3.3.2簡單的線性規(guī)劃2

xyo簡單的線性規(guī)劃（2）——線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用解線性規(guī)劃問題的步驟：

（1）畫：畫出可行域；（2）移:畫目標(biāo)函數(shù)并平移，尋找最優(yōu)解；

（3）求：求出最優(yōu)解;（4）代入目標(biāo)函數(shù)求最值;

練習(xí)例題分析例1:某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需消耗A種礦石10t、B種礦石5t、煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1噸需消耗A種礦石4t、B種礦石4t、煤9t.每1t甲種產(chǎn)品的利潤是600元,每1t乙種產(chǎn)品的利潤是1000元.工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中要求消耗A種礦石不超過300t、消耗B種礦石不超過200t、消耗煤不超過360t.甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少(精確到0.1t),能使利潤總額達(dá)到最大?

甲產(chǎn)品（1t）

乙產(chǎn)品（1t）

資源限額（t）A種礦石（t）

B種礦石（t）

煤（t）

利潤（元）

產(chǎn)品消耗量資源列表：51046004491000300200360解:設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.分別為xt、yt,利潤總額為z元例題分析

甲產(chǎn)品（1t）

乙產(chǎn)品（1t）

資源限額（t）A種礦石（t）

B種礦石（t）

煤（t）

利潤（元）

產(chǎn)品消耗量資源列表：51046004491000300200360把題中限制條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化：約束條件10x+4y≤3005x+4y≤2004x+9y≤360x≥0y≥0z=600x+1000y.

目標(biāo)函數(shù)：解:設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.分別為xt、yt,利潤總額為z元xtyt例題分析解:設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.分別為xt、yt,利潤總額為z=600x+1000y.

元,那么{10x+4y≤3005x+4y≤2004x+9y≤360x≥0y≥0z=600x+1000y.作出以上不等式組所表示的可行域作出一組平行直線

600x+1000y=Z，解得交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(12.4,34.5)5x+4y=200{4x+9y=360由10x+4y=3005x+4y=2004x+9y=360600x+1000y=0M答:應(yīng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品約12.4噸，乙產(chǎn)品34.5噸，能使利潤總額達(dá)到最大。(12.4,34.4)經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí),目標(biāo)函數(shù)在y軸上截距最大.90300xy10201075405040此時(shí)z=600x+1000y取得最大值.解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟：2）設(shè)好變?cè)⒘谐霾坏仁浇M和目標(biāo)函數(shù)

3）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；4）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解1）理清題意，列出表格：5)還原成實(shí)際問題(準(zhǔn)確作圖，準(zhǔn)確計(jì)算)例題分析例2

要將兩種大小不同規(guī)格的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示

：解：設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，則規(guī)格類型鋼板類型第一種鋼板第二種鋼板A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格212131作出可行域（如圖）目標(biāo)函數(shù)為

z=x+y今需要A,B,C三種規(guī)格的成品分別為15，18，27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少。X張y張2x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈Ny≥0y∈N例題分析x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈Ny≥0y∈N直線x+y=12經(jīng)過的整點(diǎn)是B(3,9)和C(4,8)，它們是最優(yōu)解.

作出一組平行直線z=x+y，目標(biāo)函數(shù)z=

x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)z=x+y=11.4,x+y=12解得交點(diǎn)B,C的坐標(biāo)B(3,9)和C(4,8)調(diào)整優(yōu)值法246181282724681015但它不是最優(yōu)整數(shù)解.作直線x+y=12答（略）在可行域內(nèi)找出最優(yōu)解、線性規(guī)劃整數(shù)解問題的一般方法是：1.若區(qū)域“頂點(diǎn)”處恰好為整點(diǎn)，那么它就是最優(yōu)解；（在包括邊界的情況下）2.若區(qū)域“頂點(diǎn)”不是整點(diǎn)或不包括邊界時(shí)，應(yīng)先求出該點(diǎn)坐標(biāo)，并計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值Z，然后在可行域內(nèi)適當(dāng)放縮目標(biāo)函數(shù)值，使它為整數(shù)，且與Z最接近，在這條對(duì)應(yīng)的直線中，取可行域內(nèi)整點(diǎn)，如果沒有整點(diǎn)，繼續(xù)放縮，直至取到整點(diǎn)為止。練習(xí)鞏固.某家具廠有方木料90m3，木工板600m3，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售，已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一張書桌可以獲利80元，出售一張書櫥可以獲利120元；（1）怎樣安排生產(chǎn)可以獲利最大？（2）若只生產(chǎn)書桌可以獲利多少？（3）若只生產(chǎn)書櫥可以獲利多少？由上表可知：（1）只生產(chǎn)書桌，用完木工板了，可生產(chǎn)書桌600÷2=300張,可獲利潤:80×300=24000元,但木料沒有用完（2）只生產(chǎn)書櫥，用完方木料，可生產(chǎn)書櫥90÷0.2=450張,可獲利潤120×450=54000元,但木工板沒有用完產(chǎn)品

資源

書桌（張）

書櫥（張）

資源限額

m3方木料m3

0．1

0．2

90

木工板m321600利潤（元）80120分析：xy02x+y-600=0300600x+2y-900=0A(100,400)某家具廠有方木料90m3，木工板600m3，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售，已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一張書桌可以獲利80元，出售一張書櫥可以獲利120元；（1）怎樣安排生產(chǎn)可以獲利最大？（2）若只生產(chǎn)書桌可以獲利多少？（3）若只生產(chǎn)書櫥可以獲利多少？（1）設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y張，利潤為z元，則約束條件為{0.1x+0.2y≤902x+y≤600x，y∈N*Z=80x+120y作出不等式表示的平面區(qū)域，當(dāng)生產(chǎn)100張書桌，400張書櫥時(shí)利潤最大為z=80×100+120×400=56000元（2）若只生產(chǎn)書桌可以生產(chǎn)300張，用完木工板，可獲利24000元；（3）若只生產(chǎn)書櫥可以生產(chǎn)450張，用完方木料，可獲利54000元。將直線z=80x+120y平移可知：900450求解：Xy084x=8y=47654321321x+y=104x+5y=30320x+504y=03.某運(yùn)輸公司接受了向抗洪搶險(xiǎn)地區(qū)每天至少運(yùn)送180噸支援物資的任務(wù)，該公司有8輛載重量為6噸的A型卡車和4輛載重量為10噸的B型卡車，有10名駕駛員；每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車4次，B型卡車3次，每輛卡車每天往返的成本費(fèi)A型卡車為320元，B型卡車為504元，問如何安排車輛才能使該公司所花的成本費(fèi)最低，最低為多少元？(要求每型卡車至少安排一輛）解：設(shè)每天調(diào)出的A型車x輛，B型車y輛，公司所花的費(fèi)用為z元，則x≤8{y≤4x+y≤10x,y∈N*4x+5y≥30Z=320x+504y作出可行域中的整點(diǎn)，可行域中的整點(diǎn)（5，2）使Z=320x+504y取得最小值，且Zmin=2608元作出可行域二元一次不等式

表示平面區(qū)域直線定界，

特殊點(diǎn)定域簡單的線性規(guī)劃約束條件目標(biāo)函數(shù)可行解可行域最優(yōu)解應(yīng)用求解方法：畫、移、求、答例題分析x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈N*y≥0y∈N*經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)B(3,9)和C(4,8)時(shí)，t=x+y=12是最優(yōu)解.答:(略)作出一組平行直線t

=

x+y，目標(biāo)函數(shù)t

=

x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打網(wǎng)格線法在可行域內(nèi)打出網(wǎng)格線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)t=x+y=11.4,但它不是最優(yōu)整數(shù)解，將直線x+y=11.4繼續(xù)向上平移，12121827159781.咖啡館配制兩種飲料．甲種飲料每杯含奶粉9g、咖啡4g、糖3g,乙種飲料每杯含奶粉4g、咖啡5g、糖10g．已知每天原料的使用限額為奶粉3600g，咖啡2000g糖3000g,如果甲種飲料每杯能獲利0.7元，乙種飲料每杯能獲利1.2元，每天在原料的使用限額內(nèi)飲料能全部售出，每天應(yīng)配制兩種飲料各多少杯能獲利最大？

解：將已知數(shù)據(jù)列為下表：

消耗量資源甲產(chǎn)品（1杯）乙產(chǎn)品(1杯)資源限額（g）奶粉（g）943600咖啡(g)452000糖(g)3103000利潤（元）0.71.2

產(chǎn)品練習(xí)鞏固設(shè)每天應(yīng)配制甲種飲料x杯，乙種飲料y杯，則作出可行域：目標(biāo)函數(shù)為：z=0.7x+1.2y作直線l:0.7x+1.2y=0，把直線