角動量角動量守恒定律

角動量守恒定律教材：5.2與5.5節(jié)（學(xué)習(xí)角動量守恒定律主要是為了研究剛體的定軸轉(zhuǎn)動問題，注意剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系）作業(yè)：練習(xí)6一、概念：角動量、力矩、沖量矩、角量系統(tǒng)二、質(zhì)點(diǎn)角動量定理三、質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理四、角動量守恒定律yzmo質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律概念：剛體、定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動定律角動量轉(zhuǎn)動慣量角動量時間變化率力矩角動量定理角動量守恒定律結(jié)構(gòu)框圖：重要性：中學(xué)未接觸的新內(nèi)容大到星系，小到基本粒子都有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動；微觀粒子的角動量具有量子化特征；角動量守恒定律與空間旋轉(zhuǎn)對稱性相對應(yīng)。【引入】為什么提出“角動量”概念？問題一：兩個質(zhì)點(diǎn)如右圖，以不同半徑的軌道轉(zhuǎn)動，動量大小相等，位移方向相同時連動量方向也相同，該如何區(qū)別兩個質(zhì)點(diǎn)？但是系統(tǒng)有機(jī)械運(yùn)動，說明不宜使用動量來量度轉(zhuǎn)動物體的機(jī)械運(yùn)動量。問題二：將一繞通過質(zhì)心的固定軸轉(zhuǎn)動的圓盤視為一個質(zhì)點(diǎn)系，系統(tǒng)總動量為CM*引入與動量對應(yīng)的角量——角動量（動量矩）動量對參考點(diǎn)（或軸）求矩一、相關(guān)概念

1.

質(zhì)點(diǎn)的角動量(angularmomentum)定義：大?。悍较颍簓zmo質(zhì)點(diǎn)相對O點(diǎn)的矢徑質(zhì)點(diǎn)的角動量的方向質(zhì)點(diǎn)以角速度作半徑為

的圓運(yùn)動，相對圓心的角動量的方向符合右手法則。1）從位矢轉(zhuǎn)向速度2）夾角小于180度

注意四指代表質(zhì)點(diǎn)相對于0點(diǎn)的轉(zhuǎn)動趨勢，則大拇指代表角動量的方向【特別】在圓軌跡運(yùn)動時直角坐標(biāo)系中角動量的分量表示

注意*必須指明參考點(diǎn)，角動量才有實(shí)際意義。*質(zhì)點(diǎn)對某參考點(diǎn)的角動量反映質(zhì)點(diǎn)繞該參考點(diǎn)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的強(qiáng)弱。2、力矩(momentofforce)

單位：?！っ祝∟·m）定義：力對定點(diǎn)的力矩大小：方向：

服從右手定則力矩

mo四指代表該力作用下質(zhì)點(diǎn)相對于0點(diǎn)的轉(zhuǎn)動趨勢，則大拇指代表角動量的方向【特別】在圓軌跡運(yùn)動時例題、解：求角動量和力矩直角坐標(biāo)系中力矩的分量式:合力為零時，其合力矩是否一定為零？合力矩為零時，合力是否一定為零？例：不一定

作用力和反作用力對同一參考點(diǎn)合力矩為零。從而，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力矩矢量和一定為零。討論力矩為零的情況:（1）力等于零；（2）力的作用線與矢徑共線(即）即過0點(diǎn)的有心力有心力：物體所受的力始終指向（或背離）某一固定點(diǎn)討論

moh2h1力心按慣性定律知此時物體保持靜止或者勻速直線狀態(tài)作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對參考點(diǎn)O

的力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)O

的角動量隨時間的變化率.二、質(zhì)點(diǎn)的角動量定理(theoremofangularmomentum)

質(zhì)點(diǎn)的角動量定理(theoremofangularmomentum)

質(zhì)點(diǎn)角動量對時間的變化率等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力矩——質(zhì)點(diǎn)角動量定理的微分形式。質(zhì)點(diǎn)角動量的增量等于外力矩對質(zhì)點(diǎn)的角沖量（沖量矩）——角動量定理的積分形式?jīng)_量矩

例

一半徑為R

的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)量為m

的小球穿在圓環(huán)上,并可在圓環(huán)上滑動.小球開始時靜止于圓環(huán)上的點(diǎn)A

(該點(diǎn)在通過環(huán)心O

的水平面上),然后從A點(diǎn)開始下滑.設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計.求小球滑到點(diǎn)B

時對環(huán)心O

的角動量和角速度.質(zhì)點(diǎn)的角動量定理θABGR小球受重力和支持力作用,圓環(huán)的支持力為有心力，力矩為零；重力矩垂直紙面向里由質(zhì)點(diǎn)的角動量定理質(zhì)點(diǎn)的角動量定理θABGR

解

得由題設(shè)條件積分上式本題也可以用質(zhì)點(diǎn)的功能原理求解。因為三、質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律所以角動量守恒定律（2）力的作用線與矢徑共線，即過0點(diǎn)（即，有心力）力矩為零的情況（1）力等于零；h2h1討論這也是自然界普遍適用的一條基本規(guī)律。如果作用于質(zhì)點(diǎn)的合力矩不為零,而合力矩沿z軸的分量為零,則恒量

(當(dāng)Mz=0時)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受對z軸的力矩為零時,質(zhì)點(diǎn)對該軸的角動量保持不變——質(zhì)點(diǎn)對軸的角動量守恒定律。討論例、

已知：地球R=6378km（地球~均勻球體）

衛(wèi)星近地：h1=439kmv1=8.1km.s-1

遠(yuǎn)地:h2=2384km

求：v2=?解：由于衛(wèi)星是在地球的萬有引力——有心力作用下運(yùn)動，故衛(wèi)星

m

對地心o的角動量守恒h1h2R.o近地遠(yuǎn)地

例：行星運(yùn)動的開普勒第二定律認(rèn)為,對于任一行星,由太陽到行星的徑矢在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。試用角動量守恒定律證明之。解:將行星看為質(zhì)點(diǎn),在dt

時間內(nèi)以速度

完成的位移為

,矢徑

在dt

時間內(nèi)掃過的面積為dS（圖中陰影）。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)角動量的定義om·則矢徑在單位時間內(nèi)掃過的面積（稱為掠面速度）

萬有引力屬于有心力,行星相對于太陽所在處的點(diǎn)O的角動量是守恒的,即

=恒矢量,故有

恒量行星對太陽所在點(diǎn)O的角動量守恒,不僅角動量的大小不隨時間變化,即掠面速度恒定,而且角動量的方向也是不隨時間變化的,即行星的軌道平面在空間的取向是恒定的。

例：質(zhì)量為m的小球系于細(xì)繩的一端,繩的另一端縛在一根豎直放置的細(xì)棒上,小球被放在水平桌面上內(nèi)繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn),某時刻角速度為1，細(xì)繩的長度為r1。當(dāng)旋轉(zhuǎn)了若干圈后,由于細(xì)繩纏繞在細(xì)棒上,繩長變?yōu)閞2,求此時小球繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn)的角速度2

。解：小球受力繩子的張力

,指向細(xì)棒；重力

，豎直向下；支撐力

,豎直向上。

與繩子平行,不產(chǎn)生力矩；

與平衡，力矩始終為零。所以,作用于小球的力對細(xì)棒的力矩始終等于零,故小球?qū)?xì)棒的角動量必定是守恒的。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)對軸的角動量守恒定律式中v1是半徑為r1時小球的線速度,v2是半徑為r2時小球的線速度。代入上式得解得可見,由于細(xì)繩越轉(zhuǎn)越短,,小球的角速度必定越轉(zhuǎn)越大,即。而

例：光滑的水平面上用一彈性繩（k）系一小球(m)。開始時，彈性繩自然伸長(L0)。今給小球與彈性繩垂直的初速度V0,試求當(dāng)彈性繩轉(zhuǎn)過90度且伸長了L時，小球的速度大小與方向。v0vmL0L0+L習(xí)題訓(xùn)練

解由機(jī)械能守恒有：

如何求角度？

由于質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下運(yùn)動，故角動量守恒。有：v0vmL0L0+L例2

一質(zhì)量

的登月飛船,在離月球表面高度

處繞月球作圓周運(yùn)動.飛船采用如下登月方式:當(dāng)飛船位于點(diǎn)A

時,它向外側(cè)短時間噴氣,使飛船與月球相切地到達(dá)點(diǎn)B

,且OA

與OB

垂直.飛船所噴氣體相對飛船的速度為

.已知月球半徑

;在飛船登月過程中,月球的重力加速度視為常量

.試問登月飛船在登月過程中所需消耗燃料的質(zhì)量是多少?BhORA解設(shè)飛船在點(diǎn)A的速度,月球質(zhì)量mM

,由萬有引力和牛頓定律BhORA已知求所需消耗燃料的質(zhì)量.得得當(dāng)飛船在A點(diǎn)以相對速度u

向外噴氣的短時間里,飛船的質(zhì)量減少了Δm

而為,

并獲得速度的增量,使飛船的速度變?yōu)?其值為質(zhì)量

在A點(diǎn)和B

點(diǎn)只受有心力作用,角動量守恒BhORA飛船在A點(diǎn)噴出氣體后,在到達(dá)月球的過程中,機(jī)械能守恒即于是而BhORA例3

質(zhì)量很小長度為l

的均勻細(xì)桿,可繞過其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動.當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時,有一只小蟲以速率

垂直落在距點(diǎn)O為

l/4

處,并背離點(diǎn)O

向細(xì)桿的端點(diǎn)A

爬行.設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問:欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動,小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?解小蟲與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒由角動量定理即考慮到例4

一雜技演員M

由距水平蹺板高為h

處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員N

彈了起來.設(shè)蹺板是勻質(zhì)的,長度為l,質(zhì)量為

,蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C

在豎直平面