理想流體動力學(xué)基本方程

第三章理想流體動力學(xué)基本方程§3-2流線和流管流線跡線流管流束總流流量§3-3連續(xù)性方程控制體的概念例題:試求點(diǎn)(1,2,3)處流體加速度的三個分量解:ax=0+x2y(2xy)-3y(x2)+2z2(0)=2x3y2-3x2y=2ay=0+x2y(0)-3y(-3)+2z2(0)=9y=18az=0+x2y(0)–3y(0)+2z2(4z)=8z3=216質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念可擴(kuò)展到質(zhì)點(diǎn)所攜帶的其它物理量,如密度如壓強(qiáng)等用一個通式表示為質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)亦稱隨體導(dǎo)數(shù)亦稱物質(zhì)導(dǎo)數(shù)等

恒定流非恒定流(定常流非定常流)

/t是否等于零一維流動二維流動三維流動流動的分類

流線跡線流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌跡-----------跡線某時(shí)刻曲線某點(diǎn)切線方向與該點(diǎn)流體的運(yùn)動方向一致------------流線流線與流管跡線方程:

dx=udtdy=vdtdz=wdt即流線特點(diǎn):不相交;不發(fā)生轉(zhuǎn)折;邊界流線與該點(diǎn)切線方向重合;瞬時(shí)性定常流動:跡線與流線重合流線方程:例已知流場速度為其中q為常數(shù),求流線方程dx/x=dy/y

積分lnx=lny+c’

即y=cx為平面點(diǎn)源流動解:例題:已知平面流場速度分布為

u=2yt+t3v=2xt

求時(shí)刻t=2

過點(diǎn)(0,1)的流線解:2xdx=2ydy+t2dyt作為參量(常數(shù))處理積分有x2–y2=t2y+C

將t=2,x=0,y=1代入得C=-5所以有x2–y2–4y+5=0

流管和流束

總流

過流斷面流量斷面平均流速體積流量Q(m3/s)

質(zhì)量流量kg/s

均勻流非均勻流漸變流急變流根據(jù)流線形狀將流動分為均勻流與非均勻流將非均勻流又分為漸變流與急變流

系統(tǒng):包含確定不變的物質(zhì)的集合稱為系統(tǒng)控制體:在歐拉法中,一個空間固定體稱為控制體基本方程利用系統(tǒng)導(dǎo)出,可通過輸運(yùn)公式,以控制體的形式表達(dá)出來§3-3連續(xù)性方程控制體的概念

t時(shí)刻位于(x,y,z)的流體質(zhì)點(diǎn)，在t+t時(shí)刻移動至(x+x,y+y,z+z)處，其中滿足

流體系統(tǒng)（質(zhì)量體）在t時(shí)刻占據(jù)空間（I+II）（總體以表示，取為控制體），t+t時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)移動至（I+III）體積中，見圖。設(shè)系統(tǒng)t時(shí)刻攜帶的物理量為Q(x,y,z,t)，則系統(tǒng)物理量Q總和隨時(shí)間的變化率即稱為隨體導(dǎo)數(shù)，可表示為IIItIIIt+tIIItIIIt+t由式取極限，得到輸運(yùn)公式為若流動定常,則不可壓,則以上積分形式可以化為微分形式,亦可由微元六面體進(jìn)行推導(dǎo)而得到三維流動連續(xù)性方程的推導(dǎo)YZXObdydzdxcaubdydzdxcauX方向:凈流量=流出-流進(jìn)=同理y方向:Z方向:bdydzdxcau質(zhì)量守恒:凈流量=流出-流進(jìn)=微元體內(nèi)質(zhì)量的減少某些條件下,連續(xù)性微分方程的具體形式(1)恒定(定常)(2)不可壓縮流體即=const

(3)不可壓縮平面(二維)連續(xù)性方程有2211A1A2u1u2定常管流

uA=const定常不可壓管流

uA=const=Qu1A1=u2A2=Q

對于不可壓管流,截面小流速大,截面大流速小而對于可壓縮管流,情況要復(fù)雜得多d2d12121例管道中水的質(zhì)量流量為Qm=300kg/s,若d1=300mm,d2=200mm,求流量和過流斷面1-1,2-2的平均流速解:u0urr