聲波方程正演模擬1復習過程

1聲波方程數(shù)值模擬

――地球物理場論

基礎Ⅰ期末(qīmò)作業(yè)（1）任課教師：宋鵬第一頁，共45頁。2一、地震勘探基本原理

二、波動方程類型(lèixíng)及其局限性

三、數(shù)值算法類型(lèixíng)及其局限性

四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬內(nèi)容提綱第二頁，共45頁。3一、地震(dìzhèn)勘探基本原理＊▽▽▽▽▽xt第三頁，共45頁。4 同相軸為雙曲線，即反射(fǎnshè)波的時距曲線為雙曲線，反射(fǎnshè)波一個同相軸可帶來一個地層的信息。實際地下介質(zhì)非常復雜，所得到的炮集記錄也包含更多的地下信息。實際的炮集記錄見圖1-1和1-2。第四頁，共45頁。5圖1-1陸上(lùshànɡ)某區(qū)實際地震記錄第五頁，共45頁。6圖1-2海上某區(qū)實際地震(dìzhèn)記錄第六頁，共45頁。7廣義的地震反演即是從地震炮集記錄出發(fā)，經(jīng)過復雜的去噪、速度分析以及偏移成像處理等手段(shǒuduàn)得到反映地下的地質(zhì)結構的地震剖面。實際的地震剖面見圖1-3和1-4。第七頁，共45頁。8圖1-3 陸上(lùshànɡ)某區(qū)地震剖面第八頁，共45頁。9圖1-4海上某區(qū)地震(dìzhèn)剖面第九頁，共45頁。10地震波場模擬即地震正演，是指已知模型結構，通過物理或數(shù)值計算的方法模擬該地質(zhì)結構下的地震波的傳播，最終合成地震記錄，也可以認為其是野外數(shù)據(jù)采集過程的室內(nèi)再現(xiàn)。物理模擬花費昂貴，人們(rénmen)一般采用比較經(jīng)濟的數(shù)值模擬技術。地震波場數(shù)值模擬是在給定數(shù)學模型（如彈性波方程，聲波方程等）、震源和地下幾何界面、物性參數(shù)（巖層密度、速度等）情況下，研究彈性波或聲波的傳播規(guī)律。第十頁，共45頁。11 一、地震勘探基本原理

二、波動(bōdòng)方程類型及其局限性

三、數(shù)值算法類型及其局限性

四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬內(nèi)容提綱第十一頁，共45頁。12二、波動(bōdòng)方程類型及其局限性1、聲波(shēnɡbō)方程：一階壓力(yālì)-速度方程組：二階標量聲波方程：第十二頁，共45頁。13二、波動(bōdòng)方程類型及其局限性能夠描述且只能(zhīnénɡ)描述縱波的傳播規(guī)律，包括直達波、反射波、透射波、折射波等，但不能描述轉(zhuǎn)換波傳播規(guī)律。需要的已知條件包括：1）震源函數(shù)2）地層速度(sùdù)/密度3）邊界條件第十三頁，共45頁。142、彈性(tánxìng)波方程：第十四頁，共45頁。15能夠描述縱、橫波的傳播(chuánbō)規(guī)律，包括直達波、反射波、透射波、折射波以及轉(zhuǎn)換波等。需要的已知條件包括：1）震源函數(shù)(hánshù)2）地層速度或根據(jù)方程的類型需要提供的地層的其它彈性參數(shù)3）邊界條件第十五頁，共45頁。163、粘聲波/彈性波方程 前面(qiánmian)討論的是理想彈性介質(zhì)，波在其中傳播時，沒有能量的損耗，介質(zhì)中應力和應變關系嚴格遵循胡克定律（這種理想介質(zhì)稱虎克固體），但波在實際介質(zhì)中傳播時，是有能量損耗的，這就是所謂的彈性波吸收。波在傳播過程中，實際介質(zhì)的不同部位之間會出現(xiàn)某種摩擦力，稱為內(nèi)摩擦力或粘滯力。這種力導致機械能向其他形式能量轉(zhuǎn)換，最終轉(zhuǎn)化為熱能消耗掉。第十六頁，共45頁。17 在地震勘探中，地震波傳播的實際介質(zhì)是十分復雜的。在一定條件下，即震源作用時間短，作用力微小，地球介質(zhì)可以看作完全彈性模型，但隨著地震勘探技術的發(fā)展，勘探精度要求提高，面臨復雜地質(zhì)目標時，要求地震勘探采用更加符合實際的介質(zhì)模型進行研究。粘彈性介質(zhì)模型更符合實際。 但是到目前為止，在地震資料反演處理中應用(yìngyòng)最多的還是聲波方程，彈性波以及粘彈性波方程的應用(yìngyòng)還只是停留在模擬層次上。第十七頁，共45頁。18 一、地震(dìzhèn)勘探基本原理

二、波動方程類型及其局限性

三、數(shù)值算法類型及其局限性

四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬內(nèi)容提綱第十八頁，共45頁。19三、數(shù)值算法(suànfǎ)類型及其優(yōu)缺點地震波波動方程數(shù)值模擬方法主要包括克?；舴蚍e分法、傅里葉變換法、有限元法和有限差分法等?？讼；舴蚍e分法引入射線追蹤過程(guòchéng)，本質(zhì)上是波動方程積分解的一個數(shù)值計算，在某種程度上相當于繞射疊加。該方法計算速度較快，但由于射線追蹤中存在著諸如焦散、多重路徑等問題，故其一般只能適合于較簡單的模型，難以模擬復雜地層的波場信息。第十九頁，共45頁。20傅里葉變換法是利用空間的全部信息對波場函數(shù)進行三角函數(shù)插值，能更加精確地模擬地震波的傳播規(guī)律，同時(tóngshí)，利用快速傅里葉變換(FFT)進行計算，還可以提高運算效率，其主要優(yōu)點是精度高，占用內(nèi)存小，但缺點是計算速度較慢，對模型的適用性差，尤其是不適應于速度橫向變化劇烈的模型。第二十頁，共45頁。21波動方程有限元法的做法是：將變分法用于單元分析，得到單元矩陣，然后將單元矩陣總體求和得到總體矩陣，最后求解總體矩陣得到波動方程的數(shù)值解；其主要優(yōu)點是理論上可適宜于任意地質(zhì)體形態(tài)的模型，保證復雜地層形態(tài)模擬的逼真性，達到很高的計算精度，但有限元法的主要問題(wèntí)是占用內(nèi)存和運算量均較大，不適用于大規(guī)模模擬，因此該方法在地震波勘探中尚未得到廣泛地應用。第二十一頁，共45頁。22相對于上述幾種方法(fāngfǎ)，有限差分法是一種更為快速有效的方法(fāngfǎ)。雖然其精度比不上有限元法，但因其具有計算速度快，占用內(nèi)存較小的優(yōu)點，在地震學界受到廣泛的重視與應用。第二十二頁，共45頁。23 一、地震勘探(kāntàn)基本原理

二、波動方程類型及其局限性

三、數(shù)值算法類型及其局限性

四、聲波方程的有限差分法數(shù)值模擬內(nèi)容提綱第二十三頁，共45頁。24四、聲波方程(fāngchéng)的有限差分法數(shù)值模擬對于二維速度-深度模型，地下介質(zhì)中地震波的傳播規(guī)律可以近似地用聲波方程(fāngchéng)描述：是介質(zhì)在點（x,z）處的縱波(zònɡbō)速度，為描述速度位或者壓力的波場，為震源函數(shù)。(4-1)第二十四頁，共45頁。25空間(kōngjiān)模型網(wǎng)格化（如圖4-1所示）：圖4-1差分(chàfēn)網(wǎng)格劃分示意圖第二十五頁，共45頁。26網(wǎng)格間隔(jiàngé)長度，時間(shíjiān)采樣步長表示(biǎoshì)(i,j)點k時刻的波場值第二十六頁，共45頁。27 時間二階、空間二階差分格式(géshi)推導如下：將在(i,j)點k時刻(shíkè)用Taylor展式展開：(4-2)(4-3)第二十七頁，共45頁。28將上兩式相加，略去(lüèqù)高階小量，整理得(i,j)點k時刻的二階時間微商為：(4-4)第二十八頁，共45頁。29同理可得(i,j)點k時刻的二階空間(kōngjiān)微商分別為：(4-5)(4-6)第二十九頁，共45頁。30這就實現(xiàn)了用網(wǎng)個點波場值的差商代替(dàitì)了偏微分方程的微商，將上三個式子代入(4-1)式中得：(4-7)式中為介質(zhì)速度的空間(kōngjiān)離散值是空間(kōngjiān)離散步長為時間采樣率第三十頁，共45頁。31同理可得空間(kōngjiān)四階精度的差分格式為：第三十一頁，共45頁。32

同理可得時間二階、空間四階精度的聲波(shēnɡbō)方程差分格式為：(4-8)第三十二頁，共45頁。33為震源(zhènyuán)函數(shù)，一般使用一個理論(lǐlùn)的雷克型子波代替，即：為時間(shíjiān)為中心頻率，一般取為20-40HZ為控制頻帶寬度的參數(shù)，一般取2-5確定震源位置第三十三頁，共45頁。344.1穩(wěn)定性條件(tiáojiàn)對于特定的偏微分方程只有特定的幾種有限(yǒuxiàn)差分格式是無條件或有條件穩(wěn)定的，（4-7）、（4-8）式即是已被證明的有條件穩(wěn)定格式，其穩(wěn)定性條件分別為：(4-9)(4-10)第三十四頁，共45頁。354.2頻散關系式同時，在差分計算過程中，如果空間和時間采樣間隔不當，就會導致波形畸變，甚至派生出多個同相軸，這種現(xiàn)象稱為頻散現(xiàn)象。偏微分方程本身沒有頻散，網(wǎng)格(wǎnɡɡé)頻散是由于差分方程近似替代微分方程引起的。當波場按照波動方程所表示的微分方程傳播時，波場的傳播速度就是波動方程中的速度，但當波場按照波動方程離散化后的差分方程傳播時，波場的傳播速度就不再是波動方程中的速度了，而是與波的頻率和波數(shù)有關的函數(shù)，具有不同頻率和波數(shù)的波有不同的傳播速度，因而在傳播過程中會出現(xiàn)頻散，發(fā)生畸變，且隨走時的增加而增加。第三十五頁，共45頁。36Dablain給出了一個能有效減少(jiǎnshǎo)頻散的經(jīng)驗公式為：為Nyquist頻率(pínlǜ)，一般取為主頻的兩倍G為每個波長所占的網(wǎng)格點數(shù)，時間、空間為兩階(liǎnɡjiē)差分的情況G取8，而時間、空間為四階差分的情況G取4。(4-9)第三十六頁，共45頁。37當所給震源函數(shù)、空間(kōngjiān)網(wǎng)格間隔、時間采樣間隔以及地下介質(zhì)的波速滿足穩(wěn)定性條件及頻散關系式時，就可以應用(4-7)式遞推求得所給的速度—深度模型內(nèi)任意時刻、任何采樣點的波場值，并可最終得到一個人工合成的地震記錄。第三十七頁，共45頁。38*4.3 邊界條件在地震波場正演模擬中，必須引入人工邊界來界定計算區(qū)域。人工邊界若不做特殊處理，就會隨著(suízhe)波場的遞推計算在邊界上產(chǎn)生虛假反射波從而擾亂波場，人工邊界的處理是地震波場正演數(shù)值模擬的一個重要課題。本次作業(yè)不涉及邊界條件的使用，可通過增大模型來避免邊界反射干擾，有精力的同學可通過查閱資料獲得(huòdé)解決邊界問題的方法。第三十八頁，共45頁。39本次大作業(yè)的具體要求為：1、應用聲波方程作為正演模擬的波動方程；2、將所提供震源函數(shù)離散后繪圖；3、給定兩個二維速度-深度模型（一個小模型；一個大模型），繪出圖形來；4、對于小模型，整個區(qū)域的速度值可設為常數(shù)，即只有一種介質(zhì)，將震源點放在模型中間(zhōngjiān)，分別記錄兩個時刻的波前快照（即該時刻區(qū)域內(nèi)所有網(wǎng)格點的波場值）。第一時刻為地震波還未傳播到邊界上的某時刻，第二時刻為地震波已經(jīng)傳播到邊界上的某時刻，體會其人工邊界反射；第三十九頁，共45頁。405、對于大模型，定義為水平層狀速度模型（至少兩層）；做兩個實驗，一是將震源點放在區(qū)域表層任一點，記錄下某些時刻的波前快照，體會地震波在兩種介質(zhì)的分界面上傳播規(guī)律；二是合成一個(yīɡè)地震記錄，即記錄下與震源同一深度點的各點所有時刻的波場值，并指出記錄上的同向軸分別對應哪些波？6、要附有實驗報告，格式不固定，