隨機(jī)數(shù)學(xué)課件：第6章 樣本及其樣本函數(shù)的分布

本章轉(zhuǎn)入課程的第二部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計(jì)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)是應(yīng)用面廣，分支較多.社會的發(fā)展不斷向統(tǒng)計(jì)提出新的問題.計(jì)算機(jī)的誕生與發(fā)展，為數(shù)據(jù)處理提供了強(qiáng)有力的技術(shù)支持，數(shù)理統(tǒng)計(jì)與計(jì)算機(jī)的結(jié)合是必然的發(fā)展趨勢.前言:由于學(xué)時(shí)有限，課程的這部分內(nèi)容重點(diǎn)在于介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一些重要概念和典型的統(tǒng)計(jì)方法，它們是實(shí)際中最常用的知識.從歷史的典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關(guān)于錢糧、戶口、地震、水災(zāi)等等的記載，說明人們很早就開始了統(tǒng)計(jì)的工作.但是當(dāng)時(shí)的統(tǒng)計(jì)，只是對有關(guān)事實(shí)的簡單記錄和整理，而沒有在一定理論的指導(dǎo)下，作出超越這些數(shù)據(jù)范圍之外的推斷.到了十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初，隨著近代數(shù)學(xué)和概率論的發(fā)展，才真正誕生了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)這門學(xué)科.數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科.它是研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對所考察的問題作出推斷和預(yù)測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議.數(shù)理統(tǒng)計(jì)不同于一般的資料統(tǒng)計(jì)，它更側(cè)重于應(yīng)用隨機(jī)現(xiàn)象本身的規(guī)律性進(jìn)行資料的收集、整理和分析.由于大量隨機(jī)現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出它的規(guī)律性，因而從理論上講，只要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次觀察，被研究的隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出來.只允許我們對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行次數(shù)不多的觀察試驗(yàn)，也就是說,我們獲得的只是局部觀察資料.但客觀上數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是研究怎樣有效地收集、整理、分析所獲得的有限的資料，對所研究的問題,盡可能地作出精確而可靠的結(jié)論.

由于推斷是基于抽樣數(shù)據(jù)，抽樣數(shù)據(jù)又不能包括研究對象的全部信息.因而由此獲得的結(jié)論必然包含不肯定性.在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，不是對所研究的對象全體(稱為總體)進(jìn)行觀察，而是抽取其中的部分(稱為樣本)進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)（抽樣），并通過這些數(shù)據(jù)對總體進(jìn)行推斷.下面我們以一例進(jìn)行說明：某種子公司A，栽種了幾種類別的鮮花，收獲了大量的花籽，并把每25?；ㄗ言梢恍“鍪?一個零售商批發(fā)了若干包，并向顧客保證：在每包25?；ㄗ阎兄辽儆?2粒將能發(fā)芽，否則的話可免費(fèi)調(diào)換另一包.每包要是有3粒不發(fā)芽，馬上免費(fèi)退換！每包25粒每包25粒中至少有22粒將發(fā)芽所有的包都如此嗎？？這種類型的不肯定性，即不知道種子公司出售的小包中可接受的比例，它是由于對總體的真實(shí)狀態(tài)（天然狀態(tài)）無知所引起的不肯定性.零售商面臨如下兩種類型的不肯定性：(1)他對種子公司出售的小包中可接受（即至少有22?；ㄗ褜l(fā)芽）的包數(shù)所占比例是不清楚的.這是第一類不肯定性.(2)由于種子公司出售的花籽的貨單上，這類花籽共有一百萬包，而零售商只購買了200包，那些包是可接受呢？這就是盡管他知道了一百萬包可接受的比例，但對他所購買的200包，其中可接受的比例仍舊沒有“把握”.從中購買200包共100萬包因此他又面臨著另一類不肯定性；零售商購買的200包仍有可能“碰巧”是從不可接受的一萬包中選取的.那些包是可接受的呢？？即使是0.99，即種子公司出售的一百萬包中有99萬包是可接受的，這樣他就要損失一筆資金.從中購買200包共100萬包這一類不肯定性是由于“隨機(jī)性”所引起的.在已知的條件下，這種不肯定性的程度已在概率論部分作過討論.下面我們回到第一類不肯定性：零售商對種子公司出售的小包中可接受（即至少有22?；ㄗ褜l(fā)芽）的包數(shù)所占比例是多少沒有把握.零售商能夠根據(jù)試驗(yàn)的方法（請公司進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)）來改善他的處境.根據(jù)試驗(yàn)他能作出天然狀況是多少的決策.這就是抽取部分種籽進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，通過這部分中發(fā)芽數(shù)所占比例（頻率)來對的真值進(jìn)行推斷.(1)怎樣設(shè)計(jì)試驗(yàn)，決定觀察的數(shù)目；(2)怎樣利用試驗(yàn)觀察的結(jié)果作出一個“好”的推斷等.這都是數(shù)理統(tǒng)計(jì)所要研究的問題.雖然他不能精確地和肯定地確定，但可以期望獲得一個（在某種意義下）比較好的推斷.這就涉及到第一個問題是怎樣進(jìn)行抽樣，使抽得的樣本更合理,并有更好的代表性？這是抽樣方法和試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題：最簡單易行的是進(jìn)行隨機(jī)抽樣.

第二個問題是怎樣從取得的樣本去推斷總體？這種推斷具有多大的可靠性？這是統(tǒng)計(jì)推斷問題.本課程著重討論第二個問題,即最常用統(tǒng)計(jì)推斷方法.

概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概率論的重要應(yīng)用.但它們是并列的兩個學(xué)科，并無從屬關(guān)系.可見，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中必然要用到概率論的理論和方法.因?yàn)殡S機(jī)抽樣的結(jié)果帶有隨機(jī)性，不能不把它當(dāng)作隨機(jī)現(xiàn)象來處理.

由此也可以說，統(tǒng)計(jì)方法具有“部分推斷整體”的特征.在結(jié)束本前言之前，我們需要強(qiáng)調(diào)說明一點(diǎn)：因?yàn)槲覀兪菑囊恍〔糠謽颖居^察值去推斷該全體對象（總體）情況，即由部分推斷全體.這里使用的推理方法是“歸納推理”.這種歸納推理不同于數(shù)學(xué)中的“演繹推理”，它在作出結(jié)論時(shí)，是根據(jù)所觀察到的大量個別情況，“歸納”起來所得，而不是從一些假設(shè)、命題、已知的事實(shí)等出發(fā)，按一定的邏輯推理去得出來的.

例如，在幾何學(xué)中要證明“等腰三角形底角相等”只須從“等腰”這個前提出發(fā)，運(yùn)用幾何公理，一步一步推出這個結(jié)論.

而一個習(xí)慣于統(tǒng)計(jì)思想的人，就可能想出這樣的方法：做很多大小形狀不一的等腰三角形，實(shí)地測量其底角，看差距如何，根據(jù)所得資料看看可否作出“底角相等”的結(jié)論.這樣做就是歸納式的方法.現(xiàn)在要問：從局部觀察要對總體下結(jié)論有沒有片面性呢？結(jié)論是否可靠？顯然這里不僅依賴于進(jìn)行局部觀察的“樣本”是否具有總體的代表性，也依賴于對從這些樣本得到數(shù)據(jù)的合理加工、分析并得出論斷.我們說，如果這一切都建立在可靠的科學(xué)基礎(chǔ)上，則對總體下結(jié)論是可能的也是可靠的.因?yàn)檫@里存在著樣品（隨機(jī)抽取的一個個體）個性(特殊性)和總體共性(普遍性)之間的一種內(nèi)在的、對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系.我們對每個經(jīng)過合理手續(xù)選取的一個樣品也應(yīng)看到它所具有的兩重性：一方面它具有特殊性，因?yàn)樗吘故莻€別觀察值，不能反映總體的全面性質(zhì)，有片面性.因而統(tǒng)計(jì)上往往不采用由一次抽取的樣品來下結(jié)論.在這個基礎(chǔ)上再加上科學(xué)的推斷方法，對總體下的結(jié)論同樣也是可靠的.另一方面也要看到“普遍性即存在于特殊性之中”，即每個樣品的情況又必然反映總體的一些普遍性.當(dāng)樣品有一定數(shù)量時(shí)總體的普遍性是可以得到比較真實(shí)的反映的.但此時(shí)還應(yīng)記住畢竟是由“局部”推斷“整體”，因而仍可能犯錯誤，結(jié)論往往又是在某個“可靠性水平”之下得出的.這種矛盾的特殊性與普遍性的辯證統(tǒng)一在統(tǒng)計(jì)學(xué)中貫穿始終，是我們應(yīng)該記住的基本思想.第六章

樣本及其樣本函數(shù)的分布第一節(jié)總體與樣本

一、總體與個體二、隨機(jī)樣本三、統(tǒng)計(jì)量四、小結(jié)1.1總體與個體一個統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研究對象.研究對象的全體稱為總體(母體)，總體中每個成員稱為個體.研究某批燈泡的質(zhì)量…考察國產(chǎn)轎車的質(zhì)量總體總體然而在統(tǒng)計(jì)研究中，人們往往關(guān)心每個個體的一項(xiàng)(或幾項(xiàng))數(shù)量指標(biāo)和該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布情況.這時(shí)，每個個體具有的數(shù)量指標(biāo)的全體就是總體.該批燈泡壽命的全體就是總體燈泡的壽命國產(chǎn)轎車每公里的耗油量所有國產(chǎn)轎車每公里耗油量的全體就是總體由于每個個體的出現(xiàn)帶有隨機(jī)性，即相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)值的出現(xiàn)帶有隨機(jī)性。從而可把此種數(shù)量指標(biāo)看作隨機(jī)變量，我們用一個隨機(jī)變量或其分布來描述總體。為此常用隨機(jī)變量的符號或分布的符號來表示總體。

通常，我們用隨機(jī)變量X,Y,Z,…,等表示總體。當(dāng)我們說到總體，就是指一個具有確定概率分布的隨機(jī)變量。如:研究某批燈泡的壽命時(shí)，我們關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命，那么，此總體就可以用隨機(jī)變量X表示，或用其分布函數(shù)F(x)表示.總體某批燈泡的壽命壽命X可用一概率分布來刻劃F(x)

類似地，在研究某地區(qū)中學(xué)生的營養(yǎng)狀況時(shí)，若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重，我們用X和Y分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機(jī)變量(X,Y)或其聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)來表示.

統(tǒng)計(jì)中，總體這個概念的要旨是：總體就是一個概率分布.

某工廠10月份生產(chǎn)的燈泡壽命所組成的總體中,個體的總數(shù)就是10月份生產(chǎn)的燈泡數(shù),這是一個有限總體;而該工廠生產(chǎn)的所有燈泡壽命所組成的總體可近似地看成一個無限總體,它包括以往生產(chǎn)和今后生產(chǎn)的燈泡壽命.

有限總體和無限總體實(shí)例

當(dāng)有限總體包含的個體的總數(shù)很大時(shí),可近似地將它看成是無限總體.為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個體進(jìn)行觀察試驗(yàn)，以獲得有關(guān)總體的信息，這一抽取過程稱為“抽樣”，所抽取的部分個體稱為樣本.樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量.1.2簡單隨機(jī)樣本從國產(chǎn)轎車中抽5輛進(jìn)行耗油量試驗(yàn)樣本容量為51.樣本的定義樣本是隨機(jī)變量.抽到哪5輛是隨機(jī)的容量為n的樣本可以看作n維隨機(jī)變量.2.獨(dú)立性：X1,X2,…,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.由于抽樣的目的是為了對總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法.最常用的一種抽樣方法叫作“簡單隨機(jī)抽樣”，它要求抽取的樣本滿足下面兩點(diǎn):1.代表性：X1,X2,…,Xn中每一個與所考察的總體有相同的分布.2.簡單隨機(jī)樣本定義:若總體的分布函數(shù)為F(x)，則其簡單隨機(jī)樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1)F(x2)…F(xn)簡單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，當(dāng)說到“X1,X2,…,Xn是取自某總體的樣本”時(shí)，若不特別說明，就指簡單隨機(jī)樣本.事實(shí)上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值.如我們從某班大學(xué)生中抽取10人測量身高，得到10個數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本.我們只能觀察到隨機(jī)變量取的值而見不到隨機(jī)變量.3.總體、樣本、樣本值的關(guān)系總體（理論分布）？樣本樣本值統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料--樣本值，去推斷總體的情況---總體分布F(x)的性質(zhì).總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體.樣本是聯(lián)系二者的橋梁4.樣本的分布解例1(教材P139例1.2）解例2第二節(jié)直方圖與樣本分布函數(shù)一、直方圖二、樣本分布函數(shù)問題引出：想了解某個城市的家庭月消費(fèi)情況。解決方法：從這個城市里隨機(jī)地調(diào)查有代表性的一些家庭，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)去得出這個城市的家庭月消費(fèi)金額的有關(guān)信息。1.如何得到樣本？

各個階層的比例應(yīng)該各占多少？樣本容量n應(yīng)該取多少才合適？被調(diào)查者拒絕調(diào)查怎么辦？抽樣調(diào)查2.如何確定總體的分布？

這里的總體是這個城市的家庭月消費(fèi)金額，我們不妨認(rèn)為家庭月消費(fèi)金額是一個服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或者是所討論的問題的實(shí)際背景，總體的分布類型一般可以事先確定下來。(不同的城市對應(yīng)的期望、方差也就不相同)

即，總體隨機(jī)變量

X~N()，而這個城市相應(yīng)的兩個參數(shù)與是未知的。

當(dāng)不知道或者不好確定總體的分布類型時(shí)，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中常常采用兩種辦法來近似得到總體分布的有關(guān)信息。２.１直方圖的方法教材P140

只適用于連續(xù)總體，得到的是總體密度函數(shù)的近似。Oxy4.

經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)2.2樣本(經(jīng)驗(yàn))分布函數(shù)的方法教材P143性質(zhì):格里汶科定理（定理5.3）例1例2第三節(jié)樣本函數(shù)及其概率分布二、常用的樣本函數(shù)概率分布一、常用的統(tǒng)計(jì)量１.統(tǒng)計(jì)量是不是例12.

幾個常用統(tǒng)計(jì)量(樣本矩)的定義(1)樣本均值(2)樣本方差其觀察值它反映了總體均值的信息它反映了總體方差的信息其觀察值(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差其觀察值(4)

樣本k階(原點(diǎn))矩其觀察值(5)樣本k階中心矩其觀察值(6)次序統(tǒng)計(jì)量定義特別的說明：例2樣本矩具有下列性質(zhì):性質(zhì)1

證明注:樣本方差與樣本二階中心矩的不同關(guān)系式1）2）證明再根據(jù)第四章辛欽定理知性質(zhì)2由第五章關(guān)于依概率收斂的序列的性質(zhì)知

此結(jié)論是下一章所要介紹的矩估計(jì)法以上的理論根據(jù).1.單個正態(tài)總體情形定理3.1或正態(tài)總體的兩個常用樣本函數(shù)的分布(見教材P149）

用于總體方差已知時(shí)，估計(jì)或檢驗(yàn)總體均值

證明:

(教材149頁/例3.3)設(shè)總體X~N(30,16),從總體X中抽取容量為n的樣本.(1)n=25時(shí),求例3(2)要使得問樣本容量n至少應(yīng)取多大?解:由定理3.1知(2)設(shè)樣本容量為n,由于要使應(yīng)有所以樣本容量n至少應(yīng)取為62.定理3.22.兩個正態(tài)總體情形總體X和Y，則(見教材P150）解例4(教材151頁/例3.4)例5(教材162頁第7題)解四、小結(jié)個體總體有限總體無限總體基本概念:說明1

一個總體對應(yīng)一個隨機(jī)變量X,我們將不區(qū)分總體和相應(yīng)的隨機(jī)變量,統(tǒng)稱為總體X.說明2

在實(shí)際中遇到的總體往往是有限總體,它對應(yīng)一個離散型隨機(jī)變量;當(dāng)總體中包含的個體的個數(shù)很大時(shí),在理論上可認(rèn)為它是一個無限總體.隨機(jī)樣本總體,樣本,樣本值的關(guān)系總體(理論分布)樣本樣本值?數(shù)理統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料--樣本值,去推斷總體的情況--總體的分布F(x)的性質(zhì).樣本是聯(lián)系二者的橋梁.總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律,也就是樣本取到樣本值的規(guī)律,因而可以由樣本值去推斷總體.兩個最重要的統(tǒng)計(jì)量:樣本均值樣本方差正態(tài)總體的兩個常用樣本函數(shù)的分布第6.4-6.6節(jié)統(tǒng)計(jì)三大分布一、常見分布二、概率分布的分位數(shù)三、小結(jié)

n=1

時(shí),其密度函數(shù)為n=2時(shí),其密度函數(shù)為為參數(shù)為2的指數(shù)分布.2468100.10.20.30.4一般其中，在x>0時(shí)收斂，稱為函數(shù)，具有性質(zhì)的密度函數(shù)為自由度為

n的性質(zhì)1證明:（見教材P147）性質(zhì)2(此性質(zhì)可以推廣到多個隨機(jī)變量的情形)性質(zhì)3同理與相互獨(dú)立(習(xí)題課教程P453例17)課堂練習(xí)(教材157頁第4題)解根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì),注：P344附表4只詳列到n=45為止.例如利用以上公式,費(fèi)歇爾(R.A.Fisher)證明:定理4.1證明（見教材P148）用于總體均值已知時(shí)，估計(jì)或檢驗(yàn)總體方差解:由定理4.1可知（教材P148）定理4.2(教材149頁)用于總體均值未知時(shí)，估計(jì)或檢驗(yàn)總體方差注:自由度減少一個!減少一個自由度的原因：事實(shí)上，它們受到一個條件的約束：例4.2解

由定理4.2可知(書P149)例4.3設(shè)總體X服從正態(tài)分布從總體X中抽取容量為16的樣本,解:總體方差（教材P149-150）查P346附表4,當(dāng)自由度n=15時(shí),有t分布又稱學(xué)生氏(Student)分布.2.當(dāng)n充分大時(shí),其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量概率密度的圖形.t

分布具有下列性質(zhì)：性質(zhì)1設(shè),則當(dāng)時(shí)有性質(zhì)2設(shè)，是T的分布密度，則此性質(zhì)說明，當(dāng)時(shí)，T分布的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。（教材158頁第11題）例5.2解由分布的對稱性知定理5.1且兩者獨(dú)立,由t分布的定義知證明（書P151）

用于總體方差未知時(shí)，對均值的估計(jì)或檢驗(yàn)定理5.2(書P152)證明3.其中分別表示F分布的第一、第二自由度(書P153)(1)(2)這說明F分布極限分布也是正態(tài)分布.(3)（教材158頁第10題）證明定理6.1（書P155）證明:定理6.2證明:（書P156）例6.2解:根據(jù)定理6.2可得（教材P156例6.1）小結(jié)1.三大統(tǒng)計(jì)分布的定義,性