電磁場第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律

研究生學位課程（1）研究生學位課程電磁理論電磁場

理論Theoryof

Electromagneticfields主講哈工大江濱浩教授電磁現(xiàn)象的

普遍規(guī)律第一章普照電磁場天地的太陽本章內(nèi)容1.1

麥克斯韋之前的電磁學說－基本實驗定律之回顧1.2麥克斯韋方程組與洛倫茲力1.3媒質(zhì)的電磁性質(zhì)－物性方程1.4銜接（邊界）條件1.5電磁場之能量與能流1.6

Maxwell方程組的完備性11.1基本實驗定律之回顧

1.1麥克斯韋之前的電磁學說－基本實驗定律之回顧庫侖（Coulumb）定律與靜電場電荷守恒定律－電流連續(xù)方程畢奧－薩伐爾（Biot-Savard）定律與恒定磁場法拉第（Faraday）定律2庫侖定律與靜電場超距作用：電荷－電荷近距作用：電荷－場－電荷庫侖（Coulomb）定律電場兩電荷之間之作用力（電荷對電荷)電場的基本性質(zhì)：對電荷有力的作用，局內(nèi)場/局外場自由空間中的電荷靜止，場與時間無關，靜電場庫侖定律是力的方向、力與距離的平方反比關系，其系數(shù)定義了電荷的單位（國際單位制）3疊加原理場的疊加原理（力的疊加性導致靜電場的疊加性）Q1QnQi

電荷系在空間某點產(chǎn)生的電場強度等于組成該電荷系的各點電荷單

獨存在時在該點產(chǎn)生的場強的矢量和－平行四邊型法則

疊加原理的條件？

4連續(xù)電荷的靜電場

連續(xù)電荷密度分布

連續(xù)電荷的靜電場分布

積分是一致收斂的，因此積分和極限運算可換順序面電荷和線電荷分布是體電荷的極限情況，上式具有一般性

但上式不是求解靜電場分布的有效公式，為什么？5高斯定理靜電場的高斯（Gauss）定理

靜電場對任一閉合曲面的通量等于面內(nèi)電荷與真空介電常數(shù)比值

它反映了電荷分布與電場強度在給定區(qū)域內(nèi)的關系，不反應電場的點與點間的關系它可直接求解對稱性情況下的靜電場

數(shù)學上Gauss定理：6靜電場的散度高斯定理的微分形式－靜電場的散度：

有源場：（散度不為零）電荷為電場之源－靜電場是有源場局域性：電場的散度僅僅與當?shù)氐碾姾上嚓P，與其它點的無關刻劃靜電場在空間各點發(fā)散和會聚情況：電力線由正電荷（源）發(fā)出，而匯于負電荷（匯），電荷為零處電力線連續(xù)

(無源

(正源)(負源)7高斯定理的證明（1）S面對原點所張的立體角8高斯定理的證明（2）由于當時，故積分只需在的小球體上進行:

重要關系式：

函數(shù)的取樣性：9靜電場的環(huán)量和旋度Stokes定理:環(huán)量：

旋度：10靜電場的無旋性

環(huán)量為零

靜電場對電荷作功與路徑無關，保守力場無旋性：靜電場的基本方程之一

電力線永不閉合，與散度方程一致再根據(jù)有如下關系等價自由空間中靜電場（庫侖）理論：11靜電場無旋性的直接證明12典型電場分布電偶極子均勻帶電直導線13+平行平面場傳導電流

傳導電流

電荷在導電媒質(zhì)或真空中的規(guī)則、定向、宏觀運動－單位時間內(nèi)通過某一橫截面的電量－電流體(面）密度矢量電流面（線）密度單位面積的電流強度

正電荷的運動方向有－電流體密度矢量的極限表達結(jié)果14電荷守恒定律電荷守恒(電荷不生不滅)定律：單位時間流出區(qū)域V的電荷總量等于V內(nèi)電量的減少率微分形式（電流連續(xù)方程）：

若空間各點電荷與時間無關－穩(wěn)恒電流：此類方程可以推廣至各種物理量的密度和通量關系

KCL的物理實質(zhì)是連續(xù)性方程，試由連續(xù)性方程導出KCL

適用范圍？15課堂休息課堂休息（1）?體（線）電流元：

磁場的基本屬性：對運動電荷有作用力－洛侖茲力：－磁感應強度矢量：畢－薩定律穩(wěn)恒體電流激發(fā)磁場：

畢奧－薩伐爾定律與靜磁場細導線（閉合回路）激發(fā)的磁場為：

電荷受的最大磁力

垂直于16靜磁場的基本方程組待證明靜磁場的基本方程組(電）磁矢勢重要關系式散度方程：旋度方程：證明：兩通電閉合電流之間的相互作用力（安培力）滿足牛頓第三定律17靜磁場的無源性和有旋性

積分形式－磁通連續(xù)原理－安培環(huán)路定理

穩(wěn)恒磁場是無源、有旋場

磁力線是閉合線，且與閉合的電流矢量線相鏈！（右手關系)18靜磁場的旋度證明

類比求時做法?或利用

和函數(shù)的取樣性來證明19靜磁矢勢是無源的

當積分區(qū)域充分大時，表面無電流，第一項為零若為穩(wěn)恒電流，電流是無源的，，第二項為零?20典型磁場分布21長直載流導線產(chǎn)生的磁感應強度

磁偶極（元電流環(huán))磁場Faraday

定律電磁感應定律－負號的解釋？電磁感應現(xiàn)象

磁通變化的三種方式：－回路相對磁場做機械運動，即磁場與時間無關，磁通量隨時間變化，動生電動勢，它的實質(zhì)實磁場的洛倫茲力－回路靜止不動，但磁場時變，感生電動勢

電動勢的定義：電壓和電位差的定義？上式成立與導線環(huán)路的形狀和材質(zhì)無關導線回路22麥克斯韋以前電磁學說（小結(jié)）靜電場電荷守恒定律電流連續(xù)方程穩(wěn)定情況電荷是電場的源靜電場是無旋場恒定磁場恒定磁場是無源場，電流是磁場的源法拉第電磁感應定律

電場和磁場雖然可以處于同一空間，但彼此幾乎無聯(lián)系；至多，當磁通時變時，在閉合導電線圈中產(chǎn)生感應電動勢。各學說中存在著部分矛盾

麥克斯韋如何解決，修改和推廣的？請看下節(jié)！

231.2麥克斯韋方程組與洛倫茲力

－

法拉第（Faraday）定律的推廣－位移電流－位移電流的磁效應－麥克斯韋（Maxwell）方程組－洛倫茲（Lorentz）力Faraday定律的推廣25

感應電動勢Faraday定律的表達式顯然，如上感應電動勢（局外電場）是由時變的磁場引起的麥克斯韋對Faraday定律的推廣

麥克斯韋認為（假設）：－對任意幾何閉合曲線/曲面，如上關系依然成立時變的磁場會產(chǎn)生時變電場

Faraday定律原始陳述對導線回路的形狀和材料沒有要求不同材料只可能影響導線回路上的感應電流的大小，而對感應電動勢（局外電場）沒有影響電場的旋度和散度方程

Faraday定律的實質(zhì)：時變磁場激發(fā)電場利用Stoke’s公式重要結(jié)論：

感生電場（又稱漩渦場）不是由電荷直接激發(fā)，可以認為感生電場是有旋無源場再假設電荷分布激發(fā)的電場（庫侖場）為滿足

于是，自由空間中總電場滿足包含著時變磁場激勵電場的重要信息庫侖場的實例：靜電波26位移電流（1）類比：全電流假設－對于靜磁場與一致－對變化場它與電荷守恒發(fā)生矛盾時變磁場激勵感生電場

？時變電場激勵感生磁場

但是麥克斯韋假設存在位移電流總電流：并且總電流連續(xù)27位移電流（2）位移電流的實質(zhì)于是

位移電流的實質(zhì)是時變的電場全電流連續(xù)與電荷守恒定律是等價的

－電流連續(xù)性方程傳導電流的實質(zhì)是帶電粒子的宏觀定向運動

位移電流與傳導電流的磁效應是否相同？28位移電流（3）對非穩(wěn)恒電流，矢勢的散度不為零,則位移電流：

變化的電場必須產(chǎn)生磁場，只要電荷守恒定律成立29位移電流的磁場麥克斯韋假設：位移電流和傳導電流具有相同的磁場效應，所激勵的磁場遵循同樣的規(guī)律

－傳導電流的磁場－位移電流的磁場

－于是，全（總）電流的磁場

位移電流（即時變的電場）與傳導電流一樣都激勵磁場（磁生電）

位移電流的磁場和傳導電流的磁場均是無源的，且與各自電流相鏈何謂電流？！電流的基本屬性是磁效應結(jié)論

：

30自由空間中的麥克斯韋方程組描述電場與磁場的運動規(guī)律的Maxwell方程Stoke’公式

Guass’公式真空中的Maxwell方程是線性方程，滿足疊加原理電荷、電流是電磁場之源，來源“實體”物質(zhì)電荷和電流滿足電荷守恒定律（自證）31電場/磁場相互為源

無源()麥克斯韋方程

－旋度方程－散度方程電場和磁場相耦合，相互為源，可以脫離電荷、電流而獨立存在，電磁場具有“物質(zhì)性”電場、磁場是統(tǒng)一的，即電磁（波）場32自由空間的電磁場波動方程由無源麥克斯韋方程組聯(lián)立有類似有電波動方程＋橫波條件磁波動方程＋橫波條件其中為真空中光速真空中電、磁場形式上可以分離，但不能替代麥克斯韋方程，還需要考慮電場與磁場的聯(lián)系：Maxwell去世10年后德國科學家Hertz通過實驗證實了電磁波的存在。從而也證明了Maxwell的位移電流假設和法拉第定律推廣的正確性波動是電磁場的基本運動形態(tài)33矢量場場線的兩種結(jié)構矢量場結(jié)構的說明有源性

有源性有旋性

有旋性旋度和散度確定一個矢量場，一般矢量場總可以分成無旋場（縱）和無源場（橫）之和

感應電場和磁場是橫場（有旋場）庫侖電場是縱場（有源場）電磁（波）場：34洛倫茲力電磁場對物質(zhì)（電流、電荷）的作用力（密度）：

庫侖定律＋安培定律有限體積物質(zhì)受到的電磁力：對單個帶電粒子，洛倫茲力為：

上述中包含著電荷和電流對電磁場作用

上述公式與速度相關，在相對論情況仍然成立35描述包含粒子、電磁場體系的完整、自洽的動力學方程粒子－電磁場自洽系統(tǒng)（小結(jié)）Maxwell方程組Lorentz力Newton方程＋＋帶電粒子運動Maxwell電磁場對帶電粒子作用LorentzNewton運動規(guī)律

完整：自洽：

但是電磁場與媒質(zhì)中帶電粒子的相互作用關系十分復雜

如何解決？請看下節(jié)！36課堂休息課堂休息（2）

1.3煤質(zhì)的電磁性質(zhì)

＋煤質(zhì)之電/磁特性＋極化電荷/磁化電流＋電位移矢量與磁場強度之引入＋介質(zhì)中Maxwell方程組＋介質(zhì)中唯象處理＋

物性方程三方面的成果：基礎科學領域，技術科學領域，生產(chǎn)應用領域宏觀電磁理論－間或，兼有為三方面之特征，原因之一是介質(zhì)的唯象學說。

有所為，有所不為，有選擇，有分工

介質(zhì)之電特性（絕緣）介質(zhì)的極化微觀圖像

單位體積內(nèi)的等效電偶極矩物理極限，宏觀小，微觀大局域量取向無規(guī)一致極化無極分子體積元有極分子體積元取向趨同＋極化介質(zhì)的電極化強度矢量38束縛電荷密度出現(xiàn)電極化后，介質(zhì)中局域電中性會破壞，出現(xiàn)束縛電荷因電荷守恒，S面內(nèi)將出現(xiàn)相等負電荷，有

束縛電荷是電極化強度矢量之源39束縛電荷討論對非均勻介質(zhì)，，一般存在極化電荷若電場變化，則束縛電荷密度會變化，產(chǎn)生極化電流

均勻介質(zhì)內(nèi)部無極化電荷，僅在有自由電荷處存在極化電荷對均勻介質(zhì)，，

局域量是準微觀量，難以處理，但在很大的范圍內(nèi)，與成比例

場的物理源是電荷和電流，將表達成等效電荷/電流是可行的，方便的

于是，媒質(zhì)的作用可看作是自由空間中等效電荷/電流的電磁場效應40介質(zhì)之磁特性

單位體積內(nèi)的等效磁偶極矩局域量單個分子微體積元微觀分子中電子的（軌道，自旋）運動，分子電流，可以等效成電流環(huán)，具有磁偶極矩取向趨同介質(zhì)的磁極化強度矢量41磁化電流密度出現(xiàn)磁化后，考察任一閉合回路

是繞回路之總電流，可寫成電流密度形式42磁場的物理源是電流，將表達成等效電流是可行的，方便的媒質(zhì)的作用可看作是自由空間中等效電流的磁場效應

電場與磁場

磁偶極子與電偶極子對比模型極化與磁化電偶極子磁偶極子

極化電荷（磁化電流）是自由空間中電（磁）偶極子的集體效應利用電（磁）偶極子的體分布的電（磁）積分表達式，也分別可推導出

在源外，兩各場分布特征相同

43電位移矢量與磁場強度極化電荷、極化電流、磁化電流同樣可以產(chǎn)生電磁場，故介質(zhì)中有：引入兩輔助場量：電位移矢量：磁場強度：整理方程，有44

介質(zhì)中麥克斯韋方程組（1）介質(zhì)中Maxwell方程組為方程中的電流、電荷密度均為傳導電流、自由電荷；此方程實用性強介質(zhì)的電磁效應包含在輔助場量中，不出現(xiàn)在方程組中；輔助場量不是真正的物理實在量；獨立標量方程組數(shù)＝7＋6個，而標量物理量數(shù)＝22個。

方程組是不閉合的，且局域矢量難以處理，怎么辦？注：方程（3）不獨立某一時刻const＝0

，則有（3）

為什么還保留方程（3）？45介質(zhì)中之唯象定律

方法一：進一步建立微觀模型，用統(tǒng)計方法獲得宏觀響應規(guī)律方法二：直接借助實驗，將響應規(guī)律歸納抽象出來介質(zhì)對外電磁場的響應規(guī)律如何？歸結(jié)為、與、的關系.例：〔通過電子的微觀運動方程，可以獲得〕等離子體對角頻率的電磁場的響應規(guī)律為：46線性各向同性介質(zhì)電磁性質(zhì)方程各向同性線性電介質(zhì)實驗規(guī)律：：極化率，：相對介電常數(shù)（電容率），：介電常數(shù)各向同性線性非鐵磁物質(zhì)磁響應規(guī)律：：極化率，：相對磁導率，：磁導率各向同性線性導體中電響應規(guī)律（歐姆定律）：：電導率，：電阻率47

束縛電荷與自由電荷關系

均勻介質(zhì)內(nèi)部無極化電荷，僅在有自由電荷處存在極化電荷極化電荷極性與自由電荷相反，抵消自由電荷產(chǎn)生的電場若在外場方向介質(zhì)是不均勻的，則內(nèi)部產(chǎn)生極化電荷，不同介質(zhì)邊界處一般存在極化電荷

磁化電流與傳導電流有類似的結(jié)論，試證！對各向同性線性介質(zhì)48幾個物理詞匯均勻:物理性質(zhì)不隨空間位置變化各向同性:物理性質(zhì)與方向無關線性:物理量之間的關系是線性函數(shù)非均勻、非線性、非各向同性的“三非”介質(zhì)非線性各向異性非均勻49一般介質(zhì)電磁性質(zhì)方程各向異性線性電介質(zhì)，一般介電常數(shù)為張量：各向異性非線性電介質(zhì)（強場下）：例：磁化等離子體鐵磁介質(zhì)，與一般為非線性關系，而且非單值，兩者之間的關系與過程相關，具有記憶效應。50介質(zhì)中麥克斯韋方程組（2）（小結(jié)）介質(zhì)中Maxwell方程組

方程組的具有完備性和自恰性（后證明）媒質(zhì)的作用表示為物性參數(shù)，它們可通過多種方法來獲得，正演問題

方程中的源函數(shù)均為傳導電流、自由電荷；此方程實用性更強位移電流的新表達式（但實質(zhì)依然是時變的電場）

物性方程組（各向同性線性煤質(zhì)）物性參數(shù)51

麥克斯韋方程組的積分表達式

依次稱為：廣義安培環(huán)路定律、法拉第感應定律、磁通連續(xù)原理和高斯定理；工程技術理論的基本方程。例如式(3)

是磁路理論的KCL一般表達式，式（1）和（2）是（微波）電路中KVL一般表達式。

適合于電磁場數(shù)值分析，而微分形式便宜物理性質(zhì)的研究微分形式的麥克斯韋方程只能用于連續(xù)介質(zhì)的內(nèi)部，對不連續(xù)的邊界不適用。而積分形式的方程對介質(zhì)邊界仍適用（為什么？）

那么邊界上電磁場量的關系如何？請看下節(jié)！52課堂休息課堂休息

課堂休息（3）1.4分界面的邊界（銜接）條件

場法向分量的銜接關系諸物理量法向銜接關系場切向分量的銜接關系諸物理量切向銜接關系

麥克斯韋方程組對應的銜接關系

廣義麥氏方程組，銜接條件的新導出方法場法向分量的銜接關系54由場量閉合曲面的積分方程場量法向分量邊值關系以為例煤質(zhì)1煤質(zhì)2

界面取一閉合柱面，上下面分別

位于介質(zhì)1、2中，且平行于界面,

令厚度諸物理量法向銜接關系

煤質(zhì)1

煤質(zhì)2

界面

定義以介質(zhì)1的法向為正向

在非導電媒質(zhì)分界面上，通常55場切向分量的銜接關系（1）由場量閉合曲線的積分方程場量切向分量邊值關系以為例煤質(zhì)1煤質(zhì)2界面取一閉合回路，上下面分別

位于介質(zhì)1、2中，且平行于界面,

令寬度：若有限，當()左右有限對應的電磁場類型：定態(tài)場（時間連續(xù)）56場切向分量的邊值關系（2）

煤質(zhì)1

煤質(zhì)2

界面綜合有：其中為線電流密度由于的任意性

表面電流一般只考慮平行分量，上面方程對垂直分量不約束或：場量切向分量邊值關系()56諸物理量切向銜接關系

定義以煤質(zhì)1的法向為正向

煤質(zhì)1

煤質(zhì)2

界面

已假定有限在非導電媒質(zhì)分界面上，通常57煤質(zhì)邊界電磁場方程連續(xù)介質(zhì)內(nèi)部電磁場方程子區(qū)域1子區(qū)域2子區(qū)域3子區(qū)域4區(qū)域外邊界區(qū)域內(nèi)邊界任意區(qū)域電磁場方程麥克斯韋方程組對應的銜接關系（小結(jié)）第四講58

廣義麥氏方程組，銜接條件的新導出方法

設場矢量可表示為

源函數(shù)59介質(zhì)1介質(zhì)2

設電磁場量是廣義函數(shù)。利用

麥克斯韋方程組在廣義函數(shù)意義下成立，于是，有利用函數(shù)的奇異性，有確保了麥克斯韋理論的完整性。方法可方便地推廣到…－－情況課堂休息（4）電磁場能量概念的引入能量轉(zhuǎn)換與守恒玻印亭(Poynting)定理導線傳輸電磁能方式諧變電磁場及其方程組復玻印亭定理電路復阻抗的場量表達式

1.5電磁場之能量與能流電磁場能量概念的引入電磁場是一種物質(zhì)形態(tài)，應該具有能量。什么是電磁場能量？

在對電磁場能量一無所知的情況下，我們應堅定這樣的信心：能量守恒！能量一定守恒！能量只能轉(zhuǎn)化不能消失??！考慮一定區(qū)域中電磁場力對其中“自由”荷電物質(zhì)作功，此功將轉(zhuǎn)變成“自由”荷電物質(zhì)的機械能，根據(jù)能量守恒的信念，應該有場對物質(zhì)作功場能量的減少流入?yún)^(qū)域的能量

把場力作功表達成電磁場量，就可能獲得場能量的合理表達式61電磁場能量與能流電磁場能量密度變化率：電磁場能流密度（Poynting矢量）：場對物質(zhì)做功率大?。弘姶殴β拭婷芏确较颍弘姶拍艿牧鲃臃较?2注：僅利用旋度方程組玻印亭(Poynting)定理表達式：解釋：物理意義：區(qū)域內(nèi)減少的電磁功率電磁功率轉(zhuǎn)換為其他功率的度量－焦耳損耗流出區(qū)域內(nèi)的電磁功率能量守恒定律和轉(zhuǎn)換定律在電磁場中的具體表現(xiàn)。電磁場不僅有能量，能量還是流動的，表征了這種特征

玻印亭定理的數(shù)學和物理意義？！63說明當所考慮區(qū)域包含整個空間，則介質(zhì)中，一般只能寫出電磁能密度的增量形式：場對電荷作功＝場能量的減少真空中，電磁場能量密度可以表達為：僅對線性介質(zhì):

介質(zhì)中場的能量包含了電磁場與束縛電荷和磁化電流的相互作用能量，

即極化能:=,、磁化能：如果不考慮介質(zhì)的損耗，此能量是可逆的（見后頁）64純電磁場的能量和能流密度能量密度：能流密度：?場對極化電荷（粒子）作功極化能量（可逆）場對磁化電流(粒子)作功磁化能量（可逆）場對自由粒子作功動能熱能（不可逆）例：導線傳輸電磁能方式(1)65

－負載和導線消耗能量是由外部表面坡印亭流入提供的此時導線的導電率無限大情況，此時導線內(nèi)部坡印亭矢量＝0，而導線外部坡印亭矢量指向負載，可見，負載所消耗的能量是由導線外部空間傳輸?shù)截撦d的，而不是由導線來傳輸?shù)?。注導線外部的電場方向－外法向例：導線傳輸電磁能方式（2）

導線的導電率有限情況，此時磁場的方向不變，導線內(nèi)部和外部電場不為零，于是－－在導線外部流向（指向）負載－－流向（指向）導線，補償導線消耗的能量導線外表面的磁場，和導線內(nèi)外的電場為?電場切向分量連續(xù)66例：導線傳輸電磁能方式（3）

由側(cè)面進入的能流提供導線的歐姆消耗