復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)

第四章級數(shù)§4.1

復(fù)數(shù)項級數(shù)

1.復(fù)數(shù)列的極限

2.級數(shù)的概念1.復(fù)數(shù)列的極限定義又設(shè)復(fù)常數(shù)：定理1證明例1

判斷下列數(shù)列是否收斂？若收斂，求出其極限。2.級數(shù)的概念級數(shù)的前面n項的和---級數(shù)的部分和不收斂---無窮級數(shù)定義設(shè)復(fù)數(shù)列：例2解定理2證明

由定理2，復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題可歸之為兩個實(shí)數(shù)項級數(shù)的收斂問題。性質(zhì)定理3證明?定義由定理3的證明過程，及不等式定理4解例2練習(xí)：

1.冪級數(shù)的概念

2.收斂定理

3.收斂圓與收斂半徑

4.收斂半徑的求法

5.冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)§4.2冪級數(shù)1.冪級數(shù)的概念定義設(shè)復(fù)變函數(shù)列：---稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)級數(shù)的最前面n項的和---級數(shù)的部分和若級數(shù)(1)在D內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)---級數(shù)(1)的和函數(shù)特殊情況，在級數(shù)(1)中稱為冪級數(shù)2.收斂定理同實(shí)變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理：定理1(阿貝爾(Able)定理）證明(2)用反證法，3.收斂圓與收斂半徑由Able定理，冪級數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：(i)若對所有正實(shí)數(shù)都收斂，級數(shù)(3)在復(fù)平面上處處收斂。(ii)除z=0外，對所有的正實(shí)數(shù)都是發(fā)散的，這時，級數(shù)(3)在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散。顯然，<否則，級數(shù)(3)將在處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍(lán)色，逐漸變大，在c內(nèi)部都是紅色,逐漸變小，在c外部都是藍(lán)色，紅、藍(lán)色不會交錯。故播放

(i)冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析。定義這個紅藍(lán)兩色的分界圓周cR叫做冪級數(shù)的收斂圓；這個圓的半徑R叫做冪級數(shù)的收斂半徑。(ii)冪級數(shù)(3)的收斂范圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級數(shù)(2)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.4.收斂半徑的求法定理2(比值法)證明定理3(根值法)定理3(根值法)定理2(比值法)例1解

綜上例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑5.冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

代數(shù)運(yùn)算

---冪級數(shù)的加、減運(yùn)算---冪級數(shù)的乘法運(yùn)算---冪級數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算冪級數(shù)的代換運(yùn)算在函數(shù)展成冪級數(shù)中很有用.例3解代換解代換展開還原

分析運(yùn)算

定理4---冪級數(shù)的逐項求導(dǎo)運(yùn)算---冪級數(shù)的逐項積分運(yùn)算例4求冪級數(shù)的和函數(shù)及收斂圓.

1.泰勒展開定理

2.展開式的唯一性

3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式§4.3泰勒(Taylor)級數(shù)1.泰勒(Taylor)展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達(dá)?(或者說,一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)?解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級數(shù)表示？）由§4.2冪級數(shù)的性質(zhì)知:一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級數(shù)表示。定理1（泰勒展開定理）Dk分析：代入(1)得Dkz---(*)得證！證明2.展開式的唯一性結(jié)論解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級數(shù)。利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級數(shù)，這樣的展開式是否唯一？事實(shí)上，設(shè)f(z)用另外的方法展開為冪級數(shù):由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是Talor級數(shù)，因而是唯一的。---直接法---間接法

代公式由展開式的唯一性，運(yùn)用級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、分析運(yùn)算和已知函數(shù)的展開式來展開函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法：3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式例1解上述求sinz,cosz展開式的方法即為間接法.例2把下列函數(shù)展開成z的冪級數(shù):解(2)由冪級數(shù)逐項求導(dǎo)性質(zhì)得：

(1)另一方面，因ln(1+z)在從z=-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)解析，ln(1+z)離原點(diǎn)最近的一個奇點(diǎn)是-1,它的展開式的收斂范圍為z<1.練習(xí)定理

1.預(yù)備知識

2.雙邊冪級數(shù)

3.函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)

4.展開式的唯一性§4.4羅朗(Laurent)級數(shù)由§4.3

知,f(z)在z0解析，則f(z)總可以在z0

的某一個圓域z-z0<R內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù)。若f(z)在z0點(diǎn)不解析，在z0的鄰域中就不可能展開成z-z0的冪級數(shù)，但如果在圓環(huán)域R1<z-z0<R2內(nèi)解析，那么，f(z)能否用級數(shù)表示呢？例如，由此推想，若f(z)在R

1<z-z0<R2

內(nèi)解析,f(z)可以展開成級數(shù)，只是這個級數(shù)含有負(fù)冪次項,即本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)和計算留數(shù)的基礎(chǔ)。1.預(yù)備知識Cauchy積分公式的推廣到復(fù)連通域---見第三章第18題Dz0R1R2rRk1k2D1z2.雙邊冪級數(shù)---含有正負(fù)冪項的級數(shù)定義形如---雙邊冪級數(shù)正冪項(包括常數(shù)項)部分：負(fù)冪項部分：級數(shù)(2)是一冪級數(shù)，設(shè)收斂半徑為R2，則級數(shù)在z-z0=R2內(nèi)收斂，且和為s(z)+;在z-z0=R2外發(fā)散。

z0R1R2z0R2R1(2)在圓環(huán)域的邊界z-z0=R1,

z-z0=R2上,3.函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)定理證明由復(fù)連通域上的Cauchy積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z記為I1記為I2式(*1),(*2)中系數(shù)cn的積分分別是在k2，k1上進(jìn)行的，在D內(nèi)取繞z0的簡單閉曲線c，由復(fù)合閉路定理可將cn寫成統(tǒng)一式子：證畢！級數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。(2)在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f(z)在奇點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)解析，需要把f(z)展成級數(shù)，那么就利用洛朗（Laurent）級數(shù)來展開。級數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。4.展開式的唯一性結(jié)論一個在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是f(z)的洛朗級數(shù)。事實(shí)上，Dz0R1R2cDz0R1R2c由唯一性，將函數(shù)展開成Laurent級數(shù)，可用間接法。在大都數(shù)情況，均采用這一簡便的方法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開式，只有在個別情況下，才直接采用公式(5')求Laurent系數(shù)的方法。例1解例2解例3解例4xyo12xyo12xyo12解:沒有奇點(diǎn)注意首項(2)對于有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理函數(shù)分解成多項式與若干個最簡分式之和，然后利用已知的幾何級數(shù)，經(jīng)計算展成需要的形式。小結(jié)：把f(z)展成洛朗(Laurent)級數(shù)的方法：(4)根據(jù)區(qū)域判別級數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把f(z)展成泰勒(Taylor)級數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f(z)展成洛朗(Laurent)級數(shù)。解(1)在(最大的)去心鄰域例5yxo12

(2)在(最大的)去心鄰域xo12練習(xí)：(3)Laurent級數(shù)與Taylor級數(shù)的不同點(diǎn)：

Taylor級數(shù)先展開求R,找出收斂域。

L