【高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題】專(zhuān)題21 等差等比數(shù)列性質(zhì)的求解策略解題模板-高中數(shù)學(xué)解題模板

等差等比數(shù)列性質(zhì)的解題模板【考點(diǎn)綜述】在數(shù)學(xué)高考中，考查數(shù)列的有關(guān)知識(shí)時(shí)，常常會(huì)涉及對(duì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)列“基本量”或“等差、等比數(shù)列的性質(zhì)”解決有關(guān)問(wèn)題的考查．學(xué)生如能靈活運(yùn)用“等差、等比數(shù)列的性質(zhì)”解題，則往往收到“事半功倍”的效果．從內(nèi)容上看，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)一直是高考的熱點(diǎn)；在能力方面，要求學(xué)生具備一定的創(chuàng)新能力和抽象概括能力；從命題形式上看，以選擇、填空題為主，難度不大．【解題方法思維導(dǎo)圖預(yù)覽】【解題方法】解題方法模板一：廣義通項(xiàng)法使用情景：涉及等差、等比數(shù)列三項(xiàng)關(guān)系類(lèi)型解題模板：第一步先確定等差數(shù)列對(duì)應(yīng)的項(xiàng)；第二步再根據(jù)等差、等比通項(xiàng)公式廣義定義列式；第三步得出結(jié)論解題模板應(yīng)用：例1在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和．若，且，則等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解題模板選擇：本題中涉及等差數(shù)列三項(xiàng)關(guān)系，故選取解題方法模板一廣義通項(xiàng)法進(jìn)行解答．解題模板應(yīng)用：第一步先確定等差數(shù)列對(duì)應(yīng)的項(xiàng)；∵是等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，所以數(shù)列是等差數(shù)列，因此數(shù)列第第二步再根據(jù)等差、等比通項(xiàng)公式廣義定義列式；第三步得出結(jié)論：，，故選D練習(xí)：1.正項(xiàng)等比數(shù)列中，存在兩項(xiàng)使得，且，則的最小值是A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由得解得，再由得，所以，所以.考點(diǎn)：數(shù)列與基本不等式.【思路點(diǎn)晴】本題主要考查等比數(shù)列的基本元思想，考查基本不等式.第一步是解決等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，也即求出等比數(shù)列的基本元，在求解過(guò)程中，先對(duì)具體的數(shù)值條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，可求出，由此化簡(jiǎn)第一個(gè)條件，可得到；接下來(lái)第二步是基本不等式常用的處理技巧，先乘以一個(gè)常數(shù)，再除以這個(gè)常數(shù)，構(gòu)造基本不等式結(jié)構(gòu)來(lái)求.2.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則的最小值為_(kāi)______.【答案】20【解析】【詳解】試題分析：設(shè)，則，由于是等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為20.考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)，基本不等式.解題方法模板二：項(xiàng)等距法使用情景：已知涉及各項(xiàng)項(xiàng)數(shù)成等距類(lèi)型解題模板：第一步觀察各項(xiàng)項(xiàng)數(shù)的等距特征；第二步利用等差、等比性質(zhì)化簡(jiǎn)；第三步得出結(jié)論．解題模板應(yīng)用：例2等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解題模板選擇：本題中具有項(xiàng)數(shù)成等距特征，故選取解題方法模板二等距法進(jìn)行解答．解題模板應(yīng)用：第一步，觀察各項(xiàng)數(shù)的等距特征；因?yàn)榈诙剑玫炔?、等比性質(zhì)化簡(jiǎn)；由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，所以．．則，第三步，得出結(jié)論：故選B．練習(xí)：3.在等差數(shù)列中，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，將已知式子和所求式子都轉(zhuǎn)化為，即可求解【詳解】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，求得，再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可求得結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，所以..則，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬綜合基礎(chǔ)題.5.在等比數(shù)列中，若，，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把代入中，用上即可【詳解】解：是等比數(shù)列故選：C【點(diǎn)睛】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求值，基礎(chǔ)題.6.已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，且，則當(dāng)時(shí)，__________________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)?，l，2，…，且，所以=n（2n-1）．考點(diǎn)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，在等比數(shù)列中，．解題方法模板三：和項(xiàng)等距法使用情景：已知涉及各和項(xiàng)項(xiàng)數(shù)成等距類(lèi)型解題模板：第一步觀察各和項(xiàng)項(xiàng)數(shù)的等距特征；第二步利用等差、等比性質(zhì)化簡(jiǎn)；第三步得出結(jié)論．解題模板應(yīng)用：例3已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（）A．－510B．400C．400或－510D．30或40【答案】B【解析】解題模板選擇：本題中涉及各和項(xiàng)項(xiàng)數(shù)成等距，故選取解題方法模板三和項(xiàng)等距法進(jìn)行解答．解題模板應(yīng)用：第一步，觀察各和項(xiàng)項(xiàng)數(shù)等距特征；因?yàn)橐来螢檫B續(xù)10項(xiàng)的和第二步，利用等差、等比性質(zhì)化簡(jiǎn)；所以依次構(gòu)成等比數(shù)列，舍負(fù)．第三步，得出結(jié)果．故選B．練習(xí)：7.等比數(shù)列前n項(xiàng)和為，若，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到成等比，從而列出關(guān)系式，又，接著用表示，代入到關(guān)系式中，可求出的值.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，則成等比，且，所以，又因?yàn)?，即，所以，整理?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題。解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到成等比.8.如果一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有A.13項(xiàng) B.12項(xiàng) C.11項(xiàng) D.10項(xiàng)【答案】A【解析】【詳解】試題分析：設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)，則，因此即，則，故；考點(diǎn)：1．等差數(shù)列的性質(zhì)，2．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；解題方法模板四：數(shù)列函數(shù)性質(zhì)法使用情景：涉及數(shù)列最值范圍問(wèn)題．解題模板：第一步根據(jù)條件化簡(jiǎn)揭示一元函數(shù)關(guān)系；第二步根據(jù)函數(shù)性質(zhì)、方程有解、不等式成立等轉(zhuǎn)化列式；第三步解得結(jié)果．解題模板應(yīng)用：例4若等差數(shù)列滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】【解析】解題模板選擇：本題中涉及和項(xiàng)最值問(wèn)題，故選取解題方法模板四函數(shù)性質(zhì)法進(jìn)行解答．解題模板應(yīng)用：解題模板：第一步根據(jù)條件化簡(jiǎn)揭示一元函數(shù)關(guān)系；數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以．因?yàn)椋?，所以，所以，第二步根?jù)函數(shù)性質(zhì)、方程有解、不等式成立等轉(zhuǎn)化列式；因?yàn)榉匠逃薪?，所以，第三步解得結(jié)果．所以，則的最大值為．故答案為：．練習(xí)：9.已知等差數(shù)列，滿(mǎn)足，，且數(shù)列的前n項(xiàng)和有最大值，那么取最小正值時(shí)，（）A.4037 B.4036 C.4035 D.4034【答案】A【解析】【分析】由題意易得該數(shù)列為遞減數(shù)列，且前2019項(xiàng)為正數(shù)，從第2020項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，由等差數(shù)列求和公式的性質(zhì)可得，，，即得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和有最小值，所以數(shù)列是遞減的等差數(shù)列又，，所以即數(shù)列的前2019項(xiàng)為正數(shù)，從第2020項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù)，由等差數(shù)列求和公式和性質(zhì)可知，，所以當(dāng)取最小正值時(shí)，4037故選：A【點(diǎn)睛】本題考查由等差數(shù)列求和公式的性質(zhì)求數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小正數(shù)值時(shí)的項(xiàng)數(shù)，屬于中檔題.10.設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，，，則的最大值為A.3 B.4 C. D.【答案】B【解析】【詳解】∵S4≥10，S5≤15

∴a1+a2+a3+a4≥10，a1+a2+a3+a4+a5≤15

∴a5≤5，a3≤3

即：a1+4d≤5，a1+2d≤3

兩式相加得：2（a1+3d）≤8

∴a4≤4

故答案是411.若等差數(shù)列的公差，前n項(xiàng)和為，若，都有，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，都有，可得，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷.【詳解】等差數(shù)列的公差，，都有，，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且公比，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先將等式展開(kāi)，并根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)一步化簡(jiǎn)，然后提煉出與的關(guān)系式，即可解得的取值范圍．【詳解】由，得∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴，∴又，∴．∵，∴，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比數(shù)列的性質(zhì)，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算．13.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，已知，其前項(xiàng)積為，且，則取得最大值時(shí)，的值是（）A.9 B.8或9 C.10或11 D.9或10【答案】D【解析】【分析】首先求出首項(xiàng)和公比，解不等式組，代入通項(xiàng)公式求解出即可【詳解】（法一）∵等比數(shù)列，其前項(xiàng)積為，且.∴，∴，∴.故.∵，所以前項(xiàng)積有.又因?yàn)?，所以為前?xiàng)積的最大值.（法二）∵，.∴.當(dāng)時(shí)，有最大值，解得.∴時(shí)，有最大值.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列前項(xiàng)積的最大值.其實(shí)質(zhì)是求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值的變型.第一步：求出等比數(shù)列首項(xiàng)，公比.第二步：解不等式組.滿(mǎn)足不等式組的的值，即為使前項(xiàng)積取最大值時(shí)的項(xiàng)數(shù).解題方法模板五：和項(xiàng)與通項(xiàng)綜合性質(zhì)法使用情景：涉及和項(xiàng)與通項(xiàng)綜合問(wèn)題．解題模板：第一步利用通項(xiàng)估計(jì)和項(xiàng)符號(hào)；第二步根據(jù)等差數(shù)列和項(xiàng)性質(zhì)求最值；第三步得出結(jié)果．解題模板應(yīng)用：例5{an}為等差數(shù)列，若，且它的前n項(xiàng)和Sn有最小值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，n＝（）A．2019B．2020C．4039D．4040【答案】C【解析】解題模板選擇：本題涉及和項(xiàng)與通項(xiàng)綜合問(wèn)題，故選取解題方法模板五和項(xiàng)與通項(xiàng)綜合性質(zhì)進(jìn)行解答．解題模板應(yīng)用：第一步利用通項(xiàng)估計(jì)和項(xiàng)符號(hào)；若，且它的前n項(xiàng)和Sn有最小值，∴a2019＜0，a2020＞0．∴a2019+a2020＜0．第二步根據(jù)等差數(shù)列和項(xiàng)性質(zhì)求最值；S4038＝2019（a1+a4038）＝2019（a2019+a2020）＜0．S40394039a2020＞0．第三步得出結(jié)果．那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，n＝4039．故選：C．練習(xí)：14.若等差數(shù)列中，，則（）A.1000 B.500 C.250 D.50【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得,再由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，，由等差數(shù)列性質(zhì)可知，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，n的值為（）A.20 B.21 C.22 D.23【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性、性質(zhì)，求和公式列出不等式，求解即可.【詳解】因?yàn)榍?，所以，所以?shù)列首項(xiàng)為負(fù)，單調(diào)遞增，第11項(xiàng)開(kāi)始為正，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.16.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差性質(zhì)可知,即可求得,進(jìn)而求得的解.【詳解】等差數(shù)列,,則有.,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的求和,三角函數(shù)求值,難度較易.17.已知函數(shù)在上單調(diào)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，若數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，則的前100項(xiàng)的和為A.300 B.100 C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)y＝f（x﹣2）的圖象關(guān)于x＝1軸對(duì)稱(chēng)，平移可得y＝f（x）的圖象關(guān)于x＝﹣1對(duì)稱(chēng)，由題意可得a50+a51＝﹣2，運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，計(jì)算即可得到所求和．【詳解】函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)，且函數(shù)y＝f（x﹣2