《圓柱圓錐圓臺的表面積和體積》同步作業(yè)

《圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積》同步作業(yè)一、選擇題1.如圖所示，圓錐的底面半徑為1，高為eq\r(3)，則該圓錐的表面積為()A．πB．2πC．3πD．4πC解析：設(shè)圓錐的母線長為l，則l＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，所以圓錐的表面積為S＝π×1×(1＋2)＝3π.2．面積為Q的正方形，繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的側(cè)面積為()A．πQB．2πQC．3πQD．4πQB解析：[正方形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的是圓柱，其側(cè)面積為S＝2πrl＝2π·eq\r(Q)·eq\r(Q)＝2πQ.故選B.]3．一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32π，則母線長為()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．8C解析：[圓臺的軸截面如圖，由題意知，l＝eq\f(1,2)(r＋R)，S圓臺側(cè)＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l(xiāng)＝4.]4.若一圓柱與圓錐的高相等,且軸截面面積也相等,那么圓柱與圓錐的體積的比值為() B. C. D.34D解析：設(shè)圓柱底面半徑為R,圓錐底面半徑為r,高都為h,由已知得2Rh=rh,∴r=2R,V柱∶V錐=πR2h∶πr2h=3∶4,故選D.5．在△ABC中，AB＝2，BC＝eq\f(3,2)，∠ABC＝120°，將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的體積是()\f(9,2)π\(zhòng)f(7,2)π\(zhòng)f(5,2)π\(zhòng)f(3,2)πD解析：如圖，△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體是以△ACD為軸截面的圓錐中挖去一個以△ABD為軸截面的圓錐后剩余的部分．因為AB＝2，BC＝eq\f(3,2)，∠ABC＝120°，所以AE＝ABsin60°＝eq\r(3)，BE＝AB·cos60°＝1，CE＝eq\f(5,2).V1＝eq\f(1,3)π·AE2·CE＝eq\f(5π,2)，V2＝eq\f(1,3)π·AE2·BE＝π，所以V＝V1－V2＝eq\f(3,2)π.故選D.二、填空題6．表面積為3π的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為．2解析：[設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，由題意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl(wèi)＝2πr.解得r＝1，即直徑為2.]7.如圖是某幾何體的直觀圖，則這個幾何體的表面積為________，體積為________．7π2π＋eq\f(\r(3),3)π解析：這個幾何體是一個簡單組合體，它的下部是一個圓柱(底面半徑為1，高為2)，它的上部是一個圓錐(底面半徑為1，母線長為2，高為eq\r(3))，所以該幾何體的表面積S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π，體積V＝π×12×2＋eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝2π＋eq\f(\r(3),3)π.8．已知某圓柱的底面周長為12，高為2，矩形ABCD是該圓柱的軸截面，則在此圓柱側(cè)面上，從A到C的路徑中，最短路徑的長度為2eq\r(10)解析：[圓柱的側(cè)面展開圖如圖，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，且矩形的長為12，寬為2，則在此圓柱側(cè)面上從A到C的最短路徑為線段AC，AC＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10)..]三、解答題9.用一張4×8(cm2)的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，求該圓柱的表面積？解析：方法一如圖(1)所示，以矩形8cm的邊長為母線長，把矩形硬紙卷成圓柱側(cè)面，設(shè)OA為底面圓的半徑，此時底面圓的周長為2π·OA＝4，得OA＝eq\f(2,π)，則兩底面面積之和為eq\f(8,π)cm2，又S側(cè)＝32cm2，故此時該圓柱的表面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32＋\f(8,π)))cm2.方法二如圖(2)所示，以矩形4cm的邊長為母線長，把矩形硬紙卷成圓柱側(cè)面，設(shè)OB為底面圓的半徑，此時底面圓的周長為2π·OB＝8，得OB＝eq\f(4,π)，則兩底面面積之和為eq\f(32,π)cm2，又S側(cè)＝32cm2，故此時該圓柱的表面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32＋\f(32,π)))cm2.10．如圖是一個底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6cm，高為20cm的圓錐形鉛錘，且水面高于圓錐頂部，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降多少？[解]因為圓錐形鉛錘的體積為eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2×20＝60π(cm3)，設(shè)水面下降的高度為xcm，則小圓柱的體積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))2x＝100πx.所以有60π＝100πx，解此方程得x＝.故杯里的水將下降cm.[等級過關(guān)練]1．已知圓柱的側(cè)面展開圖矩形面積為S，底面周長為C，它的體積是()\f(C3,4πS) \f(4πS,C3)\f(CS,2π) \f(SC,4π)D解析：[設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ch＝S,C＝2πr))，∴r＝eq\f(C,2π)，h＝eq\f(S,C).∴V＝πr2·h＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2π)))2·eq\f(S,C)＝eq\f(SC,4π).]2．在△ABC中，AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，若△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積是()A．(6＋2eq\r(3))π B．6πC．(9＋2eq\r(3))π D．2eq\r(3)πA解析：△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體是一個大圓錐去掉一個小圓錐，因為AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，所以O(shè)A＝eq\r(3)，AB＝2eq\r(3)，所以所形成的幾何體的表面積是π×eq\r(3)×(2＋2eq\r(3))＝(6＋2eq\r(3))π.3．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是寸．(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸)3解析：[圓臺的軸截面是下底長為12寸，上底長為28寸，高為18寸的等腰梯形，雨水線恰為中位線，故雨水線直徑是20寸，所以降水量為eq\f(\f(π,3)102＋10×6＋62×9,π×142)＝3(寸)．]4．如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個平面所截，剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b.那么圓柱被截后剩下部分的體積是．eq\f(πr2a＋b,2)解析：[采取補體方法，相當(dāng)于一個母線長為a＋b的圓柱截成了兩個體積相等的部分，所以剩下部分的體積V＝eq\f(πr2a＋b,2).]5．如圖，已知一個圓錐的底面半徑與高均為2，且在這個圓錐中有一個高為x的圓柱．求：(1)用x表示此圓柱的側(cè)面積表達式；(2)當(dāng)此圓柱的側(cè)面積最大時，求此圓柱的體積．解析：(1)設(shè)圓柱的半徑為r，圓柱的高為x，則eq\f(r