點集拓?fù)渲v義.1

點集拓?fù)鋵W(xué)主講人：吳洪博精選ppt第一章集合論初步

§1.2關(guān)系,等價關(guān)系§1.1集合§1.3映射§1.4集族及其運算

§1.5可數(shù)集，不可數(shù)集§1.6基數(shù)精選ppt§1.1集合重點:熟悉有關(guān)集合的等式和性質(zhì)難點:有關(guān)集合的有限笛卡爾積的等式和性質(zhì)精選ppt集合一詞，我們在高中階段已經(jīng)接觸過，在那里，集合是指具有某種屬性的對象的全體.在這里，我們?nèi)圆捎脤系倪@種直觀的描述性定義，以后我們還將經(jīng)常遇到像這樣直觀的描述性定義或一些直觀的結(jié)論.雖然這樣做邏輯性差一些，不及公理集合論的嚴(yán)密性，但這樣做卻是我們易于理解和接受的，不致使讀者陷入邏輯困惑之中，從而盡快地進(jìn)入拓樸-學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)程序.精選ppt定義1.1.1對于兩個集合A,B,如果A的每個元素都是集合B的元素,我們稱A包含于B,或B包含A,或A是B的子集,記作.如果，而且存在使得，稱A是B的真子集，記作.如果，同時記作A=B.，稱集合A與集合B相等，精選ppt不含任何元素的集合稱為空集，用符號表示.規(guī)定空集是任意集合的子集.含有有限個元素的集合叫做有限集，不是有限集的集合叫做無限集.精選ppt定義1.1.2給定集合A,B,由A與B的全部元素構(gòu)成的集合叫做A與B的并集,記作.用描述法表示是:.定義1.1.3給定集合A,B,由A和B的公共元素構(gòu)成的集合叫做A與B的交集,記作.用描述法表示就是:而且.精選ppt定義1.1.4給定集合A,B，把由屬于A而不屬于B的元素構(gòu)成的集合叫做A與B的差集,記作.用描述法表示是.而此時可稱B為全集，全集在一個問題中是事先指定的或者是不言自明的.如果,稱為A在B中的補(bǔ)集，記作.精選ppt對于集合之間的運算，有時用圖象表示更直觀一些.在下面的圖1.1.1中，我們用兩個圓分別表示集合A,B，而用陰影部分表示兩個集合運算的結(jié)果.圖1.1.1精選ppt觀察圖1.1.1我們不難得出下面的等式:這樣做的好處在于將并集轉(zhuǎn)化成互不相交的集合并集.該集合等式也可以用定義證明.精選ppt集合中的運算律

設(shè)X是全集，A，B，C是X的子集，則以下運算律成立：(1)交換律

(2)結(jié)合律

(3)零元,單位元

(4)吸收律

精選ppt(5)分配律

(6)冪等律

(7)對合律

(8)對偶律

(9)互補(bǔ)律

精選ppt以上運算定律由定義或作圖不難驗證,我們僅以對偶律的驗證為例,其余讀者自己完成.圖1.1.2精選ppt.圖(a)中陰影部分表示,圖(b)中右斜線表示，左斜線表示.由圖1.1.2可得：.定義1.1.5對給定的非空集合我們把由二元有序?qū)?其中)構(gòu)成的集合叫做X與Y的笛卡用描述法表示是:爾積，記作精選ppt其中x是第一個坐標(biāo),y是第二個坐標(biāo),X稱為第一個坐標(biāo)集,Y稱為第二個坐標(biāo)集.特別地，記為稱為X的二重笛卡爾積.對于有序?qū)暗芽柗e，讀者并不陌生，我們學(xué)過的笛卡爾直角坐標(biāo)系中的點就是有序數(shù)對,因而整個直角坐標(biāo)系平面就是集合R的二重笛卡爾積R2(R表示實數(shù)集合).精選ppt雖然對于任意給定集合,它們的元素不必有序,但我們可以把集合的元素串在一起,這樣就可用線段或直線表示集合.進(jìn)而將集合的笛卡爾積就可用“平面圖形”直觀的表現(xiàn)出來.

例1.1.1設(shè)由下面的圖1.1.3很容易得精選ppt（A-B）×（C-D）圖1.1.3該集合等式也可用定義證明,其過程讀者自己做為練習(xí)完成.精選ppt習(xí)題1.1

1.試判斷下列關(guān)系式的正確與錯誤

的元素.

2.設(shè)都是集合，其中,證明：如果,則

3.設(shè)，即X有個互不相同的元素，X的冪集P(X)有多少個互不相同4.設(shè)，用列舉法給出P(X).5.設(shè)A，B是集合，證明的充要條件是,，的充要條件是.且精選ppt6.設(shè)A，B都是集合,證明:若，則.；7.設(shè)某一個全集已經(jīng)給定，證明②①③若，并且，則④

8.設(shè)A，B，C，D是全集X的子集,試判斷下列命題的正確性.若正確，給出證明，若不正確，給出反例.①②③④

⑤

⑥若，則⑦若，則⑧⑨

⑩

精選ppt，9.設(shè)A，B，C表示集合，試用A，B，C及集合運算符號表示下面集合.，，

精選ppt§1.2關(guān)系,等價關(guān)系

重點：熟悉關(guān)系像，逆關(guān)系，復(fù)合關(guān)系和

等價關(guān)系的性質(zhì)難點：對命題演算知識的欠缺將影響性質(zhì)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性精選ppt定義1.2.1設(shè)X,Y是兩個集合,如果,即R是X的一個子集,則稱R是從X到Y(jié)的與Y的笛卡爾積

一個關(guān)系.

定義1.2.2設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,即.(1)如果,則稱x與y是R相關(guān)的,并且記作xRy;,則稱Y的子集(2)如果

存在使得A的象集,或者稱為集合A的R象,R(X)稱為關(guān)系R的值域;為集合A相對于關(guān)系R而言的象集,或者簡單地稱為集合精選ppt(3)如果,則稱X的子集:存在使得為集合B相對于R稱為關(guān)系R的定義域.的原象集,或者簡單地稱為集合B的原象,或者稱為集合B的R原象,關(guān)系，一個是自身，一個是進(jìn)行簡單地考查.關(guān)系是一個外延十分廣泛的概念.讀者很快便會看到在數(shù)學(xué)學(xué)科中學(xué)過的映射，等價,運算，序等概念都是關(guān)系的特例，這里有兩個特別簡單的從集合X到集合Y的，請讀者自己對它精選ppt定義1.2.3設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,即,這時笛卡爾積的子集:是從集合Y到集合X的一個關(guān)系，我們稱它為關(guān)系R的逆，因此

當(dāng)且僅當(dāng).顯然，若，集合B相對于關(guān)系R-1的象集就是集合B相對于關(guān)系R的原象集.特別地關(guān)系R-1的值域就是關(guān)關(guān)系R的定義域.精選ppt集合定義1.2.4設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,S是從集合Y到集合Z的一個關(guān)系,即存在使得是笛卡爾積.

當(dāng)且僅當(dāng)存在使得因此

顯然，當(dāng)且僅當(dāng)系R與關(guān)系S的復(fù)合,記作的一個子集,即從到的一個關(guān)系,稱此關(guān)系為關(guān)精選ppt定理1.2.1設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,S是從集合Y到集合Z的一個關(guān)系,T是從集合Z到集合U的一個關(guān)系,則(1)

(2)(3)

精選ppt證明：(1)當(dāng)且僅當(dāng),當(dāng)且僅當(dāng),而這當(dāng)且僅當(dāng),這又當(dāng)且僅當(dāng)于是我們證明了.(2)和(3)的證明類似于(1)，可根據(jù)定義直接驗證,請讀者自己完成.精選ppt定理1.2.2設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,S是從A和B,我們有:集合Y到集合Z的一個關(guān)系,則對于X中的任意兩個子集

(1)

(2)

(3)(4)精選ppt，

，

，僅當(dāng)存在或存在，,當(dāng)且僅當(dāng)

.

,

，證明(1)當(dāng)且僅當(dāng)存在使得當(dāng)且僅當(dāng)存在或存在使得當(dāng)且

.

或，當(dāng)且僅當(dāng)于是

我們證明了.(2)設(shè)，則存在使得即存在

，使得因此精選ppt(3)由于當(dāng)且僅當(dāng)存在使得當(dāng)且僅當(dāng)存在使得

(存在使得當(dāng)且僅當(dāng)存在使得.

)，(4)設(shè),即.

因此存在，使得.

此時假設(shè)，由于，因此，

這與

矛盾，因此因此存在

，因此，

精選ppt定義1.2.5設(shè)X是一個集合,從集合X到集合X的一個稱為恒同關(guān)系，或恒同、對角線.記作或.關(guān)系簡稱為集合X中的一個關(guān)系.集合X中的關(guān)系:定義1.2.6設(shè)R是集合X中的一個關(guān)系,如果即對于任意,有,則稱關(guān)系R為自反的;

如果

,即對于任何,如果,則

則稱關(guān)系R為對稱的;

如果,即對于任何精選ppt和不能同時成立,則稱

關(guān)系R為非對稱的;如果,即對于任何,如果

，則，則稱關(guān)系R是傳遞的.定義1.2.7設(shè)R是集合X中的一個等價關(guān)系.集合X中的兩個元素x,y,如果滿足條

件:xRy,則稱x與y是R等價的,

或簡稱等價的;對于每一個

,集合X中的子集稱為x的R等價類或等價類,記作或,并且任何一個

都稱為R等價類的一個代表元素;

精選ppt(1)如果則,因而..由等價類組成的集合

稱為集合X相對于.等價關(guān)系R而言的商集,記作.定理1.2.3設(shè)R是非空集合X中的一個等價關(guān)系,則:(2)對于任意或者，或者證明：設(shè)由于R是自反的，所以，因此因而.精選ppt有(2)對于任意,如果,設(shè),如圖1.2.1,因此必

,又由于R,又由于R是傳遞的,所以.是對稱的,所以精選ppt

對于任何一個有，由上述

以及R的傳.

，由

定義即得.因此證明了遞性可得

同理可證.因此.例1.2.1給出平面上的一個關(guān)系

,的意義是指

和到原點的距離相等,容易驗證～是平面上的一個等價關(guān)系.相對于等價關(guān)系～而言的商集

為，

精選ppt即商集是由單點集和以原點為中心的所有圓周組成的集合.習(xí)題1.2

1.設(shè)，,，，.

試求的值域，R的定義域.2.設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,證明下列條件等價:(1)對于任意，精選ppt(2)對于任意，，.限制定義為

，證明:一個等價關(guān)系的限制仍是等價關(guān)系.3.設(shè)C是X上的一個關(guān)系，

，關(guān)系C在上的4.設(shè)R是集合X中的一個對稱的，傳遞的關(guān)系.證明R是一個等價關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)R的定義域為X.5.設(shè)R1，R2是集合X中的兩個等價關(guān)系，證明仍是集合X中的一個等價關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng).6.實數(shù)集合R中的一個關(guān)系定義為：精選ppt

證明關(guān)系R是實數(shù)集合R上的一個等價關(guān)系，并且

，即給出實數(shù)集R關(guān)于關(guān)系R的商集.給出精選ppt§1.3映射重點：熟悉由映射所誘導(dǎo)的逆關(guān)系得所有性質(zhì)

難點：對映射的逆關(guān)系性質(zhì)的理解精選ppt定義1.3.1

設(shè)f是從集合X到集合Y的一個關(guān)系,即,如果對每一個使得果f滿足：(1)即對存在.使得xfy；那么稱關(guān)系f是從集合X到集合Y的一個映射.(2)設(shè),如果對于有xfy1和xfy2,則y1=y2.,則稱關(guān)系f是從集合X到集合Y的一映射,并且記作換言之，設(shè)

如精選ppt定義1.3.2

設(shè)X和Y是兩個集合,,即使得xfy的是從集合X到集合Y的映射,對每個唯一元素稱為x的象或值,記作f(x)，即y=f(x);（值得注意的是可以沒有原象,也可以有不止一個原象不必是單元素集,有時也記作.x是y的一個原像.對于,如果存在使得xfy(即y是x的象),則稱精選ppt由于映射是滿足一定條件的關(guān)系，因此如果即f是從集合X到集合Y的映射，，則都是有意義的.(1)|存在,使得并稱f(A)為A在映射f下的象.并稱為B在映射f下的原象.(2)(4)f(X)叫映射f的值域.(3)(Y)=X,即映射f的定義域是X.精選ppt(6)f

-1作為Y到X的關(guān)系有定義,但一般說來f

-1不是一個從Y到X的映射.,則關(guān)系f和g的(5)如果Z是一個集合并且復(fù)合作為從X到Z的關(guān)系有定義.定理1.3.1

設(shè)X、Y、Z都是集合，如果f是從集合X到集合Y的映射，g是從集合Y到集合Z的映射，則f和g關(guān)系的復(fù)合是從集合X到集合Z的映射，并且對于任何，有精選ppt證明：第一步驗證復(fù)合關(guān)系是映射.再結(jié)合定理1.2.2(3)得(1)由于，,因此根據(jù)定理1.2.1②得.))(())((1111ZgfZgf----=o因此，.(2)對,設(shè)使得因此，存在,使得由和得由和以及得因此，是從X到Z的映射.精選ppt.如果定理1.3.2

設(shè)和

是兩個集合,，則(2)(3)簡單地說，設(shè)，則保持交，并，差運算.(1)第二步證明,這由定理1.2.2(3)直接可證.精選ppt證明：(1)由于是關(guān)系的逆關(guān)系,因此由定理1.2.2①直接可得(2)由于是關(guān)系,由定理1.2.2②可得,因此,這就證明了因此,因此得,由;又設(shè)得,由)(1Bfx-?精選ppt(3)由于,當(dāng)且僅當(dāng),當(dāng)且僅當(dāng),當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng),因此需要說明兩點：①設(shè)，則f是保并運算.(見定理1.2.2①),但f不必是保交或保差運算;其逆關(guān)系R-1是保并運算(見定理1.2.2①),但R-1不必是保差或保交運算.其中原因留給讀者自己思考.②對于一般關(guān)系精選ppt定義1.3.3

設(shè)X和Y是兩個集合,.如果f(X)=Y，即對任意,存在使得(也就是xfy),則稱f是一個滿射,或者稱f為從X到Y(jié)上的映射;如果對于X中任意互異的兩點x1,x2一定有(換言之,如果,一定有x1=x2).則稱f是一個單射;如果f即是一個單射又是一個滿射,則稱f是一個一一映射.的映射.并且當(dāng)時，稱f是一個取常值如果f(X)是一個單元素集，則稱f是一個常值映射精選ppt根據(jù)下面的定理1.3.3,一一映射又稱為可逆映射.),并且也是一一映射,此外還有如果f是個一一映射，則其逆關(guān)系f--1便是從Y到X的映射(因此可以寫作定理1.3.3設(shè)X和Y是兩個集合,又設(shè).的映射，即證明了Y到X是從由定義1.3.1知是單射，因此有,由于則有x1fy，x2fy，因此使得證明:是一個映射.由于是滿射，因而由定理1.2.1①得,又設(shè)存在精選ppt,因此由定義1.3.1有是滿射.由于f是映射因此是滿射.是單射.若存在使得即,因此由逆關(guān)系定義,由于是映射，因此有.對于任意,設(shè)，由定理1.2.2③有因此有由于是單射,因此有因此對于任意有,這就證明了精選ppt,對于,令,由定理1.2.2③得.因此,由于已證是單映射因此有,亦對任意,因此是滿射;如果f定理1.3.4設(shè)都是集合,如果和都是滿射,則和g都是單射,則也是單射.因此如果f和g都是一一映射，則也是一一映射.證明：結(jié)合定理1.3.1和單射、滿射定義容易證明,本定理,略.精選ppt定義1.3.4

設(shè)X和Y是兩個集合,.映射和如果滿足條件,即:即對于有,則稱映射g是映射f的限制,或稱f是g的擴(kuò)張,記作.特別地,恒同映射在子集A上的限制稱為內(nèi)射.從關(guān)系出發(fā)定義映射的本意使得我們在本書的理論體系中除了“集合”和“元素”不再有任何未定義對象.但是，如果每次定義一個映射都要將映射寫成它的定義域與值域的笛卡爾積的一個子集，畢竟是件不太方便的事，因此在定義映射時仍采用我們習(xí)慣的方法：對定義域中的每一個元素指定值域中的唯一一個元素作為它的象.精選ppt定義1.3.5設(shè)兩個給定集合，從笛卡爾積到它的第i個坐標(biāo)集的投射(或稱第i個投射)定義為對于每一個事實上，第i個投射pi關(guān)系定義便是容易驗證pi是一個滿映射.定義1.3.6設(shè)～是集合X中的一個等價關(guān)系.從集合X到它的商集的自然投射定義為對于每一個這個自然投射用關(guān)系定義便是：精選ppt習(xí)題1.31.設(shè)是一個滿射,關(guān)系定義為：①證明R是X上的一個等價關(guān)系.②證明存在滿射(其中是X關(guān)于R的商集).其中是的簡寫.2.設(shè)X是一個給定集合，定義為稱其為A與B的對稱差.證明集合的對稱差滿足交換群公理,即設(shè)則(1)(2)(3)存在集合-A，使得(4)精選ppt4.設(shè)是兩個集合，,證明下列條件等價:①f是單射.③對于任意).④對于任意3.設(shè)X和Y是兩個集合,,證明①對于任意,而且如果是一個單射,則,而且如果f是一個滿射,則②對于任意,②對于任意精選ppt定義映射,使得對任意有①在什么情況下是滿射？在什么情況下是單射？②設(shè)，寫出集合6.設(shè)是兩個集合，,定義映射,使得對任意