冪級(jí)數(shù)的收斂域

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五、和函數(shù)的分析性質(zhì)

定理6（連續(xù)性）若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)在區(qū)間I上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則其和函數(shù)在I上也連續(xù)．在定理的條件下，求和運(yùn)算與求極限運(yùn)算可以交換順序，即

定理7（逐項(xiàng)求積分）若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)在[a,b]上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則其和函數(shù)在[a,b]

可積，且

定理8（逐項(xiàng)求導(dǎo)）若∑un(x)在I收斂，un(x)在[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，∑un′(x)在[a,b]上一致收斂，則其和函數(shù)在I連續(xù)可導(dǎo)，且冪級(jí)數(shù)的一般形式為冪級(jí)數(shù)的收斂域定理1

(阿貝爾第一定理)一、冪級(jí)數(shù)的收斂域都發(fā)散.冪級(jí)數(shù)的收斂域注由定理1知道:冪級(jí)數(shù)(1)的收斂域是以原點(diǎn)為中心的對(duì)稱區(qū)間.

若以2r表示區(qū)間的長(zhǎng)度，則r稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.冪級(jí)數(shù)的收斂域定理2則冪級(jí)數(shù)的收斂域證

根據(jù)級(jí)數(shù)的根式判別法,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)

收斂.當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.于是(i)當(dāng)時(shí),由得冪級(jí)數(shù)收斂半

徑(ii)所以冪級(jí)數(shù)的收斂域(iii)冪級(jí)數(shù)的收斂域冪級(jí)

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