工程力學(xué)第12章

12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)12．1．1運(yùn)動(dòng)方程設(shè)動(dòng)點(diǎn)M沿已知軌跡AB運(yùn)動(dòng)，如圖12-1所示，動(dòng)點(diǎn)M的位置用弧長(zhǎng)s來(lái)表示，s稱為動(dòng)點(diǎn)M的自然坐標(biāo)或弧坐標(biāo)，s是個(gè)代數(shù)量。s將隨時(shí)間t的變化而變化，故弧坐標(biāo)s是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)f（t）。即圖12-1點(diǎn)在弧坐標(biāo)中的運(yùn)動(dòng)軌跡

s=f（t）

（12-1）

式（12-1）稱為點(diǎn)沿已知軌跡的運(yùn)動(dòng)方程。用自然法描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的先決條件是已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)1．點(diǎn)的速度速度是描述物體運(yùn)動(dòng)的快慢及方向的物理量，是矢量。12．1．2點(diǎn)的速度、加速度圖12-3點(diǎn)的速度在弧坐標(biāo)中的描述

如圖12-2所示，點(diǎn)的平均速度定義為：v*平均速度說(shuō)明點(diǎn)在Δt時(shí)間內(nèi)的整體快慢及方向情況，動(dòng)點(diǎn)在某時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)快慢及方向情況，則用瞬時(shí)速度表示。即12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)速度的計(jì)算式為

（12-2）

瞬時(shí)速度等于動(dòng)點(diǎn)的弧坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)ds/dt＞0時(shí)，弧坐標(biāo)隨時(shí)間的增加而增加，點(diǎn)沿軌跡的正向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ds/dt＜0時(shí)，點(diǎn)沿軌跡的負(fù)向運(yùn)動(dòng)。2．點(diǎn)的加速度加速度是描述物體的速度大小和方向隨時(shí)間變化的物理量，是矢量。如圖12-4所示，點(diǎn)的平均加速度定義為：12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)圖12-4點(diǎn)的加速度在弧坐標(biāo)中的描述

（12-3）

當(dāng)Δt→0時(shí)，平均加速度趨近于點(diǎn)在瞬時(shí)t的加速度，即在矢量v1上截取數(shù)值上等于矢量v的大小的線段MC，從圖中不難看出，BC段表示速度大小的改變量，用Δv表示。顯然，AC段表示速度方向的改變量。用Δvn表示，即Δv=Δv＋Δvn12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)/Δt表示速度的大小對(duì)時(shí)間的變化率，其大小可表示為

這個(gè)分量稱為切向加速度，用a表示；當(dāng)dv/dt＞0時(shí)，a指向軌跡的正向，當(dāng)dv/dt＜0時(shí)，a指向軌跡的負(fù)向。/Δt表示速度的方向?qū)r(shí)間的變化率，這個(gè)分量稱為法向加速度，以an表示。方向批向軌跡凹的一側(cè)，其大小為

（12-5）

12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)式中——曲線在M點(diǎn)的曲率半徑。綜上所述，在自然坐標(biāo)系中，點(diǎn)的加速度可以分解為切向加速度和法向加速度，它們相互垂直。切向加速度表示速度大小對(duì)時(shí)間的變化率，其大小等于速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)dv/dt，或弧坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)d2s/d2t，方向沿軌跡的切線，當(dāng)dv/dt＞0時(shí)，指向軌跡的正向，當(dāng)dv/dt＜0時(shí)，指向軌跡的負(fù)向；法向加速度表示速度方向?qū)r(shí)間的變化率，其大小為v2/r，方向沿軌跡上點(diǎn)的曲率半徑并指向曲率中心。將切向加速度與法向加速度合成，所得的結(jié)果稱為全加速度（見(jiàn)圖12-5）。全加速度大小和方向的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)圖12-5點(diǎn)的全加速度在弧坐標(biāo)中的描述

（12-6）

12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)3．勻速、勻變速曲線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，若速度大小不變，即v=常量，則稱該點(diǎn)作勻速曲線運(yùn)動(dòng)。通過(guò)對(duì)式（12-2）兩邊積分，得作勻速曲線運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

s=s0＋vt（12-7）式中s0——t=0時(shí)刻的弧坐標(biāo)。點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，若切向加速度大小不變，即a=常量，則稱該點(diǎn)作勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。通過(guò)對(duì)式（12-4）兩邊積分，并設(shè)t=0時(shí)的速度和弧坐標(biāo)分別為v0和s0，得作勻變速曲線運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的速度方程和運(yùn)動(dòng)方程分別為v=v0＋at（12-8）

（12-9）

12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)例12-1一搖桿滑道機(jī)構(gòu)如圖12-6所示，滑塊M既在固定的圓弧中滑動(dòng)，又在搖桿OA的滑道中滑動(dòng)。

弧的半徑為R，搖桿OA的

開(kāi)始時(shí)搖桿處在水平位置。求滑塊M的運(yùn)動(dòng)方程、速度及加速度。轉(zhuǎn)軸處在通過(guò)弧的圓周上。搖桿繞O軸以勻角速ω轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)ABROO1O'Cωθ圖12-6搖桿滑道機(jī)構(gòu)示意圖M

φ（+）（-）解

由于已知滑塊M的軌跡是以O(shè)為圓心，以R為半徑的圓弧，所以可用自然法描述M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。取它的運(yùn)動(dòng)起始位置O'為坐標(biāo)原點(diǎn)，并規(guī)定如圖12-6中所示的正負(fù)方向。則點(diǎn)M在任一瞬時(shí)的弧坐標(biāo)s與參數(shù)θ的關(guān)系為12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)s=Rθ又θ=2φ，φ=ωt故θ=2ωt

將θ=2ωt代入s=Rθ，得M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s=2Rωt

由式（12-2）得，點(diǎn)M的速度為由式（12-4）和（12-5）得，點(diǎn)M的切向加速度與法向加速度分別為12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)由式（12-6）得，點(diǎn)M的全加速度的大小為

全加速度a的方向指向圓心O1。例12-2

圖12-7所示為料斗提升機(jī)示意圖，料斗通過(guò)繞在卷筒上的鋼絲繩提升，卷筒繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。已知卷筒的半徑R=200mm，料斗沿鉛垂方向提升的運(yùn)動(dòng)方程為y=5t2

（y的單位為mm，t的單位為s）。求卷筒邊緣上的一點(diǎn)M在t=2s時(shí)的速度和加速度。12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)圖12-7料斗提升機(jī)示意圖

●M解由于點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為已知，因此，可以用自然法描述點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)。設(shè)t=0s時(shí)，料斗在A0位置，M點(diǎn)在M

0處，在某一瞬時(shí)t，料斗到達(dá)A位置，M點(diǎn)到達(dá)M

1位置。取M

0為弧坐標(biāo)原點(diǎn)，則M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s=5t2由式（12-2）得，點(diǎn)M的速度為方程為12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)當(dāng)t=2s時(shí)，點(diǎn)M的速度為v=10×2mm/s=20mm/s由式（12-4）和（12-5）得，點(diǎn)M的切向加速度與法向加速度分別為mm/s2

mm/s2

由式（12-6）得，點(diǎn)M的全加速度的大小和方向?yàn)?/p>

10.5

mm/s2

，θ=87.4o

θ為切向加速度aτ與全加速度a的夾角。12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)12．1．3絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)圖12-8沿直線滾動(dòng)的車(chē)輪

圖12-9橋式起重機(jī)

12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)在工程中，把固定于地面的坐標(biāo)系稱為靜參考系，相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系稱為動(dòng)參考系。動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于靜參考系的運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，其速度稱為絕對(duì)速度，用va表示；動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)，其速度稱為相對(duì)速度，用vr表示；動(dòng)參考系相對(duì)于靜參考系的運(yùn)動(dòng)稱為牽連運(yùn)動(dòng)，而在動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)瞬時(shí)重合的點(diǎn)（稱為牽連點(diǎn)）的速度稱為牽連速度，用ve表示。在圖12-8中，取輪緣上的一點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn)，將動(dòng)參考系固結(jié)在車(chē)廂上，靜參考系固結(jié)在地面上。當(dāng)車(chē)輪滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相對(duì)于地面（靜參考系）的運(yùn)動(dòng)屬于絕對(duì)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)M相對(duì)于車(chē)廂（動(dòng)參考系）的運(yùn)動(dòng)屬于相對(duì)運(yùn)動(dòng)；而車(chē)廂（動(dòng)坐標(biāo)系）相對(duì)地面（靜參考系）的運(yùn)動(dòng)則屬于牽連運(yùn)動(dòng)。12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)在圖12-9中，取重物M為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)參考系固結(jié)在小車(chē)上，靜參考系固結(jié)在地面上。當(dāng)小車(chē)沿橫梁前進(jìn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相對(duì)于地面（靜參考系）的運(yùn)動(dòng)屬于絕對(duì)運(yùn)動(dòng)；相對(duì)于小車(chē)（動(dòng)參考系）的運(yùn)動(dòng)（鉛垂向上運(yùn)動(dòng)）屬于相對(duì)運(yùn)動(dòng)；而小車(chē)（連帶鋼繩）相對(duì)地面（靜參考系）的運(yùn)動(dòng)（水平向右）則是牽連運(yùn)動(dòng)。圖12-10擺動(dòng)導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析

如圖12-10所示為一擺動(dòng)導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)，曲柄O′A繞O′轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊A在導(dǎo)桿O″B上滑動(dòng)并帶動(dòng)導(dǎo)桿繞O″轉(zhuǎn)動(dòng)?；瑝KA與導(dǎo)桿O″B有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，將動(dòng)參考系固結(jié)在導(dǎo)桿O″B上，靜參考系固結(jié)在機(jī)架上，動(dòng)點(diǎn)為滑塊A。則滑塊A繞O′12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)的圓周運(yùn)動(dòng)為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，滑塊A沿導(dǎo)桿的直線運(yùn)動(dòng)為相對(duì)運(yùn)動(dòng)，相對(duì)速度方向沿導(dǎo)桿；導(dǎo)桿繞O″的轉(zhuǎn)動(dòng)為牽連運(yùn)動(dòng)，因此，A點(diǎn)的牽連速度ve是導(dǎo)桿O″B上與滑塊A重合的點(diǎn)的速度，其大小為(參見(jiàn)12.2.3的式(12-7))方向與O″B垂直。A點(diǎn)的絕對(duì)速度va的方向垂直于O′A，其大小為12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)12．1．4速度合成定理圖12-11相對(duì)速度、牽連速度和絕對(duì)速度三者之間的關(guān)系

對(duì)圖12-11所示分析，動(dòng)點(diǎn)的M絕對(duì)位移、相對(duì)位移和牽連位移，從圖中不難看出，其矢量關(guān)系為：將上式兩邊除Δt，并取Δt→0時(shí)的極值，則有12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)這實(shí)際上就是點(diǎn)的絕對(duì)速度、相對(duì)速度與牽連速度之間的關(guān)系。即va=vr+ve

（12-10）

由此可得點(diǎn)的速度合成定理：動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的絕對(duì)速度，等于它在該瞬時(shí)的牽連速度與相對(duì)速度的矢量和。也就是說(shuō)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度可以由牽連速度與相對(duì)速度所構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線來(lái)確定。式（12-10）是一個(gè)矢量方程，相當(dāng)于2個(gè)代數(shù)方程，可求解2個(gè)未知數(shù)。例12-3如圖12-12所示，列車(chē)車(chē)廂以速度v1沿水平軌道行駛，雨點(diǎn)垂直下落，若已知雨點(diǎn)對(duì)車(chē)廂的相對(duì)速度的方向與鉛垂線成角，且偏向車(chē)廂運(yùn)動(dòng)相反的方向。試求雨點(diǎn)相對(duì)于地面的速度。12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)解（1）選取動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)參考系。取雨點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)參考系固結(jié)在車(chē)廂上。圖12-12直線運(yùn)動(dòng)的列車(chē)車(chē)廂（2）分析三種運(yùn)動(dòng)與三種速度。牽連運(yùn)動(dòng)為車(chē)廂的平動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)是雨點(diǎn)相對(duì)于車(chē)廂沿與鉛垂線成角的斜線運(yùn)動(dòng)；絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是雨點(diǎn)相對(duì)于地面沿鉛垂線下落的運(yùn)動(dòng)。牽連速度ve=v1，其大小、方向已知；相對(duì)速度vr的方向已知；絕對(duì)速度的方向已知。根據(jù)式（12-10），作速度平行四邊形，從圖上可以求得12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

va=vecot=v1cot此即為雨點(diǎn)相對(duì)地面的速度。例12-4如圖12-13所示，凸輪機(jī)構(gòu)的導(dǎo)桿AB可以在鉛垂套管D內(nèi)滑動(dòng)，其下端的滾輪A與凸輪保持接觸。凸輪以勻角速度

繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在圖示瞬時(shí)，OA=a，凸輪輪緣在A點(diǎn)的法線與OA成角。求導(dǎo)桿AB在此瞬時(shí)的速度。解（1）選取動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)參考系。因?yàn)閷?dǎo)桿作平動(dòng)，其上各點(diǎn)速度相同，且A點(diǎn)與凸輪輪緣有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，故選A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，將動(dòng)參考系固結(jié)在凸輪上，靜參考系固結(jié)在地面上。（2）分析三種運(yùn)動(dòng)和三種速度。絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為動(dòng)點(diǎn)A沿套管D的鉛垂直線運(yùn)動(dòng)，其絕對(duì)速度va的方向已知，大小未知；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為動(dòng)點(diǎn)A相對(duì)于凸輪的運(yùn)動(dòng)，其相對(duì)速度vr

的方向沿凸輪12．1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)輪緣曲線在A點(diǎn)的切向，大小未知；牽連運(yùn)動(dòng)為凸輪的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，牽連速度為凸輪輪緣上與A點(diǎn)瞬時(shí)重合點(diǎn)的速度ve，其方向垂直于半徑OA，大小為ve=a

(參見(jiàn)12.2.3)12-13凸輪機(jī)構(gòu)

（3）根據(jù)速度合成定理（見(jiàn)式（12-10）），作速度平行四邊形，從圖上可以求得導(dǎo)桿AB的速度，即va=vetan=atan

12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)12．2．1剛體的平行移動(dòng)圖12-14直線平動(dòng)圖12-15曲線平動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若其上任意一直線始終保持與原來(lái)的位置平行，則這種運(yùn)動(dòng)稱為平行移動(dòng)，簡(jiǎn)稱平動(dòng)。剛體平動(dòng)時(shí)，若其上各點(diǎn)的軌跡是直線，則稱為直線平動(dòng)。圖12-14所示。剛體平動(dòng)時(shí)，若其上各點(diǎn)的軌跡是曲線，則稱為曲線平動(dòng)。如圖12-15所示。如圖12-16,剛體平動(dòng)的問(wèn)題可歸結(jié)為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)研究。12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)例12-5

如圖12-17所示為振動(dòng)式送料槽，原動(dòng)件BD桿長(zhǎng)為l，擺動(dòng)規(guī)律為φ=φ0cos（π/2）t，其中時(shí)間t的單位為秒（s）；轉(zhuǎn)角φ0的單位為弧度（rad）。試求當(dāng)t=0s和t=1s時(shí)，送料槽上點(diǎn)M的速度和加速度。

解由于桿AC、BD長(zhǎng)度相等且相互平行，于是送料篩的運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，而且為曲線平動(dòng)。圖12-16剛體平動(dòng)時(shí)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析

12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)根據(jù)平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特性，求M點(diǎn)的速度和加速度，只需求出D點(diǎn)的速度和加速度。D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧CD，半徑為l。以BD在水平位置時(shí)為起點(diǎn)，規(guī)定弧坐標(biāo)s向右為正，則點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)方程為將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得D點(diǎn)的速度一般表達(dá)式，即12-17平動(dòng)時(shí)的速度和加速度

12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)將速度對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)，得切向加速度，即由式（12-5）得點(diǎn)D的法向加速度為m/st=0s時(shí)

分別代入時(shí)間t=0s、1s兩瞬個(gè)時(shí)，可求得點(diǎn)A的速度和加速度。12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)m/s2

t=1s時(shí)

m/s2

12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若其內(nèi)或其延伸部分有一條直線始終保持不動(dòng)，則這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，該軸線稱為轉(zhuǎn)軸。12．2．2剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)圖12-18繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的門(mén)

1．轉(zhuǎn)動(dòng)方程如圖12-18所示，一扇繞固定z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的門(mén)，為了確定轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在任一瞬時(shí)的位置，通過(guò)軸線作一固定平面A，門(mén)與固定平面A之間的夾角用表示，稱為轉(zhuǎn)角。當(dāng)門(mén)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角隨時(shí)間t的變化而變化，是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)f(t)。即

=f(t)（12-11）

12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)式（12-11）稱為剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方程。為代數(shù)量，并規(guī)定，從z軸正端回頭看，以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。圖12-19繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角速度及角加速度

2．角速度角速度是用來(lái)度量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢與轉(zhuǎn)向的物理量。如圖12-19所示，設(shè)剛體以轉(zhuǎn)動(dòng)方程φ=f(t)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在瞬時(shí)t時(shí)轉(zhuǎn)角為1，在瞬時(shí)t+Δt時(shí)轉(zhuǎn)角為2，則剛體轉(zhuǎn)過(guò)的角度Δ

=2－1稱為時(shí)間間隔Δt內(nèi)剛體的角位移。Δ與相應(yīng)的時(shí)間增量Δt的比值Δ/Δt稱為在Δt時(shí)間內(nèi)的平均角速度，當(dāng)Δt→012．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)時(shí)，Δ/Δt的極限為剛體在瞬時(shí)t的瞬時(shí)角速度，即

（12-12）

式（12-12）表明，剛體的角速度等于轉(zhuǎn)角對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。角速度為代數(shù)量，當(dāng)d/dt＞0時(shí)，剛體作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)d/dt＜0時(shí)，剛體作順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度的單位為弧度/秒（rad/s）。工程中常用轉(zhuǎn)速n表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，其單位為轉(zhuǎn)/分（r/min）。角速度與轉(zhuǎn)速n之間的關(guān)系為12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)（12-13）式（12-13）表明，剛體的角加速度等于角速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，或等于轉(zhuǎn)角對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。角加速度為代數(shù)量，單位弧度/秒2（rad/s2）。若

>0，表示剛體沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)向；若

<0，表示它沿順時(shí)針轉(zhuǎn)向。當(dāng)

與

正負(fù)號(hào)相同時(shí)，剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)，反之，剛體作減速轉(zhuǎn)動(dòng)。3．角加速度角加速度是度量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度變化快慢的物理量。如圖12-19所示，設(shè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為

=f(t)，在瞬時(shí)t的角速度為，在瞬時(shí)t+Δt的角速度為+Δ。則比值Δ/Δt稱為在Δt時(shí)間內(nèi)的平均角加速度。當(dāng)Δt→0時(shí)，Δ/Δt的極限為剛體在瞬時(shí)t的瞬時(shí)角加速度，用表示，即12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)角速度角加速度rad/s2

當(dāng)t=1s時(shí)，其角速度ω=2rad/s，角加速度ε=2rad/s2。（2）求轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)rad例12-6已知發(fā)動(dòng)機(jī)起動(dòng)時(shí)，主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為=t2（的單位為rad，t的單位為s）。試求①起動(dòng)后1s時(shí)的角速度和角加速度；②從靜止到n=1440r/min所需的時(shí)間和轉(zhuǎn)子所轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)N。解（1）求1s時(shí)的角速度和角加速度。由式（12-12）和式（12-13）得12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)將式=48πrad代入式=2t得t=24πs又=t2所以

=t2=（24）2rad則轉(zhuǎn)子所轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)N=/2=288圈4．剛體作勻速、勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程若剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度不變，即=常量，則稱該剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。通過(guò)對(duì)式（12-9）兩邊積分，得

=

0+ωt（12-14）式中0——t=0時(shí)的轉(zhuǎn)角。若剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度不變。即

=常量，稱該剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。通過(guò)對(duì)式（12-13）兩邊積分，并設(shè)t=0時(shí)的角速度和轉(zhuǎn)角分別為0和0，得=

0+et（12-15）12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)

（12-16）

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本公式與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的基本公式在性質(zhì)和形式上是相似的?，F(xiàn)列于表12-1中。例12-7

車(chē)床在車(chē)削工件時(shí)，其主軸的轉(zhuǎn)速n0=600r/min，由于要求主軸反轉(zhuǎn)，應(yīng)使主軸在三轉(zhuǎn)后立即停車(chē)。設(shè)停車(chē)過(guò)程中是勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，求主軸的角加速度。解（1）運(yùn)動(dòng)分析。主軸是勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，其初角速度為rad/s12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)根據(jù)題意，主軸在三轉(zhuǎn)后立即停車(chē)，則ω=0，φ=3×2π。（2）由勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式（見(jiàn)表12-1）得ω2=ω02+2εφ將ω0、ω、φ的值代入上式，得0=(20π)2+2ε×6π105rad/s2

12．2．3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度1．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其內(nèi)部任意一點(diǎn)都作圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離r為轉(zhuǎn)動(dòng)半徑。如圖12-20a所示，設(shè)M0為自然坐標(biāo)原點(diǎn)，s為動(dòng)點(diǎn)M在瞬時(shí)t時(shí)的弧坐標(biāo)，則12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)由式（12-2）得M點(diǎn)的速度大小為

（12-17）

圖12-20繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)點(diǎn)的速度及分布a)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)點(diǎn)的速度b)速度分布規(guī)律a)b)12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任意一點(diǎn)的速度的大小等于該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積，它的方向沿軌跡的切線且與剛體的轉(zhuǎn)向一致。從式（12-17）可知，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的速度與其轉(zhuǎn)動(dòng)半徑成正比，離轉(zhuǎn)軸愈遠(yuǎn)的點(diǎn)速度愈大，轉(zhuǎn)軸上各點(diǎn)的速度為零，速度分布規(guī)律如圖12-20b所示。2．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的加速度如圖12-21所示，由于點(diǎn)M作圓周運(yùn)動(dòng)，其加速度可分解為切向加速度和法向加速度，由式（12-4）得M點(diǎn)的切向加速度的大小為（12-18）12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任意一點(diǎn)的切向加速度大小等于該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑與剛體角加速度的乘積。方向由角加速度的正負(fù)號(hào)決定，當(dāng)

>0時(shí)，切向加速度方向與剛體轉(zhuǎn)向一致，反之，與剛體轉(zhuǎn)向相反。由式（12-5）得M點(diǎn)的法向加速度大小為（12-19）圖12-21繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)點(diǎn)的加速度及分布a)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)點(diǎn)的加速度b)加速度分布規(guī)律a)b)12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的法向加速度的大小等于該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑與剛體角速度的平方的乘積，方向始終垂直并指向轉(zhuǎn)動(dòng)中心。由式（12-6）得M點(diǎn)的全加速度的大小和方向?yàn)槭街小铀俣萢與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的夾角。由式（12-20）可知，在任一瞬時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的全加速度的大小與點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑成正比。各點(diǎn)的全加速度與其轉(zhuǎn)動(dòng)半徑間的夾角相等。其分布規(guī)律如圖12-21b所示。（12-20）12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)例12-8

砂輪是由粘合劑把氧化鋁或碳化硅粘合而成。當(dāng)砂輪的轉(zhuǎn)速過(guò)高時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大的離心力，使砂輪有破裂的危險(xiǎn)。該離心力與輪緣上的點(diǎn)的法向加速度有關(guān)。已知某外圓磨床砂輪的直徑d=200mm，砂輪輪緣上點(diǎn)的速度v規(guī)定不得大于40m/s。求該砂輪允許的最大轉(zhuǎn)速及輪緣上點(diǎn)允許的最大加速度。解（1）求砂輪允許的最大轉(zhuǎn)速。砂輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，由式（12-17）得輪緣上點(diǎn)的速度將v和d的值代入，得允許的最大轉(zhuǎn)速為12．2剛體的基本運(yùn)動(dòng)砂輪正常工作時(shí)為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角加速度為零，因此，輪緣上的切向加速度為零，其法向加速度等于全加速度。由式（12-5）得其法向加速度為輪緣上點(diǎn)允許的最大加速度為16000m/s2。12．3剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若其上任意一點(diǎn)到某固定平面的距離始終保持不變，稱這種運(yùn)動(dòng)為剛體的平面運(yùn)動(dòng)。圖12-22、圖12-23。平面運(yùn)動(dòng)可簡(jiǎn)化為平面圖形在它自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)（圖12-24）。12．3．1剛體的平面運(yùn)動(dòng)概念與運(yùn)動(dòng)方程圖12-23沿直線軌跡滾動(dòng)的車(chē)輪圖12-22曲柄連桿機(jī)構(gòu)12．3剛體的平面運(yùn)動(dòng)圖12-24平面圖形的描述圖12-25平面圖形位置的確定為確定平面圖形在自身平面內(nèi)的位置，在平面內(nèi)建立一直角坐標(biāo)系（見(jiàn)圖12-25），平面圖形在其平面上的位置可以用圖形內(nèi)的任意線段O'M的位置來(lái)確定。當(dāng)平面圖形S運(yùn)動(dòng)時(shí)，O'M的運(yùn)動(dòng)方程可表示為12．3剛體的平面運(yùn)動(dòng)（12-21）式（12-21）稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。12．3．2基點(diǎn)法求平面內(nèi)點(diǎn)的速度由式（12-21）可知，平面圖形的平面運(yùn)動(dòng)可看成為隨同基點(diǎn)O'的平動(dòng)（牽連運(yùn)動(dòng)）和繞基點(diǎn)O'的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）的合成運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)在討論，在已知平面圖形的運(yùn)動(dòng)方程（12-21）時(shí)，如何確定平面圖形內(nèi)任意一點(diǎn)M的速度vM。12．3剛體的平面運(yùn)動(dòng)首先，將式（12-21）各式兩邊對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，則可求出基點(diǎn)的速度vO'和平面圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω，如圖12-26所示。其次，M點(diǎn)的相對(duì)速度為其繞基點(diǎn)O'轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的速度方向垂直于O'M，指向與圖形轉(zhuǎn)向一致。根據(jù)速度合成定理得圖12-26平面運(yùn)動(dòng)的速度合成

vM=vO'

+

vMO'

（12-22）根據(jù)式12-22可以作出平面圖形內(nèi)直線O'M上其它各點(diǎn)的相對(duì)速度與牽連速度（見(jiàn)圖12-27）。因此，平面運(yùn)動(dòng)的剛體上任一點(diǎn)速度，等于基點(diǎn)速度與該點(diǎn)繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和。這種計(jì)算速度的方法稱為基點(diǎn)法。12．3剛體的平面運(yùn)動(dòng)圖12-27平面圖形內(nèi)直線上各點(diǎn)的相對(duì)速度與牽連速度圖12-28作純滾動(dòng)的車(chē)輪12．3剛體的平面運(yùn)動(dòng)例12-9

如圖12-28所示，一車(chē)輛以速度v=40mm/s直線行駛，車(chē)輪的半徑為r，設(shè)車(chē)輪沿路面作純滾動(dòng)。試求車(chē)輪上A、B兩點(diǎn)的速度。解（1）運(yùn)動(dòng)分析。由于車(chē)輪作純滾動(dòng)，則車(chē)輪與地面接觸處C點(diǎn)的絕對(duì)速度為vc=0，（2）選擇基點(diǎn)。由于車(chē)輪的軸心速度已知，故選軸心O為基點(diǎn)。（3）求各點(diǎn)的速度。先以O(shè)為基點(diǎn)求出車(chē)輪滾動(dòng)的角速度。由式（12-22）得vC=vO-vCO=vO-rω=012．3剛體的平面運(yùn)動(dòng)由式（12-22）得A點(diǎn)的速度大小為vA=vO+vAO=vO+rω=2vO=80m/s方向與vo方向相同。由式（12-22）得B點(diǎn)的速度大小為方向與水平線成45o角。例12-10如圖12-29為發(fā)動(dòng)機(jī)的曲柄連桿機(jī)構(gòu)，已知曲柄OA長(zhǎng)30cm，以等角速度=3rad/s繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)；連桿AB長(zhǎng)40cm。試求當(dāng)曲柄OA垂直于連桿AB時(shí)，滑塊B的速度及連桿AB的角速度。解（1）運(yùn)動(dòng)分析。曲柄OA繞軸O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊B沿水平方向運(yùn)動(dòng)，連桿AB作平面運(yùn)動(dòng)。選連桿AB為研究對(duì)象。12．3剛體的平面運(yùn)動(dòng)圖12-29曲柄連桿機(jī)構(gòu)（2）選基點(diǎn)。由于A點(diǎn)既是連桿AB上的點(diǎn)，又是曲柄OA上的點(diǎn)，因此，A點(diǎn)的速度已知，故選A點(diǎn)為基點(diǎn)。B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以視為隨基點(diǎn)A的平動(dòng)與繞基點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)，如圖12-29所示。（3）根據(jù)式（12-22）得vB=vA+vBA其中，vA=OA·ω=30×3cm/s=90cm/s，方向垂直O(jiān)A。B點(diǎn)相對(duì)A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度vBA垂直AB。B點(diǎn)的絕對(duì)速度vB沿水平方向。作速度平行四邊形，由幾何關(guān)系得12．3剛體的平面運(yùn)動(dòng)則連桿AB的角速度為12．3．3瞬心法求平面內(nèi)點(diǎn)的速度在例12-9中，當(dāng)車(chē)輪沿直線軌道作純滾動(dòng)時(shí)，如果選接觸點(diǎn)C為基點(diǎn)，則車(chē)輪上任一點(diǎn)M的速度可表示為vM=vC+vMC=vMC即M點(diǎn)的絕對(duì)速度等于該瞬時(shí)M點(diǎn)繞接觸點(diǎn)C的轉(zhuǎn)動(dòng)速度。換句話說(shuō)，在該瞬時(shí)輪子的平面運(yùn)動(dòng)可看成是繞C點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。如果平面運(yùn)動(dòng)剛體上每一瞬時(shí)都能找到一個(gè)速度為零的點(diǎn)，則確定平面運(yùn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度將更加簡(jiǎn)便。12．3剛體的平面運(yùn)動(dòng)圖12-30用瞬心法求速度如圖12-30所示，設(shè)已知某瞬時(shí)平面圖形上A點(diǎn)的速度為vA，角速度為，現(xiàn)取A點(diǎn)為基點(diǎn)，在AL直線上選擇一點(diǎn)P，使由式（12-22）得，P點(diǎn)的速度為vP=vA+vPA故vP=012．3剛體的平面運(yùn)動(dòng)于是，在任意瞬時(shí)，只要平面圖形的角速度ω不為零，則平面圖形(或其延伸部分)上必存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為平面圖形的瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱速度瞬心或瞬心。如果某瞬時(shí)平面圖形的瞬心P的位置已經(jīng)確定，選取速度瞬心P為基點(diǎn)，則圖形內(nèi)任意一點(diǎn)M的速度為以瞬心為基點(diǎn)，求平面運(yùn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的速度的方法稱為瞬心法。圖12-31瞬心與速度分布規(guī)律12．3剛體的平面運(yùn)動(dòng)速度瞬心又稱瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心。必須指出的是，平面運(yùn)動(dòng)剛體在不同瞬時(shí)，速度瞬心所在位置不同；在一個(gè)瞬時(shí)速度為零的點(diǎn)，在下一瞬時(shí)，其速度則不一定為零。

常見(jiàn)的確定平面圖形速度瞬心位置的方法有以下幾種：1）當(dāng)平面圖形沿某一固定平面(或曲面)作純滾動(dòng)時(shí)，圖形與固定面的接觸點(diǎn)P即為圖形的瞬時(shí)速度中心（見(jiàn)圖12-32）。圖12-32圖形相對(duì)固定面作純滾動(dòng)12．3剛體的平面運(yùn)動(dòng)2）若已知某瞬時(shí)平面圖形上任意兩點(diǎn)A、B速度的方向，并且它們互不平行，由于圖形上各點(diǎn)的速度垂直于該點(diǎn)與速度瞬心的連線，因此，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作速度vA、vB的垂線，其交點(diǎn)P即為瞬時(shí)速度中心（見(jiàn)圖12-33）。圖12-33瞬心在速度垂線的交點(diǎn)上12．3剛體的平面運(yùn)動(dòng)圖12-34瞬心在任意兩點(diǎn)連線與其速度矢端連線的交點(diǎn)上3）若某瞬時(shí)平面圖形上任意兩點(diǎn)A、B的速度vA、vB互相平行，并且垂直于此兩點(diǎn)的連線，且vA≠vB，則速度瞬心必為vA和vB速度矢端連線和AB的交點(diǎn)P，如圖12-34所示。12．3剛體的平面運(yùn)動(dòng)4）若某瞬時(shí)平面圖形上任意兩點(diǎn)A、B速度平行，且大小相等，方向相同，即vA=vB，則圖形的速度瞬心在無(wú)窮遠(yuǎn)處。此時(shí)圖形上各點(diǎn)速度的大小和方向都相同。如圖12-35所示。這種情