運動方程式的線性化

Chap2-6

運動方程式的線性化

1/13/20231中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授運動方程式的線性化由前面的推導(dǎo)知六自由度運動方程式為非線性的常微分方程式，其求解甚為費時。非線性方程式適合於描述變數(shù)大範(fàn)圍變化的情形，但在實際上，飛機在大部份的時間下，均保持穩(wěn)定平衡飛行，因此吾人可將飛機的非線性動態(tài)針對平衡點加以展開，然後描述飛機偏離平衡點的微小擾動。1/13/20232中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授運動方程式的線性化現(xiàn)將描述飛機運動的六個變量寫成其中有下標(biāo)”0”的，表示在平衡狀態(tài)下的值，小寫字母則代表微小擾動。線性化的方程式則是在描述六個微擾值Δu，Δv，Δw，Δp，Δq，Δr相對於時間的變化。除了將變數(shù)展開外，也要把外力和外力矩展開。側(cè)滾角速率ｐ偏航角速率ｒ1/13/20233中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授運動方程式的線性化設(shè)是的非線性函數(shù)，Ｆ的變化量可寫成其中，是偏導(dǎo)數(shù)的縮寫。1/13/20234中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授線性化與氣動力偏導(dǎo)數(shù)Ｆ代表飛機所受到的三個外力X，Y，Z及三個外力矩L，M，N，且＝u，v，w，p，q，r→六個變數(shù)。因此有六個函數(shù)相對於六個自變數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，故總共可形成36個偏導(dǎo)數(shù)。以Ｘ方向的外力Ｘ為例，Ｘ的微擾量可線性展開成另外控制翼面的角度變化，，，也會產(chǎn)生力和力矩的變化，因此會有一些由，，所衍生的偏導(dǎo)數(shù)如，等。以下提到u，v，w，p，q，r時，均是指微擾量。1/13/20235中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授控制翼面（ControlSurface）一般飛機有三個控制翼面（ControlSurface）,其中控制橫向運動的有兩個,控制縱向運動的有一個：副翼（Aileron）的轉(zhuǎn)動角：（xi橫向運動的控制面）=δa升降舵（elevator）的轉(zhuǎn)動角：（eta縱向運動的控制面）=δe方向舵（rudder）的轉(zhuǎn)動角：（zeta橫向運動的控制面）=δr1/13/20236中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授縱向偏導(dǎo)數(shù)的物理意義

縱向面的運動包含前進(jìn)速度u垂直速度w俯仰率q。由u，w，q所產(chǎn)生的偏導(dǎo)數(shù)有前進(jìn)速度u：前向力偏導(dǎo)數(shù)Xu垂直力偏導(dǎo)數(shù)Zu垂直速度w前向力偏導(dǎo)數(shù)Xw垂直力偏導(dǎo)數(shù)Zw俯仰力矩偏導(dǎo)數(shù)Mw俯仰率q：垂直力偏導(dǎo)數(shù)Zq俯仰力矩偏導(dǎo)數(shù)Mq垂直速度變化率：垂直力偏導(dǎo)數(shù)俯仰力矩偏導(dǎo)數(shù)1/13/20237中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授Xu，Zu，Xw，Zw的物理意義解釋這四個偏導(dǎo)數(shù)是前進(jìn)速度u及垂直速度w的變化所導(dǎo)致前向力及垂直力的變化。這是因為u和w的變化引起攻角α的改變，而α改變造成升力和阻力的改變，因此升力、阻力在Ｘ方向及Ｚ方向的分量也隨之變化。1/13/20238中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授Mw的物理意義解釋

這是指垂直速度w的改變所造成的俯仰力矩的相對變化。注意＝垂直速度／前向速度，因此w改變α改變升力改變對CG的力矩改變俯仰力矩M改變對於穩(wěn)定飛機而言，，這如同前面所解釋過的，是一樣的道理。1/13/20239中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授Zq和Mq的物理意義解釋

這兩項是由於俯仰率q的改變造成垂直力Z及俯仰力矩大小的改變。參考圖，當(dāng)機身繞CG（重心）有一正向的俯仰角速率q時，（使機頭抬起），此時機尾產(chǎn)生一向下的速度，其中是機尾到CG的距離。此一向下速度使得尾翼和相對風(fēng)之間形成新增的攻角，這個尾翼的攻角使尾翼產(chǎn)生了正向力注意指每單位q的變化所產(chǎn)生Z的變化（），因此是指q單位q的變化，所生的Z的變化量。1/13/202310中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授Zq和Mq的物理意義解釋

這兩項是由於俯仰率q的改變造成垂直力Z及俯仰力矩大小的改變。尾翼和相對風(fēng)之間形成新增的攻角新的攻角使尾翼產(chǎn)生了新的正向力尾翼所生的垂直力對機身CG又產(chǎn)生一個俯仰力矩，而且其值是負(fù)的（即），也就是尾翼所產(chǎn)生的力使機頭向下。相當(dāng)於說，如果有一陣風(fēng)使機身產(chǎn)生正的俯仰角速率q（機頭抬起），此q引起的翼尾的向上垂直力，將產(chǎn)生負(fù)的俯仰力矩M使得機頭向下。因此尾翼具有阻尼(damping)的效果，可阻止機頭繼續(xù)抬起。

1/13/202311中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授的物理意義解釋

這是垂直速度的變化率對Z和M的影響。是下洗（down-wash）的作用，而下洗是因氣流流過主翼後，被往下帶，此股氣流由上而下接近尾翼，使得尾翼的有效攻角減小，其所產(chǎn)生的正向力Z和力矩M自然也就隨之改變了。和1/13/202312中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授，的物理意義解釋

這二個是屬於因控制翼面（升降舵）偏轉(zhuǎn)所生成的偏導(dǎo)數(shù)。是升降舵（elevator）所打的角度。升降舵往下打，產(chǎn)生向上的升力（對Z的影響），此升力對機身的CG又會造成新的俯仰力矩（對M的影響）。綜合上面的分量，縱方向的二個力X，Z及一個力矩M，可表成如下的線性組合

（eta)1/13/202313中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授縱向運動的力與力矩的綜合表示縱方向的二個力X(前向力)，Z(垂直力)及一個俯仰力矩M，可表成如下的線性組合(1)1/13/202314中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授橫向偏導(dǎo)數(shù)的物理意義此類偏導(dǎo)數(shù)在建立側(cè)滑速度ｖ，側(cè)滾率ｐ，和偏航率ｒ?qū)?cè)向力Ｙ，側(cè)滾力矩Ｌ，和偏航力矩Ｎ的影響。側(cè)滑速度ｖ：側(cè)向力偏導(dǎo)數(shù)偏航力矩偏導(dǎo)數(shù)側(cè)滾力矩偏導(dǎo)數(shù)側(cè)滾角速率ｐ：側(cè)滾力矩偏導(dǎo)數(shù)偏航力矩偏導(dǎo)數(shù)偏航角速率ｒ：偏航力矩偏導(dǎo)數(shù)側(cè)滾力矩偏導(dǎo)數(shù)1/13/202315中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授側(cè)滑速度ｖ會產(chǎn)生一側(cè)滑角β，此角是相對風(fēng)速和機身間的夾角，由於風(fēng)從側(cè)面吹來（見右圖），機身兩側(cè)的風(fēng)速不對稱，而產(chǎn)生一側(cè)向力。的物理意義

1/13/202316中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授這是側(cè)滑速度ｖ對偏航力矩Ｎ的影響。參考右圖，當(dāng)飛機有一向右的側(cè)滑速度ｖ時，此時風(fēng)從右側(cè)吹來，打在垂直尾翼（Fin）上，而產(chǎn)生向左的側(cè)向力，此側(cè)向力對機身ＣＧ產(chǎn)生一偏航力矩，使機頭向右偏，進(jìn)而降低側(cè)滑角，也就是垂直尾翼有使機身朝向風(fēng)來方向的功能（如果機頭完全對準(zhǔn)風(fēng)，則β＝0）。此功能和測風(fēng)向的風(fēng)向雞（weathercock）是一樣的。的物理意義

1/13/202317中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授垂直尾翼越大，機身追風(fēng)的能力就越強，也就是風(fēng)從那裡來，垂直尾翼所產(chǎn)生的側(cè)向力會迫使機頭朝向那一方。所以大→追風(fēng)強。垂直尾翼所生的偏航力矩Ｎ和垂直尾翼面積成正比，也和垂直尾翼與ＣＧ的距離（力臂）成正比；當(dāng)然側(cè)滑速度愈大，偏航力矩也愈大。的物理意義

1/13/202318中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授不過側(cè)向風(fēng)作用在機身上，也會產(chǎn)生一側(cè)向力，此側(cè)向力（見圖）雖然和垂直尾翼所產(chǎn)生的側(cè)向力同方向，但對ＣＧ所產(chǎn)生的偏航力矩，其方向卻相反，機身所生的偏航力矩會使側(cè)滑角變大；反之，如前所述，垂直尾翼所生的偏航力矩會使側(cè)滑角減小。因此，側(cè)滑速度所生成的偏航力矩要考慮機身與垂直尾舵的綜合效應(yīng)。的物理意義

1/13/202319中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授代表由於側(cè)滑速度所造成的側(cè)滾力矩增量。參考右圖，這是一前視圖，機身有一向右的側(cè)滑速度ｖ，此時右翼有下沈，而左翼有上揚的趨勢。因此，右翼的相對風(fēng)向是由下而上，因此攻角變大；而左翼的風(fēng)由上而下，攻角變小。右翼攻角大，故升力大，而左翼攻角小，故升力小。由於左右兩翼升力的不平衡，而產(chǎn)生逆時針的側(cè)滾力矩，使得右翼上揚而左翼下沈（注意最先的趨勢是右翼下沈而左翼上揚）。因此由於側(cè)滑速度產(chǎn)生的側(cè)滾力矩有助於機翼恢復(fù)到水平的位置。的物理意義

圖：上傾角與側(cè)滑的效應(yīng)

1/13/202320中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授LP的物理意義

這是因側(cè)滾率ｐ所產(chǎn)生的側(cè)滾力矩Ｌ。參考右圖，當(dāng)飛機有一逆時針的側(cè)滾角速度ｐ時，左側(cè)機翼下沈，而右側(cè)機翼上揚。下沈的機翼端，相對氣流由下而上，攻角變大；上揚的機翼端，相對氣流由上而下，攻角變小。因此左側(cè)機翼升力大，而右側(cè)機翼升力小，而產(chǎn)生一順時針的力矩，阻止原來逆時針旋轉(zhuǎn)的運動。亦即，由ｐ所產(chǎn)生的側(cè)滾力矩會阻止機體繼續(xù)側(cè)滾，達(dá)到一平衡的姿態(tài)。

1/13/202321中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授NP的物理意義

參考右圖，機翼的側(cè)滾率ｐ使一邊升力變大，另一邊的機翼升力變??；然而升力大者，阻力也大，因此左右兩側(cè)機翼的阻力不同，自然就產(chǎn)生了偏航力矩。

1/13/202322中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授Nr的物理意義

偏航角速度r所產(chǎn)生的偏航力矩。參考右圖，當(dāng)飛機有一正的偏航率時，垂直尾翼產(chǎn)生向左lf．r的速度，這個速度改變風(fēng)對於垂直尾翼的入射角，而在合成速度的垂直方向上，形成升力。這個升力對ＣＧ產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，其方向和ｒ相反。此即因此對於穩(wěn)定的飛機而言，機身有偏航的角速度時，縱使不去控制它，也會自動產(chǎn)生一相反的偏航力矩，阻止機身持續(xù)地偏航。1/13/202323中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授Lr的物理意義

偏航角速度ｒ所產(chǎn)生的側(cè)滾力矩，參考右圖，當(dāng)飛機向右偏航時，左側(cè)機翼的相對風(fēng)速較大，所產(chǎn)生的升力也較大；而右側(cè)機翼的相對風(fēng)速較小，升力也小。由於左右二側(cè)升力的不平均，而產(chǎn)生左側(cè)翼面上揚，而右側(cè)翼面下沈的側(cè)滾力矩。因為此力矩的存在，而使得飛機的偏航必定伴隨側(cè)滾的發(fā)生。1/13/202324中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授：副翼的影響

ξ是指副翼（aileron）所打的角度=δa。是每單位角度副翼的偏轉(zhuǎn)，所產(chǎn)生的側(cè)滾力矩。副翼的偏轉(zhuǎn)一定是一邊往上打，而另一邊往下打；副翼向上打的，升力向下（整側(cè)機翼升力減?。?；副翼向下打的，升力向上（該側(cè)機翼升力增加）。由於兩側(cè)升力不同，機體遂生成側(cè)滾力矩xi1/13/202325中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授：副翼的影響

是指副翼打動時，所產(chǎn)生的偏航力矩Ｎ。前面提到副翼一上一下偏轉(zhuǎn)後，升力一側(cè)大，另一側(cè)較小，而升力大者亦伴隨大的阻力，升力小者伴隨小的阻力，阻力的不同，而產(chǎn)生偏航力矩。左右兩翼升力不同→產(chǎn)生側(cè)滾左右兩翼阻力不同→產(chǎn)生偏航1/13/202326中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授橫向運動的力與力矩可綜合表示

側(cè)向力：

側(cè)滾力矩：

偏航力矩：(2)（zeta方向舵（rudder）的轉(zhuǎn)動角）=δr（xi副翼（Aileron）的轉(zhuǎn)動角）=δa1/13/202327中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式平移運動的線性化設(shè)飛機的速度為，v，（假設(shè)穩(wěn)定飛行中沒有側(cè)滑，即＝0），且設(shè)穩(wěn)定飛行時沒有旋轉(zhuǎn)動作，即Ｐ＝Ｑ＝Ｒ＝0，但允許有微擾旋轉(zhuǎn)ｐ，ｑ，ｒ。1/13/202328中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式其中下標(biāo)「ａ」代表由氣動所造成的力。將上面的式子，用連起來，得(3)(3.25)(3.33)參考Table3.1Forceequation1/13/202329中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式旋轉(zhuǎn)運動方程式其中吾人已假設(shè)體軸與主軸（principleaxis）重合，故※注意：對於微小擾動而言，體軸的旋轉(zhuǎn)角速度和尤拉角的變化率可視為相同，即(4)參考Table3.11/13/202330中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式現(xiàn)在將（1）式的縱方向的力和力矩（Ｘ，Ｚ，Ｍ），及（2）式的橫方向的力和力矩（Ｙ，Ｌ，Ｎ）代入（3）及（4）的運動方程式中，得縱方向運動方程式(5)1/13/202331中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式及橫方向運動方程式(6)1/13/202332中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式縱方向運動方程式(5)可表成聯(lián)立的一階常係數(shù)常微分方程式

(7)1/13/202333中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式橫方向運動方程式可表成聯(lián)立的一階常係數(shù)常微分方程式

(6)(8)1/13/202334中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式上面二式可進(jìn)一步表成標(biāo)準(zhǔn)線性方程式(7)(8)對應(yīng)課本(2.38)對應(yīng)課本(2.39)1/13/202335中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式Ｘ：狀態(tài)變數(shù)向量，ｕ，ｖ，ｗ，ｐ，ｑ，ｒ，，Ａ：系統(tǒng)矩陣，由氣動力係數(shù)所決定。Ｂ：控制影響矩陣，代表每單位控制翼面的偏轉(zhuǎn)角，所產(chǎn)生的力或力矩。ｕ：控制翼面的偏轉(zhuǎn)角。飛行力學(xué)：給定ｕ，求ｘ的響應(yīng)。飛行控制：給定ｘ的響應(yīng)，求ｕ。

1/13/202336中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授飛機的線性化運動方程式通常的通解可寫成但飛機在整個飛行過程中，Ａ，Ｂ矩陣並非完全固定，因此上式的求解，通常採用疊代數(shù)值積分：其中，依次類推，為積分間距。

1/13/202337中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授空氣動力偏導(dǎo)數(shù)在上述的運動方程式中包含了各個氣動力偏導(dǎo)數(shù)，整理如下表縱向力與力矩偏導(dǎo)數(shù)η1/13/202338中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授空氣動力偏導(dǎo)數(shù)橫航向力與力矩偏導(dǎo)數(shù)1/13/202339中華技術(shù)學(xué)院航電系歐陽讓教授運動方程式的修正飛機保持平飛姿態(tài)，無爬升率W0=0。可以忽略水平尾翼角