第七章 正弦穩(wěn)態(tài)分析

第七章正弦穩(wěn)態(tài)分析上海交通大學本科學位課程

2003年9月

在正弦信號激勵下電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是電路理論中的重要課題，這是因為正弦信號比較容易產(chǎn)生和獲得，在科學研究和工程技術(shù)中，許多電氣設(shè)備和儀器都是以正弦波為基本信號的。

根據(jù)富里葉級數(shù)和富里葉積分的數(shù)學理論，周期信號都能夠分解為一系列正弦信號的迭加。利用線性電路的迭加性，可以把正弦穩(wěn)態(tài)分析的方法推廣到非正弦周期信號激勵的線性電路中去。因此也可以說，知道了正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)后，原則上就知道了任何周期信號激勵下的響應(yīng)。正弦量和相量

隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓和電流，稱正弦電壓和正弦電流。y(t)=Amsin(t+)

Am最大值，角頻率，初相位,(-180＜＜180)若正弦量為電流i(t)，則i(t)=Imsin(t+)其中Im是正弦電流最大值，I是正弦電流有效值。

最大值，角頻率，初相位為正弦量的三要素。三要素確定后，正弦量就被唯一確定。

有效值也稱均方根值，即以上情況同樣適合于正弦電壓實驗室的交流電壓表、電流表的表面標尺刻度都是有效值，包括交流電機和電器上的銘牌。有效值正弦量的平均值則是指在一周期內(nèi)其絕對值的平均值，或者說其正半波的平均值。其中Imsint=i(t)為正弦電流，對電壓也同樣適用。平均值有效值大于其平均值根據(jù)歐拉公式當是t的函數(shù)時，正弦量Amsin(t+)可用復(fù)值函數(shù)來表示。其中

是t=0時的復(fù)值常數(shù)，稱相量稱旋轉(zhuǎn)相量，

稱旋轉(zhuǎn)因子相量可表示為

作為復(fù)數(shù)，相量又常用s復(fù)平面上的有向線段表示。這樣的圖稱相量圖。設(shè)且Am1=Am2=Am，1=2同相

1＞2超前

角度落后

角度=90一個相量乘一個j，向逆時針方向旋轉(zhuǎn)90，乘一個-j，向順時針方向旋轉(zhuǎn)90，所以稱90旋轉(zhuǎn)因子旋轉(zhuǎn)相量和正弦量之間的關(guān)系是一一對應(yīng)關(guān)系根據(jù)數(shù)學知識，任意個相同頻率的正弦量的代數(shù)和這些正弦量的任意階導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和，仍然是同頻率的正弦量。因此，相量完全用來表示和反應(yīng)已知頻率下的正弦量。但相量并不等于正弦量，只有旋轉(zhuǎn)相量才和正弦量有一一對應(yīng)關(guān)系。也稱最大值相量。因為最大值與有效值A(chǔ)之間的關(guān)系其中稱有效值相量，且正弦量與相量間屬一種變換，稱相量法變換phj。相量法變換phj為已知正弦量變換成相量。相量法反變換phj-1為已知相量，變換成正弦量。幾個定理定理1若為實數(shù)，Z(t)為任何實變數(shù)t的復(fù)值函數(shù)，則Im[Z(t)]=Im[Z(t)]實數(shù)與復(fù)值函數(shù)相乘后取虛部等于復(fù)值函數(shù)取虛部后與實數(shù)相乘。定理2若Z1(t)

和Z2(t)為任何實變數(shù)t的復(fù)值函數(shù)，則Im[Z1(t)+Z2(t)]=Im[Z1(t)]+Im[Z2(t)]。復(fù)值函數(shù)相加后取虛部等于各復(fù)值函數(shù)取虛部后相加。定理3設(shè)Z為復(fù)數(shù)，其極坐標形式是

取虛部和求導(dǎo)的運算可互換；復(fù)值函數(shù)

對t的導(dǎo)數(shù)等于該函數(shù)與j的乘積。

定理4設(shè)Z1、Z2為復(fù)數(shù),為角頻率。若所有時刻

則Z1=Z2。反之，若Z1=Z2，則在所有時刻

兩角速度相同的旋轉(zhuǎn)相量在所有時刻在虛軸上的投影都相等，則這兩相量相等。

用相量法求微分方程特解其中a0，a1，，an及Am，，均是實數(shù)。方程特解為與輸入同頻率的正弦量。因為其中微分方程特解可表示為

其中按經(jīng)典法，將特解代入原方程，進行一系列的正弦量的微分和繁瑣的三角公式運算?，F(xiàn)在用相量法求特解，即定常數(shù)Ym和。將yp(t)代入原方程

根據(jù)定理1

根據(jù)定理3

根據(jù)定理2

根據(jù)定理4

由此得到代數(shù)方程

所以特解

用相量法求正弦激勵下的微分方程的特解，是原來的微分方程轉(zhuǎn)換成復(fù)數(shù)代數(shù)方程。對一階電路求特解

方法1所以方法2對一階電路方程兩邊取相量法正變換取相量法反變換正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一個具有正弦激勵的線性定常電路，其全響應(yīng)的形式為y(t)=yh(t)+yp(t)。其中yh(t)是齊次解，yp(t)是方程的特解。若電路變量y(t)的所有固有頻率是不同的（也就是特征多項式?jīng)]有多重零點），則有其中si為y的固有頻率，ki是由初始條件確定的積分常數(shù)。

yp(t)作為方程的特解，是一個與輸入同頻率的正弦量，可以用相量法求得。固有頻率si都位于s平面的開左半平面上(不包括虛軸)，所有的esit都是衰減因子，當t→，yh(t)→0。所以y(t)yp(t)=Ymsin(t+)這表明不管電路的初始條件如何，隨著t→，電路響應(yīng)變成與激勵同頻率的正弦量。這樣的電路稱漸近穩(wěn)定電路，這個響應(yīng)稱正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。固有頻率si中有一個或幾個位于s平面的開右半平面上，響應(yīng)中含有增長因子esit，通常說，t→，yh(t)→，電路是不穩(wěn)定的。固有頻率si大部分位于s平面的開左半平面上，有一些落在虛軸上(即一些純虛數(shù)的固有頻率ji)

?位于虛軸上的是多重固有頻率s1=s2=j0,s3=s4=-j0(總以共軛形式出現(xiàn)),則齊次解中必定含有或用余弦表示成k1sin(0t+1)+k2tsin(0t+2)。

顯然，t→，yh(t)→，電路是不穩(wěn)定的。?位于虛軸上的固有頻率是單一的s1=j0，s2=-j0，但輸入信號的角頻率與0重合(即=0),響應(yīng)中將含有ktsin(t+)，電路也是不穩(wěn)定的。

?位于虛軸上的固有頻率是單一的s1=j0，s2=-j0，且輸入信號的角頻率與0不等(即0),齊次解中含有ksin(0t+)，特解可用相量法求得yp(t)=Ymsin(t+)。

當t→時，電路存在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：y(t)=ksin(0t+)+Ymsin(t+)，此時響應(yīng)并不和輸入同頻率，因此也不能成為正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。對于非線性電路或時變電路，即使有穩(wěn)態(tài)解，通常也不是與輸入同頻率的響應(yīng)。因此，對于由單一的正弦輸入的線性定常電路，只有當電路的固有頻率都落在s復(fù)平面的開左半平面上，不論初始條件如何，響應(yīng)將隨著t→而變成與輸入同頻率的正弦量。這響應(yīng)才稱正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，這響應(yīng)可用相量法來求得。值得指出，正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，它與初始條件無關(guān)。正弦穩(wěn)態(tài)分析我們把求解電路對正弦輸入的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為正弦穩(wěn)態(tài)分析。求正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的途徑基爾霍夫定律的相量形式KCL：其中或KVL：其中或電路元件上的電壓、電流關(guān)系的相量表示根據(jù)支路約束(歐姆定律)v(t)=Ri(t)所以這就是電阻R中的電壓、電流的相量關(guān)系。

電壓、電流同相位，說明電壓、電流同時出現(xiàn)最大值。相量圖電阻元件的相量模型

支路約束

所以

因此

相量圖電容元件的相量模型

電容電流最大值是電容電壓最大值的C倍(隨的不同而不同)；電容電流相位超前電壓相位90。具有電阻的量綱,稱為容抗XC,即

因為

所以

電容XC與電容C，頻率f成反比。所以電容元件對高頻電流呈現(xiàn)的容抗很小，而對直流(f=0)所呈現(xiàn)的容抗XC=,可視為開路。因此電容具有隔直作用。支路約束

所以

因此

相量圖電感元件的相量模型

電