，且集合對于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合為向量空間．定義８子空間定義９基與維數(shù)向量方程１０齊次線性方程組解向量解向量的性質(zhì)性質(zhì)１性質(zhì)２定義定理定義向量方程１１非齊次線性方程組解向量的性質(zhì)性質(zhì)１性質(zhì)２解向量向量方程的解就是方程組的解向量．（１）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系１２線性方程組的解法第一步：對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，使其變成行最簡形矩陣第三步：將其余個分量依次組成階單位矩陣，于是得齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系（２）求非齊次線性方程組的特解將上述矩陣中最后一列的前個分量依次作為特解的第個分量，其余個分量全部取零，于是得即為所求非齊次線性方程組的一個特解．一、向量組線性關(guān)系的判定二、求向量組的秩三、向量空間的判定四、基礎(chǔ)解系的求法五、解向量的證法典型例題一、向量組線性關(guān)系的判定方法1從定義出發(fā)整理得線性方程組方法２利用矩陣的秩與向量組的秩之間關(guān)系判定例１研究下列向量組的線性相關(guān)性解一整理得到解二分析證明證明向量組的一個部分組構(gòu)成最大線性無關(guān)組的基本方法就是：分析根據(jù)最大線性無關(guān)組的定義來證，它往往還與向量組的秩相聯(lián)系．證明二、求向量組的秩解()為階梯形化行變換作初等對作矩陣AAA,,54321aaaaa=解三、向量空間的判定例６證明與基礎(chǔ)解系等價的線性無關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系．四、基礎(chǔ)解系的證法分析(3)方程組的任一解均可由該向量組線性表示．(1)該組向量都是方程組的解；(2)該組向量線性無關(guān)；要證明某一向量組是方程組的基礎(chǔ)解系，需要證明三個結(jié)論:證明

注當(dāng)線性方程組有非零解時，基礎(chǔ)解系的取法不唯一，且不同的基礎(chǔ)解系之間是等價的．五、解向量的證法證明注意(1)本例是對非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)作進(jìn)一步的分析和討論，即非齊次線性方程組一定存在著個線性無關(guān)的解，題中(2)的證明表明了它的存在性．

(3)對非齊次線性方程組，有時也把如題中所給的個解稱為的基礎(chǔ)解系，所不同的是它的線性組合只有當(dāng)線性組合系數(shù)之和為1時，才是方程組的解．

(2)對齊次線性方程組，當(dāng)時，有無窮多組解，其中任一解可由其基礎(chǔ)解系線性表示．定義１向量內(nèi)積的定義及運(yùn)算規(guī)律第五章習(xí)題課定義向量的長度具有下列性質(zhì)：２向量的長度定義３向量的夾角所謂正交向量組，是指一組兩兩正交的非零向量．向量空間的基若是正交向量組，就稱為正交基．定理定義４正交向量組的性質(zhì)施密特正交化方法第一步正交化第二步單位化定義５正交矩陣與正交變換方陣為正交矩陣的充分必要條件是的行（列）向量都是單位向量，且兩兩正交．定義若為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換．正交變換的特性在于保持線段的長度不變．定義６方陣的特征值和特征向量７有關(guān)特征值的一些結(jié)論定理定理屬于同一個特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量．８有關(guān)特征向量的一些結(jié)論定義矩陣之間的相似具有(1)自反性；(2)對稱性；(3)傳遞性．９相似矩陣１０有關(guān)相似矩陣的性質(zhì)若與相似，則與的特征多項式相同，從而與的特征值亦相同．

(4)能對角化的充分必要條件是有個線性無關(guān)的特征向量．(5)有個互異的特征值，則與對角陣相似．１１實(shí)對稱矩陣的相似矩陣定義１２二次型二次型與它的矩陣是一一對應(yīng)的．定義１３二次型的標(biāo)準(zhǔn)形１４化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定義１５正定二次型１６慣性定理注意１７正定二次型的判定一、證明所給矩陣為正交矩陣典型例題二、將線性無關(guān)向量組化為正交單位向量組三、特征值與特征向量的求法四、已知的