第三節(jié)格林公式

第三節(jié)一、格林公式

二、平面上曲線積分與路徑無關的等價條件格林公式及其應用第十一章三、二元函數(shù)的全微分求積問題的提出牛頓-萊布尼茨公式定積分可通過其原函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值來表達D問題：二重積分能否表達為某個函數(shù)在D的邊界曲線L上的曲線積分？意義：設D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D

,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復連通區(qū)域.復連通區(qū)域單連通區(qū)域DD區(qū)域連通性的分類D復連通區(qū)域區(qū)域D分類單連通區(qū)域(無“洞”區(qū)域)多連通區(qū)域(有“洞”、點洞區(qū)域)單連通區(qū)域舉例（1）（2）（3）（3）（2）（1）復連通區(qū)域舉例（1）（2）當觀察者在

L

上行走時，D

內(nèi)在他近處的部分總在他的左邊。定理1.

設閉區(qū)域D

是由分段光滑正向曲線L

圍成,則有(格林公式)函數(shù)在D上具有連續(xù)一階偏導數(shù),一、格林公式域的內(nèi)部靠左域D邊界L的正向:外邊界的正向是逆時針內(nèi)邊界的正向是順時針其中L是D

的取正向的邊界曲線。1)若D既是X-型區(qū)域,又是

Y-

型區(qū)域則證:

將格林公式分為:即同理可證①②①、②兩式相加得:D2)若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割為有限個上述形式的區(qū)域,如圖證畢GDFCEAB(3)由(2)知格林公式仍成立說明：若D為復連通區(qū)域：則曲線L

應包括內(nèi)外所有邊界并且它們對D均取正向。格林公式的實質(zhì)：主要用途：實現(xiàn)曲線積分與二重積分之間的轉(zhuǎn)換。而經(jīng)常用來將復雜的曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分。建立了平面上的曲線積分與二重積分的聯(lián)系，是牛頓萊布尼茨公式在平面上的推廣。格林公式若記則格林公式可表示為格林公式的應用：（1）利用曲線積分計算平面區(qū)域的面積（2）利用格林公式求曲線或二重積分推論:正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積由格林公式例如,橢圓所圍面積面積公式：若取同理，若取則有若取則有例1.設L是一條分段光滑的閉曲線,證明證:

令則利用格林公式,得例2.

計算其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點的三角形閉域.解:

利用格林公式,有本題我們應用格林公式將二重積分化為曲線積分時,關鍵是要找到P(x,y)和Q(x,y),使得經(jīng)觀察并且這樣的P,Q在D邊界上的曲線積分較簡單可以直接利用二重積分的計算方法來計算。xyoABL不是一條封閉的曲線，補充有向線段BO,OA,則L+BO+OA為封閉曲線，所圍區(qū)域記為D，解：方法1:用曲線積分法方法2：用格林公式例3.計算,其中曲線L是半徑為r的圓在第一象限限部分,方向順時針.解：方法2：用格林公式xyoAB在BO上，y=0,在OA上，x=0,例3.計算,其中曲線L是半徑為r的圓在第一象限限部分,方向順時針.例4.

計算其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解:

記L所圍閉區(qū)域為D，由格林公式知？即格林公式的條件：P、Q在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)xyoLyxo在D內(nèi)作圓周取順時針方向,,對應用格記L和

lˉ

所圍復連通區(qū)域為林公式,得起點，終點

yxoxyoL例4.

計算其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解:

記L所圍閉區(qū)域為D，該方法俗稱“挖洞法。”思考：為什么要用小圓周去“挖洞”？參考題：計算其中L

是以(1,0)為中心，R

為半徑的圓周(R>1),取逆時針方向例5.求其中L是以(a,0)為中心，a為半徑的上半圓周，逆時針方向，m

為常數(shù)。解：分析被積函數(shù)比較復雜，無論

L

的方程取什么形式，直接用曲線積分的方法都比較困難。故考慮用格林公式表達式簡單問題：L不是封閉的曲線，不符合格林公式的條件yx0補充有向線段OA，形成閉曲線，滿足條件yx0解：在OA上，y=0，dy=0，x從0變到2a該方法俗稱“封口法”例5.求關于格林公式小結(jié)（1）“挖洞法”和“封口法”是格林公式應用中兩類常見的典型方法。（2）當曲線積分中，函數(shù)P

、Q

使得等于零、常數(shù)或比較簡單時，要考慮用格林公式。作業(yè)作業(yè)P174習題11-3:2,4,6,7二、平面上曲線積分與路徑無關的條件恒成立.GyxoAB什么叫平面上曲線積分與路徑無關？問題：什么樣的曲線積分與路徑無關？定理2.

設D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點都有與路徑無關,只與起止點有關.函數(shù)則以下四個條件等價:在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即說明:

積分與路徑無關時,曲線積分可記為證明(1)(2)設為D內(nèi)任意兩條由A到B

的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(1))證明(2)(3)在D內(nèi)取定點因曲線積分則同理可證因此有和任一點B(x,y),與路徑無關,有函數(shù)證明

(3)(4)設存在函數(shù)

u(x,y)使得則P,Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù),從而在D內(nèi)每一點都有證明

(4)(1)設L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖),利用格林公式,得所圍區(qū)域為證畢注意：在應用該定理時，一定要保證定理的條件：（1）G是一個單連通區(qū)域（2）P、Q在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時,可利用格林公式簡化計算,3)可用積分法求du=

Pdx

+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動點或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點1)計算曲線積分時,可選擇方便的積分路徑;例6.證明曲線積分證明：顯然整個xoy面是一個單連通區(qū)域，又由定理2，曲線積分在整個xoy面內(nèi)與路徑無關在整個xoy面內(nèi)恒成立。在整個xoy面內(nèi)與路徑無關。它們均在整個xoy

面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)。例7.

計算曲線積分在第一象限部分到A(1,1)的路經(jīng)。其中L

為從點O(0,0)沿圓周yx0解：分析由被積函數(shù)知，直接用曲線積分的方法比較困難。由于故所求曲線積分在整個xoy面內(nèi)與路徑無關，因此考慮改變積分路徑：OB+BA所以yx0在OB上，y=0,在BA上，x=1,假設二元函數(shù)u=u(x,y)可微，則反過來，若給定一個表達式問它是否一定是某個二元函數(shù)u(x,y)的全微分式未必一定是。問題：在什么條件下，表達式一定是某個二元函數(shù)u(x,y)的全微分式？如何求出這個二元函數(shù)u(x,y)?三、二元函數(shù)的全微分求積例8.

驗證是某個函數(shù)的全微分,并求出這個函數(shù).證:

設則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。解：方法2

設則有兩邊關于x求不定積分又而所以例8.

驗證是某個函數(shù)的全微分,并求出這個函數(shù).例9.

驗證在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.證:

令則由定理2

可知存在原函數(shù)或解:再由得C=0積分與路徑無關知：例10.

設曲線積分與路徑無關,其中具有連續(xù)的導數(shù),且

,計算內(nèi)容小結(jié)1.格林公式2.等價條件在

D

內(nèi)與路徑無關.在

D

內(nèi)有對D

內(nèi)任意閉曲線L有在D

內(nèi)有設P,Q

在D

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),則有思考與練習1.設且都取正向,問下列計算是否正確?提示:2.設提示:備用題1.

設

C

為沿從點依逆時針的半圓,計算解:

添加輔助線如圖,利用格林公式.原式=到點