數(shù)學：《概率相互獨立事件同時發(fā)生的概率》課件

第一章隨機事件及概率第一節(jié)隨機事件第二節(jié)事件的概率第三節(jié)概率的基本性質與運算法則第四節(jié)條件概率與獨立性第五節(jié)獨立重復試驗第六節(jié)全概率公式與貝葉斯公式一、條件概率1.條件概率的概念定義1在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱為事件A在給定B下的條件概率，也簡稱為A對B的條件概率，記作P(A|B)．相應地P(A)稱為無條件概率或原概率條件概率也是一種概率，具有概率的基本性質。例如：100件產(chǎn)品中有60件一等品，30件二等品，一等品、二等品為合格品。記A=“一等品”，B=“合格品”。則

(1)整批產(chǎn)品的一等品率為P(A)=60/100

(2)合格品中的一等品率為P(A|B)=60/90二、概率的乘法公式1.兩事件的概率乘法公式定理1.2如果P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A)；

如果P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B).(由條件概率的計算公式即可得證)2.多個事件的概率乘法公式定理1.3對任何正整數(shù)n>2，如果P(A1A2…An-1)>0，則P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1).證：因為P(A1)≥P(A1A2)≥…≥P(A1A2…An-1)>0由條件概率右端=三、事件的獨立性1.兩個事件的獨立性定義1.5如果事件A的發(fā)生，不影響事件B發(fā)生的概率，即P(B|A)=P(B)(P(A)>0)則稱事件B對事件A獨立?？梢宰C明，此時事件A對B也獨立，即A與B相互獨立。注：事件的獨立性通常由問題的實際意義來判斷。因P(A)>0,P(B)>0時

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)由P(B|A)=P(B)可得P(A)=P(A|B)例如：100件產(chǎn)品中有5件次品，有放回地取兩次，每次一件。則第一次取到次品的概率為P(A)=5/100第二次取到次品的概率為P(B)=5/100，P(B|A)=5/100A與B互不影響，相互獨立。例題設某事件A在一次實驗中發(fā)生的概率為P(A)=e>0，不論e多么小，只要不斷重復該實驗，則事件A遲早要發(fā)生。證：設重復進行了n次實驗，事件A在第k次發(fā)生記為Ak，則在這n次實驗中，事件A至少發(fā)生一次的概率為

p=P(A1+A2+…+An)=1-(1-e)n當n→∞時p→1引申：彩票中獎他鄉(xiāng)遇故人步槍打飛機3.獨立性在可靠性理論中的計算設有n個元件，每個元件的可靠性均為r(0＜r＜1)，且每個元件能否正常工作是相互獨立的，記Ai為第i個元件正常工作，A為系統(tǒng)正常工作。①串聯(lián)系統(tǒng)系統(tǒng)能正常工作的充分必要條件是每個元件都正常工作P(A)=P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)=rn②并聯(lián)系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作等價于n個元件中至少有一個正常工作，即P(A)=P(A1+A2+…+An)12n12n3.獨立性在可靠性理論中的計算③混聯(lián)系統(tǒng)混聯(lián)系統(tǒng)的組合方式有許多如圖所示的系統(tǒng)能正常工作的條件是每個子系統(tǒng)都正常工作,而每個子系統(tǒng)能正常工作只須其中任一個元件能正常工作,故P(A)=P[(A1+A2)(A3+A4)…(A2n-1+A2n)]=P(A1+A2)P(A3+A4)…P(A2n-1+A2n)=(2r-r2)n=rn(2-r)n12342n-12n例設元件A,B,C正常工作的概率分別為0.6,0.7,0.8，且是否出故障彼此獨立，分別按下圖混聯(lián)，求系統(tǒng)正常D的概率。解(1)P(D)=P[(A+B)C]=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)=[P(A)+P(B)-P(A)P(B)]P(C)=[0.6+0.7-0.6×0.7]×0.8=0.7043.獨立性在可靠性理論中的計算ABC(2)P(D)=P(AB+C)=P(AB)+P(C)-P(ABC)=P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C)=0.6×0.7+0.8-0.6×0.7×0.8=0.884ABC第五節(jié)獨立重復試驗

n重獨立重復試驗(n重伯努利試驗)：試驗模型的特點：(1)每次試驗都在相同條件下進行；(2)各次試驗是相互獨立的，即各次試驗的結果之間相互獨立;(3)每次試驗有且僅有兩種結果：A發(fā)生或發(fā)生；(4)每次試驗的結果發(fā)生的概率相同，即P(A)=p，P()=1-p=q凡是具有上述特征的重復進行的試驗稱為獨立重復試驗，若試驗共進行n