大一下微積分課件-8 -5隱函數(shù)

1一個方程的情形方程組的情形小結(jié)思考題

implicitfunction8.5

隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一、一個方程的情形在一元微分學(xué)中,的求導(dǎo)法.已經(jīng)討論過方程下列定理給出了隱函數(shù)存在的充分條件.所確定的隱函數(shù)隱函數(shù)存在定理設(shè)二元函數(shù)的某一鄰域內(nèi)滿足:在點則方程的某一鄰域內(nèi)并有(1)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);它滿足條件在點隱函數(shù)的求導(dǎo)公式恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)證明（的存在性略）公式推導(dǎo)如下將恒等式兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得將代入解令則例(1)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，法1：用公式法2方程確定了1個1元函數(shù)方程兩邊對x求導(dǎo)：余下同法1解令則例法1：用公式法2方程確定了1個1元函數(shù)先變形方程：例方程兩邊對x求導(dǎo)：則方程內(nèi)恒能唯一確定具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)并有若三元函數(shù)它滿足條件在點隱函數(shù)存在定理的某一鄰域的某一鄰域內(nèi)滿足:在點(1)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);公式推導(dǎo)如下:將恒等式將代入兩邊對x

求導(dǎo)：（

y

看作常數(shù)）對

y求導(dǎo)：（

x看作常數(shù)）例

解

則令法1：用公式例

法2方程確定了1個2元函數(shù)方程兩邊對x

求導(dǎo)：（

y

看作常數(shù)）方程兩邊對y求導(dǎo)：（x看作常數(shù)）例

將隱函數(shù)方程兩邊取全微分,法3利用全微分.15將注再一次對y求偏導(dǎo)數(shù),得對復(fù)合函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)時,需注意:導(dǎo)函數(shù)仍是復(fù)合函數(shù).故對導(dǎo)函數(shù)再求偏導(dǎo)數(shù)時,仍需用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法.方程確定了1個2元函數(shù)解練習(xí)方程兩邊對x

求導(dǎo)：（

y

看作常數(shù)）再將上式兩邊對x求偏導(dǎo),（y看作常數(shù)）由原方程x,y的對稱性知思路：方程確定了1個2元函數(shù)或或例整理得解整理得整理得隱函數(shù)求導(dǎo)原則n個方程,m個變量的方程組可確定n個（m-n元）函數(shù)，一般的：由題目情況，其余m-n個變量作自變量，選定n個變量作函數(shù)變量，方程組對某一個自變量求導(dǎo)時，其余自變量求導(dǎo)后，從含有偏導(dǎo)數(shù)的方程組中求出所求偏導(dǎo)數(shù)?？醋鞒?shù)，一個方程推廣到多個方程例1個方程2個變量，確定了1個1元函數(shù)1個方程3個變量，確定了1個2元函數(shù)例設(shè)有隱函數(shù),其中F的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),

求解令用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法法一由公式.將隱函數(shù)方程兩邊取全微分,即故從而此法步驟清楚法二利用全微分.

求得將方程兩邊求導(dǎo).對x求偏導(dǎo):uv即自己練習(xí)z是x,y的函數(shù)!法三如果方程組為則可求方程組兩邊關(guān)于x求導(dǎo),二、方程組的情形(隱函數(shù)組)2個方程3個變量，確定了2個1元函數(shù)如果方程組為可則求方程組兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo),y看成常數(shù)方程組兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo),x看成常數(shù)則可求2個方程4個變量，確定了2個2元函數(shù)將恒等式兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo),解這個以為未知量的線性方程組,由鏈導(dǎo)法則得:求解得當(dāng)系數(shù)行列式不為零時,即雅可比行列式Jacobi,C.G.j.(德)1804-1851同理,兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo),得求例解方程組兩邊對x求導(dǎo)2個方程3個變量，確定了2個1元函數(shù)得得例設(shè)方程組確定函數(shù)解原方程組兩邊分別對x求偏導(dǎo)數(shù),y看成常數(shù)2個方程4個變量，確定了2個2元函數(shù)解方程組得移項得：原方程組兩邊分別對解方程組得練習(xí)y求偏導(dǎo)數(shù),x

看成常數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則小結(jié)41研究生考題,計算,5分解