2023年高考湖南理科數(shù)學(xué)試題及答案(詳解純word版)

第PAGE\*Arabic9頁共9頁2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔湖南卷〕數(shù)學(xué)〔理科〕本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三局部，時量120分鐘，總分值150分一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1.(是虛數(shù)單位)，那么復(fù)數(shù)z=A.B.C.D.2.設(shè)A、B是兩個集合，那么“〞是“〞的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.執(zhí)行如以下圖的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的S＝A.B.C.D.4.假設(shè)變量x,y滿足約束條件，那么的最小值為A.B.C.1D.25.設(shè)函數(shù)，那么是A.奇函數(shù)，且在是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在是減函數(shù)C.偶函數(shù)，且在是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在是減函數(shù)6.的展開式中含的項的系數(shù)為30，那么A.B.C.6D.7.在如圖2所示的正方形中隨機投擲10000個點，那么落入陰影局部〔曲線C為正態(tài)分布的密度曲線〕的點的個數(shù)的估計值為A.2386B.2718C.3413D.4772附：假設(shè)，那么,.8.點A,B,C在圓上運動，且.假設(shè)點P的坐標為,那么的最大值為A.6B.7C.8D.99.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，假設(shè)對滿足的，，有，那么A.B.C.D.10.某工件的三視圖如以下圖，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，那么原工件材料的利用率為〔材料的利用率〕A.B.C.D.二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分.11.__________.12.在一次馬拉松比賽中，35名運發(fā)動的成績〔單位：分鐘〕莖葉圖如以下圖假設(shè)將運發(fā)動按成績由好到差編為1－35號，再用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取7人，那么其中成績在區(qū)間上的運發(fā)動的人數(shù)是_________.13.設(shè)F是雙曲線C的一個焦點，假設(shè)C上存在點P，使線段PF的中點恰為其虛軸的一個端點，那么C的離心率為________.14.設(shè)為等比數(shù)列的前n項和，假設(shè)，且成等差數(shù)列，那么___________.15.函數(shù)假設(shè)存在實數(shù)b，使函數(shù)有兩個零點，那么a的取值范圍是___________.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.(本小題總分值12分)本小題有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個選做題，請考生任選兩題作答，并將解答過程寫在答題紙中相應(yīng)題號的答題區(qū)域內(nèi)，如果全做，那么按所做的前兩題計分.Ⅰ.〔本小題總分值6分〕選修4－1幾何證明選講如圖，在⊙O中，相交于點E的兩弦AB，CD的中點分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點F，證明：〔〕；〔〕.Ⅱ.〔本小題總分值6分〕選修4－4坐標系與參數(shù)方程直線〔t為參數(shù)〕，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.〔〕將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；〔〕設(shè)點M的直角坐標為，直線與曲線C的交點為A，B，求的值.Ⅲ.〔本小題總分值6分〕選修4－5不等式選講設(shè)，且，證明：〔〕；〔〕與不可能同時成立.17.(本小題總分值12分)設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，，且B為鈍角.(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)求的取值范圍.18.(本小題總分值12分)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購置一定金額的商品后即可抽獎.每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球.在摸出的2球中，假設(shè)都是紅球，那么獲一等獎；假設(shè)只有1個紅球，那么獲二等獎；假設(shè)沒有紅球，那么不獲獎.(Ⅰ)求顧客抽獎1次能獲獎的概率；(Ⅱ)假設(shè)某顧客有3次抽獎的時機，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(本小題總分值13分)如圖，在四棱臺的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形，，且底面，點P，Q分別在棱，上.(Ⅰ)假設(shè)點P是的中點，證明：；(Ⅱ)假設(shè)平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積.20.(本小題總分值13分)拋物線的焦點F也是橢圓的一個焦點，與的公共弦長為.(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)過點F的直線與相交于A，B兩點，與相交于C，D兩點，且與同向.〔〕假設(shè)，求直線的斜率；〔〕設(shè)在點A處的切線與x軸的交點為M，證明：直線繞點F旋轉(zhuǎn)時，總是鈍角三角形.21.(本小題總分值13分)，函數(shù)，記為的從小到大的第n個極值點.證明:(Ⅰ)數(shù)列是等比數(shù)列；(Ⅱ)假設(shè)，那么對一切，恒成立.2023年高考湖南卷理科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題DCBAADCBDA二、填空題11.012.413.14.15.三、解答題16.Ⅰ.證明：()如圖，因為M，N分別是兩弦AB，CD的中點，所以,，即，因此，又四邊形的內(nèi)角和等于，故.()由〔〕知，O，M，E，N四點共圓，故由割線定理即得.Ⅱ.解：()等價于，將，代入上式即得曲線C的直角坐標方程是.()將代入得.設(shè)這個方程的兩個實根分別為，那么由參數(shù)t的幾何意義知＝Ⅲ.證明：由，得〔〕由根本不等式及，有，即.()設(shè)與可同時成立，那么由及可得，同理，從而這與相矛盾，故與不可能同時成立.17.解：〔Ⅰ〕由及正弦定理，得，所以，即.又B為鈍角，，故，即.(Ⅱ)由〔Ⅰ〕知,所以.于是因為，所以，因此.由此可得的取值范圍是.18.解：〔Ⅰ〕記事件={從甲箱中摸出的一個球是紅球}，={從乙箱中摸出的一個球是紅球}，＝{顧客抽獎一次獲一等獎}，＝{顧客抽獎一次獲二等獎}，C＝{顧客抽獎一次能獲獎}.由題意與相互獨立，與互斥，與互斥，且，=+，.又因為，，所以，,故所求概率為.(Ⅱ)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復(fù)實驗，由〔Ⅰ〕知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，所以，于是由此求得X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望為.19.解法一：〔Ⅰ〕如圖，取的中點R，連結(jié),因為,是梯形的兩腰，點P是的中點，所以，于是由知，，所以四點共面.由題設(shè)知，，,所以平面,平面，因此.因為,所以，因此,于是,又已證得，所以平面,顯然有平面,故.(Ⅱ)如以下圖，過點P作交AD于點M，那么平面，因為底面，所以底面，過點M作于點N，連結(jié)PN，那么，是二面角的平面角.所以，即，從而.連結(jié)MQ，由平面及平面知，平面平面，所以，又ABCD是正方形，所以ABQM是矩形，故MQ=AB=6.設(shè)MD＝t，那么過點作交AD于點E，那么是矩形，所以，，因此.于是,所以，從而，解得，所以.故四面體ADPQ的體積.解法二：由題設(shè)知G兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，那么相關(guān)各點的坐標為，，，,，其中，.(Ⅰ)假設(shè)點P是的中點，那么，，又，于是,所以，即.(Ⅱ)由題設(shè)知，,是平面PQD內(nèi)兩個不共線的向量，設(shè)是平面PQD的一個法向量，那么即取，得.又平面AQD的一個法向量是，所以，而二面角的余弦值為，所以，解得m=4或m=8(舍去)，此時.再設(shè)，而，由此得到，.因為平面，且平面的一個法向量是，所以，，從而.于是，將四面體視為為底面的三棱錐，其高，故四面體ADPQ的體積.20.解：(Ⅰ)由知其焦點F的坐標為〔0，1〕，因為F也是橢圓的一個焦點，所以〔1〕又與的公共弦長為，與都關(guān)于y軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點坐標為，所以〔2〕聯(lián)立〔1〕〔2〕得，故的方程為.(Ⅱ)如圖，設(shè)，，，.()因與同向，且，所以，從而，即，于是.〔3〕設(shè)直線的斜率為，那么的方程為.由得，而是這個方程的兩根，所以〔4〕由得，而是這個方程的兩根，所以〔5〕將(4)(5)代入(3)得，即，所以，解得，即直線的斜率為.()由得，所以在點A處的切線方程為，即，令得，即，所以，而，于是，因此總是銳角，從而是鈍角.故直線繞點F旋轉(zhuǎn)時，總是鈍角三角形.21.解：(Ⅰ)，其中，.令，由得，即.對，假設(shè)，即，那么;假設(shè)，即，那么.因此，在區(qū)間與上，的符號總相反，于是，當時，取得極值，所以.此時，，易知，且是常數(shù)，故數(shù)