BET比表面積和孔徑學(xué)習(xí)資料

BET比表面積和孔徑孟子二章一詞多義孟子二章一詞多義

/孟子二章一詞多義一、重點(diǎn)詞語得道多助失道寡助【天時(shí)】有利于作戰(zhàn)的天氣、時(shí)令?！镜乩坑欣谧鲬?zhàn)的地理形勢(shì)。【人和】指作戰(zhàn)中的人心所向，內(nèi)部團(tuán)結(jié)。【環(huán)】圍。【兵革】泛指武器裝備。兵，兵器。革，甲衣?！緢?jiān)利】堅(jiān)固鋒利?！竟虈?guó)】鞏固國(guó)防?！颈镏课淦鞯膹?qiáng)大?！卷槨繗w順，服從?！竟省克浴Ｉ趹n患，死于安樂【畎畝】間、田地?！敬笕巍恐卮蟮呢?zé)任，擔(dān)子。【行拂亂其所為】行拂，所行不順?！舅詣?dòng)心忍性】所以，用來【恒】常?！救缓蟆窟@樣以后。【困于心】?jī)?nèi)心優(yōu)困。【作】奮起，指有所作為?！痉摇坑蟹ǘ鹊氖莱??！就饣肌客鈦砬致缘膽n患。二、《〈孟子〉兩章》通假字【親戚湖畔之】“畔”通“叛”，背叛?！驹嫫渌荒堋俊霸蓖ā霸觥?，增加。【困于心衡于慮而后作】“衡”通“橫”，梗塞，指不順?！救雱t無法家拂士】“拂”通“弼”，輔佐。三、一詞多義【之】親戚畔之：代詞，他三里之城：助詞，的寡助之至：動(dòng)詞，到【于】舜發(fā)于畎畝之中：從故天將降大任于是人也：給征于色：在生于憂患：由于，在【而】而后作：承接連詞而死于安樂也：并列連詞【拂】行拂亂其所為（阻撓，違反）拂士（同“弼”，輔佐，輔弼）【以】以天下之所順：憑所以動(dòng)心忍性：用來【發(fā)】發(fā)于畎畝：舉，被任用發(fā)于聲：表現(xiàn)四、古今異義【委而去之】古義：放棄今義：委托【委而去之】古義：離開今義：到【域民不以封疆之界】古義：限制今義：疆域【七里之郭】古義：外城今義：姓氏【池非不深也】古義：護(hù)城河今義：池塘【親戚畔之】古義：內(nèi)親外戚今義：跟自己家庭有婚姻關(guān)系的家庭或它的成員?！舅窗l(fā)于畎畝之中】古義：被任用今義：送出、交付【舉于版筑之間】古義：搗土用的杵今義：建筑、修路【舉于士】古義：獄官）今義：士兵【故天將降大任于是人也】古義：這今義：判斷動(dòng)詞【征于色，發(fā)于聲，而后喻】古義：征驗(yàn)，表現(xiàn)今義：出征【征于色，發(fā)于聲，而后喻】古義：古義──明白，了解；今義：比喻五、詞類活用【威天下不以兵革之利】一般“威”是形容詞為形容詞，這里用作動(dòng)詞，作“威懾”講【必先苦其心志】一般“苦”是形容詞，在此為動(dòng)用法，使……痛苦?！緞谄浣罟恰恳话恪皠凇笔切稳菰~，在此為使動(dòng)用法，使……勞累?！攫I其體膚】一般“餓”是形容詞，在此為使動(dòng)用法，使……饑餓?！究辗ζ渖怼恳话恪翱铡薄胺Α笔切稳菰~，在此為使動(dòng)用法，使……貧困?！拘蟹鱽y其所為】一般“亂”是形容詞，在此為使動(dòng)用法，使……額倒錯(cuò)亂?！舅詣?dòng)心忍性】一般“動(dòng)”是動(dòng)詞，“忍”是形容詞，在此為使動(dòng)用法，使他的心驚動(dòng)，使他的性情堅(jiān)韌起來?！救撕氵^】一般“過”是名詞，在此活用為動(dòng)詞，犯錯(cuò)誤、犯過失【入則無法家拂士、出則無敵國(guó)外患者】一般“入”“出”是動(dòng)詞，在此活用為為名詞，國(guó)內(nèi)、國(guó)外。六、句子解釋１、域民不以封疆之界限制百姓不能只靠劃定的疆域的界限2、故君子有不戰(zhàn)，戰(zhàn)必勝矣所以君子不戰(zhàn)則已，戰(zhàn)就一定能勝利。3、得道多助，失道寡助能施行“仁政”的君主，幫助支持他的人就多，不行“仁政”的君主，支持幫助他的人就少。4、生于憂患，死于安樂在憂患中生存發(fā)展，在安逸享樂中滅亡。5、行拂亂其所為使他做事不順。

《學(xué)奕、兩小兒辯日》教學(xué)設(shè)計(jì)《學(xué)奕、兩小兒辯日》教學(xué)設(shè)計(jì)

/《學(xué)奕、兩小兒辯日》教學(xué)設(shè)計(jì)《學(xué)弈、兩小兒辯日》教學(xué)設(shè)計(jì)第一課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．讀準(zhǔn)每個(gè)字的讀音。2．正確流利地朗讀課文，背誦課文。根據(jù)課后注釋聯(lián)系上下文，了解故事內(nèi)容。3．能從課文中體會(huì)到學(xué)習(xí)必須專心致志、不可三心二意的道理，學(xué)習(xí)孔子實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，體會(huì)學(xué)無止境的道理。一、談話導(dǎo)入，揭示課題1．教師談話：文言文是我國(guó)傳統(tǒng)文化的寶貴遺產(chǎn)，它言簡(jiǎn)意賅，記錄了我國(guó)悠久的歷史，燦爛的文明。不少文言文還揭示了深刻的道理。今天，我們一起學(xué)習(xí)兩篇融知識(shí)性、趣味性與哲理性于一體的文言文。板書課題，齊讀課題。2．成語導(dǎo)入：“專心致志”這個(gè)成語你熟悉嗎？誰能講講它的意思?！皩Ｐ闹轮尽边@個(gè)成語源自《孟子·告子》中的一篇文言文──《學(xué)弈》。（板書：學(xué)弈）介紹孟子資料：孟子（約公元前372―前289）名軻，字子輿。戰(zhàn)國(guó)時(shí)鄒國(guó)（現(xiàn)山東鄒縣）人。我國(guó)古代思想家、教育家。是孔子以后的儒學(xué)大師，被尊稱為“亞圣”，后世將他與孔子合稱為“孔孟”。他肯定人性本來是善的，都具有仁、義、禮、智等天賦道德意識(shí)。提出了“富貴不能淫，貧賤不能移，威武不能屈”等論點(diǎn)。《孟子》是孟子與他的弟子合著的，內(nèi)容包括孟子的政治活動(dòng)、政治學(xué)說、哲學(xué)思想和個(gè)性修養(yǎng)等。3．釋題：“弈”指什么？“學(xué)弈”又是什么意思呢？（“弈”，本來專指下圍棋，“學(xué)弈”就是學(xué)下圍棋?，F(xiàn)在的“對(duì)弈”，就是下棋的意思，但不限于下圍棋。）4．引導(dǎo)學(xué)生就課題質(zhì)疑，及時(shí)歸納整理并板書：（1）誰學(xué)下棋？（2）怎么學(xué)下棋？（3）學(xué)得結(jié)果怎么樣？（4）《學(xué)弈》這個(gè)故事告訴我們一個(gè)什么道理？5．課前同學(xué)們已經(jīng)預(yù)習(xí)了課文，誰能給大家講一講《學(xué)弈》這個(gè)故事？二、初讀課文，讀通句子

1．教師范讀課文，努力做到讀得有聲有色，流暢自如（最好能背誦）。從而感染學(xué)生，激發(fā)其誦讀興趣。

2．讀后學(xué)生評(píng)價(jià)，及時(shí)歸納出朗讀文言文的要點(diǎn)：一是讀的速度要慢，二是停頓要得當(dāng)。老師也可出示原文和停頓符號(hào)，以對(duì)學(xué)生朗讀有所幫助。

3．學(xué)生模仿教師自由練讀，讀通讀順為止。（教師要給學(xué)生充裕的時(shí)間反復(fù)朗讀）

4．同桌互讀課文，互相正誤。

5．教師運(yùn)用多種方式指導(dǎo)學(xué)生朗讀課文，如指名讀、賽讀、齊讀等，直到讀熟為止。弈秋，通國(guó)之／善弈者也。使／弈秋／誨／二人弈，其一人／專心致志，惟／弈秋之為聽；一人／雖／聽之，一心以為／有鴻鵠／將至，思／援弓繳／而射之。雖／與之／俱學(xué)，弗若之矣。為是／其智／弗若與？曰：非／然也。

三、精讀課文，理解文意。

1．學(xué)生對(duì)照文后注釋，自己嘗試弄懂每句話的意思，理解故事的內(nèi)容，遇有困難教師及時(shí)幫助。

2．同桌互相解疑釋惑，合作學(xué)習(xí)，討論每句話的意思，也可向教師請(qǐng)教。教師及時(shí)就文中比較難理解的詞句進(jìn)行指導(dǎo)：如“之”在不同句子里的意思不同；“與”是通假字，同“歟”，表示疑問或反問，跟“嗎”“呢”相同；弗若，不如；為是其智弗若與，在這句話里，“為”應(yīng)讀第四聲；然，這樣。

3．學(xué)生對(duì)照注釋，講解自己對(duì)文中語句的理解，教師及時(shí)講解學(xué)生理解中的難點(diǎn)。

（《學(xué)弈》參考譯文：弈秋是全國(guó)最會(huì)下棋的人。讓弈秋教兩個(gè)人下棋，其中一個(gè)人專心致志，只聽弈秋的教導(dǎo)；而另一個(gè)人雖然在聽著，可是他心里總以為有天鵝要飛過來，想拿弓箭去射它。這樣，雖然他同前一個(gè)人一起學(xué)習(xí)，卻學(xué)得不如前一個(gè)。能說這是他的聰明才智不如前一個(gè)人嗎？我說：不是這樣的。）

4．同桌互相講說故事內(nèi)容。

四、自讀思考，體會(huì)文中道理

教師引導(dǎo)學(xué)生逐一解答就課題提出的問題

1．誰學(xué)下棋？誰是老師？――有兩個(gè)人學(xué)下棋，老師是全國(guó)最善于下棋的弈秋。

2．（這兩個(gè)人）怎么學(xué)下棋？――“其一人專心致志，惟弈秋之為聽”（其中一個(gè)人專心致志，只聽弈秋的教導(dǎo)，注意力十分集中，一心一意）；“一人雖聽之，一心以為有鴻鵠將至，思援弓繳而射之”（而另一個(gè)人雖然在聽著，可是他心里總以為有天鵝要飛過來，想拿弓箭去射它，學(xué)習(xí)時(shí)注意力不集中，三心二意）。

3．學(xué)得結(jié)果怎么樣？“雖與之俱學(xué)，弗若之矣”（雖然后一個(gè)人同前一個(gè)人一起學(xué)習(xí)，卻學(xué)得不如前一個(gè)）。

解答這個(gè)問題后，教師可以追問：是什么原因使“雖與之俱學(xué)，弗若之矣”，（引導(dǎo)學(xué)生理解：兩個(gè)人學(xué)習(xí)結(jié)果不同，并不是因?yàn)樵谥橇ι嫌卸啻蟛顒e，而是他們的學(xué)習(xí)態(tài)度不同――前一個(gè)專心致志，后一個(gè)三心二意。）

4．學(xué)弈這個(gè)故事告訴我們一個(gè)什么道理？（學(xué)習(xí)、做事必須專心致志，不可三心二意。）

五、聯(lián)系生活，深化認(rèn)識(shí)

1．請(qǐng)學(xué)生談?wù)剬W(xué)習(xí)本文的體會(huì)。

（做什么事只有專心致志，一心一意才能成功。）

2．你能聯(lián)系實(shí)際說一說嗎？

（讓學(xué)生聯(lián)系生活、學(xué)習(xí)中的經(jīng)歷充分發(fā)言，認(rèn)識(shí)到不專心產(chǎn)生的不良結(jié)果，增強(qiáng)做事專心致志的意識(shí)。）

六、復(fù)述故事，背誦課文。

1．同桌互相講故事

2．指導(dǎo)學(xué)生背誦課文。

全文注釋如下：

弈秋（人名），通（全）國(guó)之（文言助詞，的）善（擅長(zhǎng)）弈（下棋）者（的人）也（文言助詞）。使（讓）弈秋誨（教）二人弈，其（其中）一人專心致志（集中意志），惟（只）弈秋之（文言助詞，有提起動(dòng)詞性謂語“為”的作用，從而使句中的“弈秋之為”取消了句子的獨(dú)立性，成為了“聽”的狀語。――這一點(diǎn)只對(duì)教師講，之所以提出這個(gè)“之”字，使為了和本文其他“之”字含義相區(qū)別。）為聽，一人雖聽之（他，指代弈秋），一心以為鴻鵠（天鵝）將至（原是生絲繩，這里指系著絲繩射鳥用的箭）（到），思（想）援（拉開）弓（弓箭）繳而射之（它，指鴻鵠），雖與（和）之（他，指代另一個(gè)學(xué)生）俱（一起）學(xué)，弗（不）若（如）之（他）矣（文言助詞）。為（因?yàn)椋┦牵ㄟ@，指這個(gè)人）其（他的）智（智力、智慧）弗若與（文言助詞，同“嗎”）？曰（說）：非（不是）然（這樣）也。

第二課時(shí)

一、復(fù)習(xí)鞏固，導(dǎo)入新課

1、背誦《學(xué)弈》。這個(gè)故事告訴我們一個(gè)什么道理？

2．板書課題：《文言文兩則<兩小兒辯日>》。3．介紹資料：《兩小兒辯日》選自《列子·湯問》，《列子》相傳為列御寇的論集。列御寇，戰(zhàn)國(guó)時(shí)鄭國(guó)人，《列子》共8篇，其中保存了許多民間故事、寓言和神話傳說，如愚公移山，歧路亡羊，杞人憂天等，具有很高的文學(xué)價(jià)值。

4．理解課題，質(zhì)疑問難：（1）看了課題，你知道了些什么？（知道了文中的主人公是兩個(gè)小孩；知道了這篇文章主要是寫兩個(gè)小孩辯日這件事）（2）看了課題你還想知道些什么？（①他們?yōu)槭裁礌?zhēng)辯？②他們各自的觀點(diǎn)是什么？依據(jù)是什么？③他們辯論的結(jié)果是什么？教師及時(shí)板書學(xué)生提出的問題）

二、總結(jié)學(xué)法，明確目標(biāo)

1．回顧學(xué)習(xí)《學(xué)弈》一文的過程，總結(jié)學(xué)習(xí)方法。（1）理解課題，提出問題。

（2）讀準(zhǔn)字詞，讀通課文。

（3）結(jié)合注釋，疏通文意。

（4）解疑釋惑，體會(huì)道理。

（5）復(fù)述故事，熟讀成誦。

2．明確方法，自主學(xué)習(xí)

*讀準(zhǔn)字詞，讀通課文

1）學(xué)生自讀課文，注意語速要慢，適當(dāng)停頓，到讀通順為止，。（2）學(xué)生多種形式朗讀課文，師生及時(shí)評(píng)價(jià)。兩小兒辯日孔子?xùn)|游，見/兩小兒/辯斗，問其故。一兒曰：“我以/日始出時(shí)/去人近，而/日中時(shí)/遠(yuǎn)也?！币粌阂?日初出遠(yuǎn)，而/日中時(shí)/近也。一兒曰：“日初出/大如車蓋，及日中\(zhòng)則如盤盂，此不為/遠(yuǎn)者小/而/近者大乎？”一兒曰：“日初出/滄滄涼涼，及其日中/如探湯，此不為/近者熱/而/遠(yuǎn)者涼乎？”孔子不能決也。兩小兒笑曰：“孰/為汝/多知乎？”孔子?xùn)|游，見兩小兒辯斗（1），問其故（2）。一兒曰："我以（3）日始出時(shí)去（4）人近，而日中（5）時(shí)遠(yuǎn)也。"一兒以日初出遠(yuǎn)，而日中時(shí)近也。一兒曰："日初出大如車蓋（6），及（7）日中，則（8）如盤盂（9），此不為（10）遠(yuǎn)者小而近者大乎？"一兒曰："日初出滄滄涼涼（11），及其日中如探湯（12），此不為近者熱而遠(yuǎn)者涼乎？"孔子不能決（13）也。兩小兒笑曰："孰（14）為汝（15）多知乎？"（1）辯斗：辯論，爭(zhēng)論。（2）故：原因，緣故。（3）以：以為，認(rèn)為。（4）去：離。（5）日中：中午。（6）車蓋：古時(shí)車上的篷蓋，像雨傘一樣，呈圓形。（7）及：到了。（8）則：就。（9）盂：一種裝酒食的敞口器具。（10）為：是。（11）滄滄涼涼：陰陰冷冷，天氣涼爽的樣子。（12）探湯：把手伸到熱水里去。意思是天氣很熱。（13）決：裁決，判斷。（14）孰：誰，哪個(gè)。（15）汝：你。

*結(jié)合注釋，疏通文意

（1）對(duì)照注釋，弄懂詞句，理解故事的內(nèi)容。

（2）同桌互相解疑釋惑，合作學(xué)習(xí)，弄明白每句話的意思。

（3）請(qǐng)學(xué)生參考注釋，用現(xiàn)代口語復(fù)述故事，并根據(jù)學(xué)生復(fù)述的狀況進(jìn)行即時(shí)疏通點(diǎn)撥。

（譯文如下：孔子到東方去游學(xué)，途中看見兩個(gè)小孩在爭(zhēng)論?？鬃釉儐査麄z爭(zhēng)論的原因。一個(gè)小孩說：“我認(rèn)為太陽剛出來時(shí)距離人近，而正午時(shí)距離人遠(yuǎn)?！绷硪粋€(gè)小孩卻認(rèn)為太陽剛出來時(shí)離人遠(yuǎn)，而正午時(shí)離人近。前一個(gè)小孩說：“太陽剛出來時(shí)大得像車上的篷蓋，等到正午時(shí)就像個(gè)盤盂，這不是遠(yuǎn)處的小而近處的大嗎”另一個(gè)小孩說：“太陽剛出來時(shí)清清涼涼，等到正午時(shí)就熱得像把手伸進(jìn)熱水里一樣，這不是近的時(shí)候熱而遠(yuǎn)的時(shí)候涼嗎”孔子聽了，不能判斷誰是誰非。兩個(gè)小孩笑著說：“誰說你知道的事情多呢”）

3．解疑釋惑，體會(huì)道理

（1）兩小兒為什么爭(zhēng)辯？（太陽是遠(yuǎn)是近）

（2）他們各自的觀點(diǎn)是什么？依據(jù)是什么？（①一小兒的觀點(diǎn)是：“我以日始出時(shí)去人近，而日中時(shí)遠(yuǎn)也。”依據(jù)是：“日初出大如車蓋，及日中，則如盤盂，此不為遠(yuǎn)者小而近者大乎？”一個(gè)小孩認(rèn)為太陽早上離人近，中午離人遠(yuǎn)，他是根據(jù)形狀大小來判斷的。②另一小兒的觀點(diǎn)是：以日初出遠(yuǎn)，而日中時(shí)近也。依據(jù)是：“日初出滄滄涼涼，及其日中如探湯，此不為近者熱而遠(yuǎn)者涼乎？”另一個(gè)小孩認(rèn)為太陽早上離人遠(yuǎn)，中午離人近，他是根據(jù)溫度來判斷的。）（3）他們辯論的結(jié)果是什么？（孔子不能決也――孔子也不能判斷誰對(duì)誰錯(cuò)。）

（4）對(duì)兩小兒所持觀點(diǎn)，你同意哪一種為什么（引導(dǎo)學(xué)生積極發(fā)表看法，保護(hù)他們大膽發(fā)表自己見解的積極性。）

（教師適時(shí)補(bǔ)充資料供學(xué)生閱讀：其實(shí)太陽早上和中午離我們的距離是一樣的。①遠(yuǎn)小近大的原因：A、早晨和中午的時(shí)候太陽距離地球的遠(yuǎn)近是一樣的。由于視覺的誤差。同一個(gè)物體，放在比它大的物體群中顯得小，而放在比它小的物體群中則顯得大。同樣的道理，早晨的太陽，從地平線上升起來的背襯是樹木、房屋及遠(yuǎn)山和一小角天空，在這樣的比較下，此時(shí)的太陽就顯得小了。B、同一物體白色比黑色的顯得大些，這種物理現(xiàn)象叫做“光滲作用”。當(dāng)太陽初升的時(shí)候，背景是黑沉沉的天空，太陽顯得明亮；中午時(shí)，背景是萬里藍(lán)天，太陽與其亮度反差不大，就顯得小些。②日初涼、日中熱的原因：A、早晨太陽斜射大地，中午太陽直射大地。在相同的時(shí)間、相待的面積里，直射比斜射熱量高。B、在夜里，太陽照射到地面上的熱度消散了，所以早上感到?jīng)隹?；中午，太陽的熱度照射到地面上，所以感到熱。?/p>

4．學(xué)了這個(gè)有趣的故事，你喜歡故事中的哪個(gè)人物？為什么？

（1）兩小兒聰明可愛，善于動(dòng)腦，對(duì)自己不懂的問題大膽質(zhì)疑，勇于爭(zhēng)辯。

（2）孔子謙虛謹(jǐn)慎、實(shí)事求是,盡管學(xué)識(shí)淵博，可是仍然“知之為知之，不知為不知”，引導(dǎo)體會(huì)學(xué)無止境的道理。

5．復(fù)述故事，熟讀成誦。

（1）分角色朗讀課文。

（2）學(xué)生分組表演故事。（學(xué)生自由選擇使用現(xiàn)代話或使用文言文表演）

（3）學(xué)生背誦課文。

同濟(jì)大學(xué)(高等數(shù)學(xué))_第五章_定積分及其應(yīng)用同濟(jì)大學(xué)(高等數(shù)學(xué))_第五章_定積分及其應(yīng)用

同濟(jì)大學(xué)(高等數(shù)學(xué))_第五章_定積分及其應(yīng)用第五章定積分及其應(yīng)用本章開始討論積分學(xué)中的另一個(gè)基本問題：定積分.首先我們從幾何學(xué)與力學(xué)問題引進(jìn)定積分的定義,之后討論它的性質(zhì)與計(jì)算方法.最后，來討論定積分的應(yīng)用問題.第1節(jié)定積分的概念與性質(zhì)1.1定積分問題舉例曲邊梯形的面積曲邊梯形?設(shè)函數(shù)在區(qū)間上非負(fù)、連續(xù)?由直線及曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形?其中曲線弧稱為曲邊?求曲邊梯形的面積的近似值?將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形?每個(gè)小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積?則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值?具體方法是?在區(qū)間中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)（圖5-1）

把分成個(gè)小區(qū)間

它們的長(zhǎng)度依次為經(jīng)過每一個(gè)分點(diǎn)作平行于軸的直線段?把曲邊梯形分成個(gè)窄曲邊梯形?在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)以為底、為高的窄矩形近似替代第個(gè)窄曲邊梯形，，把這樣得到的個(gè)窄矩形面積之和作為所求曲邊梯形面積的近似值?即

求曲邊梯形的面積的精確值?顯然?分點(diǎn)越多、每個(gè)小曲邊梯形越窄?所求得的曲邊梯形面積的近似值就越接近曲邊梯形面積的精確值?因此?要求曲邊梯形面積的精確值?只需無限地增加分點(diǎn)?使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零?記于是?上述增加分點(diǎn)?使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零?相當(dāng)于令所以曲邊梯形的面積為圖5-11.1.2變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)?已知速度是時(shí)間間隔上的連續(xù)函數(shù)?且計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程?求近似路程?我們把時(shí)間間隔分成個(gè)小的時(shí)間間隔?在每個(gè)小的時(shí)間間隔內(nèi)?物體運(yùn)動(dòng)看成是均速的?其速度近似為物體在時(shí)間間隔內(nèi)某點(diǎn)的速度?物體在時(shí)間間隔內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程近似為把物體在每一小的時(shí)間間隔內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程加起來作為物體在時(shí)間間隔內(nèi)所經(jīng)過的路程的近似值?具體做法是?在時(shí)間間隔內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn)

分成個(gè)小段

各小段時(shí)間的長(zhǎng)依次為

相應(yīng)地?在各段時(shí)間內(nèi)物體經(jīng)過的路程依次為

在時(shí)間間隔上任取一個(gè)時(shí)刻以時(shí)刻的速度來代替上各個(gè)時(shí)刻的速度?得到部分路程的近似值?即

于是這段部分路程的近似值之和就是所求變速直線運(yùn)動(dòng)路程的近似值?即?求精確值?記當(dāng)時(shí)?取上述和式的極限?即得變速直線運(yùn)動(dòng)的路程?

1.2定積分的概念拋開上述問題的具體意義?抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括?就抽象出下述定積分的定義?定義設(shè)函數(shù)在上有界?在中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間

各小段區(qū)間的長(zhǎng)依次為在每個(gè)小區(qū)間上任取一個(gè)點(diǎn)作函數(shù)值與小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積并作出和?記?如果不論對(duì)怎樣分法?也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣取法?只要當(dāng)時(shí)?和S總趨于確定的極限I?這時(shí)我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分?記作?即?其中叫做被積函數(shù)?叫做被積表達(dá)式?x叫做積分變量?a叫做積分下限?b叫做積分上限?叫做積分區(qū)間?根據(jù)定積分的定義?曲邊梯形的面積為?變速直線運(yùn)動(dòng)的路程為?說明?(1)定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)?而與積分變量的記法無關(guān)?即?(2)和通常稱為f(x)的積分和?(3)如果函數(shù)在上的定積分存在?我們就說在區(qū)間上可積?函數(shù)在上滿足什么條件時(shí)?在上可積呢？定理1設(shè)在區(qū)間上連續(xù)?則f(x)在上可積?定理2設(shè)在區(qū)間上有界?且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)?則在上可積?定積分的幾何意義?設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，由曲線及直線所圍成的曲邊梯形的面積記為.由定積分的定義易知道定積分有如下幾何意義：（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，（3）如果在上有時(shí)取正值，有時(shí)取負(fù)值時(shí)，那么以為底邊，以曲線為曲邊的曲邊梯形可分成幾個(gè)部分，使得每一部分都位于軸的上方或下方.這時(shí)定積分在幾何上表示上述這些部分曲邊梯形面積的代數(shù)和，如圖5.3所示，有其中分別是圖5-2中三部分曲邊梯形的面積，它們都是正數(shù).圖5-2例1.利用定義計(jì)算定積分?解把區(qū)間[0?1]分成n等份??分點(diǎn)和小區(qū)間長(zhǎng)度分別為(i?1?2?????n?1)?(i?1?2?????n)?取作積分和?因?yàn)?當(dāng)時(shí)??所以?圖5-3例2用定積分的幾何意義求?解函數(shù)在區(qū)間上的定積分是以為曲邊??以區(qū)間為底的曲邊梯形的面積?因?yàn)橐詾榍??以區(qū)間為底的曲邊梯形是一直角三角形?其底邊長(zhǎng)及高均為1?所以?圖5-4例3利用定積分的幾何意義，證明.證明令，顯然，則由和直線，所圍成的曲邊梯形是單位圓位于軸上方的半圓.如圖5-5所示.因?yàn)閱挝粓A的面積，所以半圓的面積為.由定積分的幾何意義知：.圖5-5????定積分的性質(zhì)兩點(diǎn)規(guī)定?(1)當(dāng)時(shí)??(2)當(dāng)時(shí)??性質(zhì)1函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)即?證明:

?性質(zhì)2被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面即?這是因?yàn)?????????性質(zhì)???如果將積分區(qū)間分成兩部分?則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和?即??這個(gè)性質(zhì)表明定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性?值得注意的是不論的相對(duì)位置如何總有等式成立?例如?當(dāng)時(shí)?由于?于是有?性質(zhì)4如果在區(qū)間上f(x)?1則?性質(zhì)5如果在區(qū)間上f(x)?0?則(a?b)?推論1如果在區(qū)間上f(x)?g(x)則(a?b)?這是因?yàn)間(x)?f(x)?0?從而?所以?推論2(a?b)?這是因?yàn)?|f(x)|?f(x)?|f(x)|???所以?即性質(zhì)6設(shè)M及m分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值?則(a?b)?證明因?yàn)閙?f(x)?M?所以?從而?性質(zhì)7(定積分中值定理)如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)?則在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn)???使下式成立??這個(gè)公式叫做積分中值公式?證明由性質(zhì)6?各項(xiàng)除以得?再由連續(xù)函數(shù)的介值定理?在上至少存在一點(diǎn)??使?于是兩端乘以得中值公式?注意?不論還是?積分中值公式都成立?并且它的幾何意義是:由曲線,直線和軸所圍成曲邊梯形的面積等于區(qū)間上某個(gè)矩形的面積,這個(gè)矩形的底是區(qū)間,矩形的高為區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)處的函數(shù)值，如圖5-6所示.圖5-6習(xí)題5-11.利用定積分的概念計(jì)算下列積分.（1）;（2）().2.說明下列定積分的幾何意義，并指出它們的值.（1）；（2）；（3）；（4）.3.不經(jīng)計(jì)算比較下列定積分的大小（1）與;（2）與;（3）與;（4）與.4.設(shè)為區(qū)間上單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，證明：5.用定積分定義計(jì)算極限微積分基本公式2.1變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設(shè)物體從某定點(diǎn)開始作直線運(yùn)動(dòng)?在時(shí)刻所經(jīng)過的路程為?速度為則在時(shí)間間隔內(nèi)物體所經(jīng)過的路程可表示為及?即?上式表明?速度函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于的原函數(shù)在區(qū)間上的增量?這個(gè)特殊問題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義呢？2.2積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)?并且設(shè)為上的一點(diǎn)??我們把函數(shù)在部分區(qū)間上的定積分稱為積分上限的函數(shù)?它是區(qū)間上的函數(shù)?記為?或?定理1如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)?則函數(shù)在上具有導(dǎo)數(shù)?并且它的導(dǎo)數(shù)為?證明若?取使

?應(yīng)用積分中值定理?有其中在與之間?時(shí)??于是即若?取?則同理可證?若?取?則同理可證?推論如果可導(dǎo)，則更一般的有例1計(jì)算.解==.例2求極限.解因?yàn)?，，所以這個(gè)極限是型的未定式，利用洛必達(dá)法則得====.例3設(shè)在內(nèi)連續(xù)且?證明函數(shù)在內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)?證明??故?按假設(shè)?當(dāng)時(shí)所以??從而這就證明了在內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)?

定理2如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)?則函數(shù)就是在上的一個(gè)原函數(shù)?定理的重要意義?一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的?另一方面初步地揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系?2.3牛頓??萊布尼茨公式定理3如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)?則?此公式稱為牛頓??萊布尼茨公式?也稱為微積分基本公式?證明已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)?又根據(jù)定理2?積分上限函數(shù)也是的一個(gè)原函數(shù)?于是有一常數(shù)?使當(dāng)時(shí)?有，而，所以?當(dāng)時(shí)??所以?即?為了方便起見?可把記成?于是?該公式進(jìn)一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系?例4計(jì)算?解由于是的一個(gè)原函數(shù)?所以?例5計(jì)算?解由于是的一個(gè)原函數(shù)?所以?例6計(jì)算?解?ln1?ln2??ln2?例7求.解====.例8計(jì)算正弦曲線y?sinx在[0??]上與x軸所圍成的平面圖形的面積?解這圖形是曲邊梯形的一個(gè)特例?它的面積??(?1)?(?1)?2?習(xí)題5-21.設(shè)，求；2.設(shè)，求；3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）.4.計(jì)算下列導(dǎo)數(shù)（1）；（2）；（3）.5.求下列極限（1）；（2）.6.計(jì)算下列定積分（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）;（8）;（9）;（10）;（11）;（12）;（13）;（14）;（15）;（16）;（17）;（18）8．設(shè)，求.定積分的計(jì)算3.1定積分的換元積分法定理假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)?函數(shù)滿足條件?(1)(2)在（或）上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)?且其值域不越出?則有?這個(gè)公式叫做定積分的換元公式?證明由假設(shè)知?在區(qū)間上是連續(xù)?因而是可積的?在區(qū)間(或)上也是連續(xù)的?因而是可積的?假設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)?則

另一方面?因?yàn)?所以F[?(t)]是的一個(gè)原函數(shù)?從而

因此?例1求.解令，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是====例2求.解令，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，于是=====.例3計(jì)算(a>0)?解令，則，當(dāng)時(shí)?當(dāng)時(shí)?

?例4計(jì)算?解:令則當(dāng)時(shí)?當(dāng)時(shí)??或?例5計(jì)算?解

?提示??在上在上例6計(jì)算?解令則，當(dāng)時(shí)?當(dāng)時(shí)??例7設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，證明：（1）如果為奇函數(shù)，則；（2）如果為偶函數(shù)，則.證明由定積分的可加性知，對(duì)于定積分，作代換，得===，所以=（1）如果為奇函數(shù)，即，則，于是.（2）如果為偶函數(shù)，即，，于是.例8若在上連續(xù)?證明(1)?(2)?證明(1)令?則?(2)令?則?所以?例9設(shè)函數(shù)?計(jì)算?解設(shè)?則當(dāng)時(shí)?當(dāng)時(shí)??3.2定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)?由得?式兩端在區(qū)間上積分得?或?這就是定積分的分部積分公式?分部積分過程??例10計(jì)算?解?例11計(jì)算?解令?則?例12求.解=====.例13求.解====.例14設(shè)?證明(1)當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)??(2)當(dāng)n為大于1的正奇數(shù)時(shí)??證明

?(n?1)In?2?(n?1)In?由此得???而??因此??3.3定積分的近似計(jì)算雖然牛頓——萊布尼茲公式解決了定積分的計(jì)算問題，但它的使用是有一定局限性的。對(duì)于被積分中的不能用初等函數(shù)表達(dá)的情形或其原函數(shù)雖能用初等函數(shù)表達(dá)但很復(fù)雜的情形，我們就有必要考慮近似計(jì)算的方法。定積分的近似計(jì)算的基本思想是根據(jù)定積分的幾何意義找出求曲邊梯形面積的近似方法。下面介紹三種常用的方法：矩形法、梯形法及拋物線法。3.3.1矩形法用分點(diǎn)將區(qū)間等分成份，每一份長(zhǎng)度為，取小區(qū)間左端點(diǎn)的函數(shù)作為窄矩形的高（圖5-7），則有取小區(qū)間右端點(diǎn)的函數(shù)值作為窄矩形的高，則有以上兩公式稱為矩形法公式。圖5-73.3.2梯形法將積分區(qū)間作等分，分點(diǎn)依次為相應(yīng)的函數(shù)為

曲線上相應(yīng)的點(diǎn)為將曲線的每一段弧用過點(diǎn)（線性函數(shù)）來代替，這使得每個(gè)上的曲邊梯形形成了真正的梯形（圖5-8），其面積為于是各個(gè)小梯形面積之和就是曲邊梯形面積的近似值，即

亦即（2）稱此式為梯形法公式。在實(shí)際應(yīng)用中，我們還需要知道用這個(gè)近似值來代替所求積分時(shí)所產(chǎn)生的誤差，從而有其中圖5-83.3.3拋物線法由梯形法求近似值，當(dāng)為凹曲線時(shí)，它就偏小；當(dāng)為凸曲線時(shí)，它就偏大。如果每段改用與它凸性相接近的拋物線來近似，就可減少上述缺點(diǎn)。下面介紹拋物線法。（圖5-9）將區(qū)間作等分，分點(diǎn)依次為對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為

曲線上相應(yīng)的點(diǎn)為現(xiàn)把區(qū)間上的曲線段用通過三點(diǎn)的拋物線來近似代替，然后求函數(shù)從到的定積分：

將這個(gè)積分相加即得原來所要計(jì)算的定積分的近似值：

即這就是拋物線法公式，也就是辛卜生公式。也有其中可見越大，近似計(jì)算越準(zhǔn)確。一般說來，將積分區(qū)間作同樣數(shù)目等份的情況下，拋物線形公式比梯形公式更精確一些。圖5-9習(xí)題5-31計(jì)算下列定積分（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）.2.利用換元法計(jì)算下列積分（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.3.計(jì)算下列定積分（1）；（2）.4.利用分部積分法計(jì)算下列積分（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）.5.利用奇偶性計(jì)算下列各式（1）;（2）；（3）;（4）.6.若是連續(xù)的奇函數(shù)，證明是偶函數(shù)：若是連續(xù)的偶函數(shù)，證明是奇函數(shù)。7.若在區(qū)間上連續(xù),證明(1)=;(2)=,由此計(jì)算.8.設(shè)在上連續(xù)，證明.9.設(shè)在上連續(xù)，證明：反常積分4.1無窮限的反常積分定義1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)?取?如果極限存在?則稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分?記作?即?這時(shí)也稱反常積分收斂??如果上述極限不存在?函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分就沒有意義?此時(shí)稱反常積分發(fā)散?類似地?設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)?如果極限(a<b)存在?則稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分?記作?即?這時(shí)也稱反常積分收斂??如果上述極限不存在?則稱反常積分發(fā)散?設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)?如果反常積分和都收斂?則稱上述兩個(gè)反常積分的和為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分?記作?即?這時(shí)也稱反常積分收斂?如果上式右端有一個(gè)反常積分發(fā)散?則稱反常積分發(fā)散?反常積分的計(jì)算?如果是的原函數(shù)?則?可采用如下簡(jiǎn)記形式??類似地??例1計(jì)算反常積分?解

?例2計(jì)算反常積分(是常數(shù)?且)?解?提示??例3討論反常積分的斂散性?解當(dāng)時(shí)??當(dāng)時(shí)??當(dāng)時(shí)??因此?當(dāng)時(shí)?此反常積分收斂?其值為?當(dāng)時(shí)?此反常積分發(fā)散?4.2無界函數(shù)的反常積分定義2設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)?而在點(diǎn)的右鄰域內(nèi)無界?取?如果極限存在?則稱此極限為函數(shù)在上的反常積分?仍然記作?即?這時(shí)也稱反常積分收斂?如果上述極限不存在?就稱反常積分發(fā)散?類似地?設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)?而在點(diǎn)的左鄰域內(nèi)無界?取?如果極限存在?則稱此極限為函數(shù)f(x)在[a?b)上的反常積分?仍然記作?即?這時(shí)也稱反常積分收斂?如果上述極限不存在?就稱反常積分發(fā)散?設(shè)函數(shù)在區(qū)間上除點(diǎn)外連續(xù)?而在點(diǎn)的鄰域內(nèi)無界?如果兩個(gè)反常積分與都收斂?則定義否則?就稱反常積分發(fā)散?瑕點(diǎn)?如果函數(shù)在點(diǎn)的任一鄰域內(nèi)都無界?那么點(diǎn)稱為函數(shù)的瑕點(diǎn).反常積分的計(jì)算?如果為的原函數(shù)?為瑕點(diǎn)，則有?可采用如下簡(jiǎn)記形式??類似地?當(dāng)為瑕點(diǎn)時(shí)?有?當(dāng)為瑕點(diǎn)時(shí)??例4計(jì)算反常積分?解因?yàn)?所以點(diǎn)a為被積函數(shù)的瑕點(diǎn)??例5討論反常積分的收斂性?解函數(shù)在區(qū)間上除外連續(xù)?且?由于?即反常積分發(fā)散?所以反常積分發(fā)散?例6討論反常積分的斂散性?解當(dāng)時(shí)??當(dāng)時(shí)??當(dāng)時(shí)??因此?當(dāng)時(shí)?此反常積分收斂?其值為?當(dāng)時(shí)?此反常積分發(fā)散?習(xí)題5-41.下列廣義積分是否收斂？若收斂，則求出其值.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.2.計(jì)算下列反常積分（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.3.證明廣義積分當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散.4.已知，求常數(shù).定積分的應(yīng)用5.1“微元法”回憶曲邊梯形的面積?設(shè)如果說積分?是以為底的曲邊梯形的面積?則積分上限函數(shù)就是以為底的曲邊梯形的面積?而微分表示點(diǎn)處以為寬的小曲邊梯形面積的近似值稱為曲邊梯形的面積元素?（圖5-10）以為底的曲邊梯形的面積就是以面積元素為被積表達(dá)式?以為積分區(qū)間的定積分??一般情況下?為求某一量??先將此量分布在某一區(qū)間上?分布在上的量用函數(shù)表示?再求這一量的元素?設(shè)??然后以為被積表達(dá)式?以為積分區(qū)間求定積分即得?用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法)?圖5-105.2、定積分在幾何上應(yīng)用、平面圖形的面積直角坐標(biāo)情形設(shè)平面圖形由上下兩條曲線與及左右兩條直線與所圍成?則面積元素為??于是平面圖形的面積為?類似地??由左右兩條曲線與及上下兩條直線與所圍成設(shè)平面圖形的面積為?例1計(jì)算拋物線所圍成的圖形的面積?解(1)畫圖??（圖5-11）(2)確定在軸上的投影區(qū)間:?(3)確定上下曲線????(4)計(jì)算積分?圖????例2計(jì)算拋物線與直線所圍成的圖形的面積?解(1)畫圖??（圖5-12）(2)確定在y軸上的投影區(qū)間:[?2?4]?(3)確定左右曲線???(4)計(jì)算積分?圖????例3求橢圓所圍成的圖形的面積?解設(shè)整個(gè)橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍?橢圓在第一象限部分在x軸上的投影區(qū)間為[0?a]?因?yàn)槊娣e元素為ydx?所以?橢圓的參數(shù)方程為:x?acost?y?bsint?于是?圖5-132．極坐標(biāo)情形曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素（圖5-14）?由曲線???(?)及射線???????圍成的圖形稱為曲邊扇形?曲邊扇形的面積元素為?曲邊扇形的面積為?圖????例4.計(jì)算阿基米德螺線??a?(a>0)上相應(yīng)于?從0變到2?的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積?解:?例5.計(jì)算心形線??a(1?cos?)(a>0)所圍成的圖形的面積?解?圖5-15例6.求雙紐線所圍成的圖形的面積?解由對(duì)稱性可知總面積為第一象限面積的四倍（如圖5-16），即

圖5-165.2.2體積旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體?這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸?常見的旋轉(zhuǎn)體?圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體?旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y?f(x)、直線x?a、a?b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體?設(shè)過區(qū)間[a?b]內(nèi)點(diǎn)x且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為V(x)?當(dāng)平面左右平移dx后?體積的增量近似為?V??[f(x)]2dx?于是體積元素為dV??[f(x)]2dx?旋轉(zhuǎn)體的體積為?圖????例7連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h?r)的直線、直線x?h及x軸圍成一個(gè)直角三角形?將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體?計(jì)算這圓錐體的體積?解直角三角形斜邊的直線方程為?所求圓錐體的體積為?圖5-18例8計(jì)算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積?解這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個(gè)橢圓及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體?體積元素為dV??y2dx?于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為?例9計(jì)算由星形線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積?解星形線的參數(shù)方程為，根據(jù)對(duì)稱性可知，旋轉(zhuǎn)體體積為第一象限圖像繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積的2倍圖5-19平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為[a?b]?過點(diǎn)x且垂直于x軸的平面與立體相截?截面面積為A(x)?則體積元素為A(x)dx?立體的體積為?例10一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心?并與底面交成角??計(jì)算這平面截圓柱所得立體的體積?解?取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸?底面上過圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸?那么底圓的方程為x2?y2?R2?立體中過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面是一個(gè)直角三角形?兩個(gè)直角邊分別為及?因而截面積為?于是所求的立體體積為?例11求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積?解取底圓所在的平面為xOy平面?圓心為原點(diǎn)?并使x軸與正劈錐的頂平行?底圓的方程為x2?y2?R2?過x軸上的點(diǎn)x(?R<x<R)作垂直于x軸的平面?截正劈錐體得等腰三角形?這截面的面積為?于是所求正劈錐體的體積為??5.2.3平面曲線的弧長(zhǎng)設(shè)A?B是曲線弧上的兩個(gè)端點(diǎn)?在弧AB上任取分點(diǎn)A?M0?M1?M2?????Mi?1?Mi?????Mn?1?Mn?B?并依次連接相鄰的分點(diǎn)得一內(nèi)接折線?當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無限增加且每個(gè)小段Mi?1Mi都縮向一點(diǎn)時(shí)?如果此折線的長(zhǎng)的極限存在?則稱此極限為曲線弧AB的弧長(zhǎng)?并稱此曲線弧AB是可求長(zhǎng)的?定理光滑曲線弧是可求長(zhǎng)的?1．直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程y?f(x)(a?x?b)給出?其中f(x)在區(qū)間[a?b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)?現(xiàn)在來計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度?取橫坐標(biāo)x為積分變量?它的變化區(qū)間為[a?b]?曲線y?f(x)上相應(yīng)于[a?b]上任一小區(qū)間[x?x?dx]的一段弧的長(zhǎng)度?可以用該曲線在點(diǎn)(x?f(x))處的切線上相應(yīng)的一小段的長(zhǎng)度來近似代替?而切線上這相應(yīng)的小段的長(zhǎng)度為?從而得弧長(zhǎng)元素(即弧微分)?以為被積表達(dá)式?在閉區(qū)間[a?b]上作定積分?便得所求的弧長(zhǎng)為?在曲率一節(jié)中?我們已經(jīng)知道弧微分的表達(dá)式為??這也就是弧長(zhǎng)元素??例12計(jì)算曲線上相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長(zhǎng)度?解??從而弧長(zhǎng)元素?因此?所求弧長(zhǎng)為?例13計(jì)算懸鏈線上介于x??b與x?b之間一段弧的長(zhǎng)度?解??從而弧長(zhǎng)元素為?因此?所求弧長(zhǎng)為?2.參數(shù)方程情形設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x??(t)、y??(t)(??t??)給出?其中?(t)、?(t)在[???]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)?因?yàn)?dx???(t)dt?所以弧長(zhǎng)元素為?所求弧長(zhǎng)為?例14計(jì)算擺線x?a(??sin?)?y?a(1?cos?)的一拱(0???2?)的長(zhǎng)度?解?弧長(zhǎng)元素為?所求弧長(zhǎng)為?8a?極坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程???(?)(?????)給出?其中r(?)在[???]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)?由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得x??(?)cos???y??(?)sin?(?????)?于是得弧長(zhǎng)元素為?從而所求弧長(zhǎng)為?例15求阿基米德螺線??a?(a>0)相應(yīng)于?從0到2?一段的弧長(zhǎng)?解?弧長(zhǎng)元素為?于是所求弧長(zhǎng)為?5.3定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)分析中，我們可以對(duì)經(jīng)濟(jì)函數(shù)進(jìn)行邊際分析和彈性分析，這用到了導(dǎo)數(shù)或微分的知識(shí)。而在實(shí)際問題中往往還涉及到已知邊際函數(shù)或彈性函數(shù)，來求經(jīng)濟(jì)函數(shù)（原函數(shù)）的問題，這就需要利用定積分或者不定積分來完成。下面通過實(shí)例來說明定積分在經(jīng)濟(jì)分析方面的應(yīng)用。5.3.1利用定積分求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)問題在經(jīng)濟(jì)管理中,由邊際函數(shù)求總函數(shù)(即原函數(shù)),一般采用不定積分來解決,或求一個(gè)變上限的定積分。可以求總需求函數(shù),總成本函數(shù),總收入函數(shù)以及總利潤(rùn)函數(shù)。設(shè)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用函數(shù)的邊際函數(shù)為,則有例16生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為,固定成本C(0)=10000,求出生產(chǎn)x個(gè)產(chǎn)品的總成本函數(shù)。解總成本函數(shù)===5.3.2利用定積分由變化率求總量問題如果求總函數(shù)在某個(gè)范圍的改變量,則直接采用定積分來解決。例17已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率為(件/天),求從第5天到第10天產(chǎn)品的總產(chǎn)量。解所求的總產(chǎn)量為(件)5.3.3利用定積分求經(jīng)濟(jì)函數(shù)的最大值和最小值例18設(shè)生產(chǎn)x個(gè)產(chǎn)品的邊際成本C=100+2x,其固定成本為元,產(chǎn)品單價(jià)規(guī)定為500元。假設(shè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品能完全銷售,問生產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn)。解總成本函數(shù)為=總收益函數(shù)為.總利潤(rùn)函數(shù)為.其導(dǎo)數(shù)為,令,得.因?yàn)椋?生產(chǎn)量為200單位時(shí),利潤(rùn)最大。最大利潤(rùn)為(元)。5.3.4??利用定積分計(jì)算資本現(xiàn)值和投資若有一筆收益流的收入率為f(t),假設(shè)連續(xù)收益流以連續(xù)復(fù)利率r計(jì)息,從而總現(xiàn)值y=。例19現(xiàn)對(duì)某企業(yè)給予一筆投資A,經(jīng)測(cè)算,該企業(yè)在T年中可以按每年a元的均勻收入率獲得收入,若年利潤(rùn)為r,試求:(1)該投資的純收入貼現(xiàn)值;(2)收回該筆投資的時(shí)間為多少?解??(1)求投資純收入的貼現(xiàn)值:因收入率為a,年利潤(rùn)為r,故投資后的T年中獲總收入的現(xiàn)值為Y=從而投資所獲得的純收入的貼現(xiàn)值為(2)求收回投資的時(shí)間:收回投資,即為總收入的現(xiàn)值等于投資。由得T=即收回投資的時(shí)間為T=例如,若對(duì)某企業(yè)投資A=800(萬元),年利率為5%,設(shè)在20年中的均勻收入率為a=200(萬元/年),則有投資回收期為=(年)由此可知,該投資在20年內(nèi)可得純利潤(rùn)為1728.2萬元,投資回收期約為4.46年.5.4定積分在物理上的應(yīng)用5.4.1變力沿直線所作的功例20電量為+q的點(diǎn)電荷位于r軸的坐標(biāo)原點(diǎn)O處它所產(chǎn)生的電場(chǎng)力使r軸上的一個(gè)單位正電荷從r=a處移動(dòng)到r=b(a<b)處求電場(chǎng)力對(duì)單位正電荷所作的功??提示:由物理學(xué)知道?在電量為+q的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)中?距離點(diǎn)電荷r處的單位正電荷所受到的電場(chǎng)力的大小為(k是常數(shù))?解在r軸上?當(dāng)單位正電荷從r移動(dòng)到r+dr時(shí)?電場(chǎng)力對(duì)它所作的功近似為?即功元素為?于是所求的功為?例21在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體?在等溫條件下?由于氣體的膨脹?把容器中的一個(gè)活塞(面積為S)從點(diǎn)a處推移到點(diǎn)b處?計(jì)算在移動(dòng)過程中?氣體壓力所作的功?解?取坐標(biāo)系如圖5-20?活塞的位置可以用坐標(biāo)x來表示?由物理學(xué)知道?一定量的氣體在等溫條件下?壓強(qiáng)p與體積V的乘積是常數(shù)k?即pV?k或?在點(diǎn)x處?因?yàn)閂?xS?所以作在活塞上的力為?當(dāng)活塞從x移動(dòng)到x?dx時(shí)?變力所作的功近似為?即功元素為?于是所求的功為?圖5-20例22一圓柱形的貯水桶高為5m?底圓半徑為3m?桶內(nèi)盛滿了水?試問要把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？解?作x軸如圖5-21?取深度x為積分變量?它的變化區(qū)間為[0?5]?相應(yīng)于[0?5]上任小區(qū)間[x?x?dx]的一薄層水的高度為dx?水的比重為9?8kN/m3?因此如x的單位為m?這薄層水的重力為9?8??32dx?這薄層水吸出桶外需作的功近似地為dW?88?2??x?dx?此即功元素?于是所求的功為(kj)?圖5-215.4.2水壓力從物理學(xué)知道?在水深為h處的壓強(qiáng)為p??h?這里?是水的比重?如果有一面積為A的平板水平地放置在水深為h處?那么?平板一側(cè)所受的水壓力為P?p?A?如果這個(gè)平板鉛直放置在水中?那么?由于水深不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)p不相等?所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計(jì)算?例23一個(gè)橫放著的圓柱形水桶?桶內(nèi)盛有半桶水?設(shè)桶的底半徑為R?水的比重為??計(jì)算桶的一個(gè)端面上所受的壓力?解?桶的一個(gè)端面是圓片?與水接觸的是下半圓?取坐標(biāo)系如圖5-22?在水深x處于圓片上取一窄條?其寬為dx?得壓力元素為?所求壓力為?圖5-225.4.3引力從物理學(xué)知道?質(zhì)量分別為m1、m2?相距為r的兩質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為?其中G為引力系數(shù)?引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)連線方向?如果要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力?那么?由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的?且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力的方向也是變化的?就不能用上述公式來計(jì)算?例24設(shè)有一長(zhǎng)度為l、線密度為?的均勻細(xì)直棒?在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M?試計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力?解?取坐標(biāo)系如圖5-23?使棒位于y軸上?質(zhì)點(diǎn)M位于x軸上?棒的中點(diǎn)為原點(diǎn)O?由對(duì)稱性知?引力在垂直方向上的分量為零?所以只需求引力在水平方向的分量?取y為積分變量?它的變化區(qū)間為?在上y點(diǎn)取長(zhǎng)為dy的一小段?其質(zhì)量為?dy?與M相距?于是在水平方向上?引力元素為?引力在水平方向的分量為?圖5-23習(xí)題5-51、求由下列各曲線所圍成的圖形的面積（1）與（兩部分都要計(jì)算）；（2）與直線及；（3），與直線；（4）；（5），.2、求二曲線與所圍公共部分的面積3、求由曲線和它在處的切線以及直線所圍成的圖形的面積和它繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.4、由，，所圍成的圖形，分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)，計(jì)算所得兩旋轉(zhuǎn)體的體積.5、過點(diǎn)拋物線的切線，該切線與上述拋物線及圍成一平面圖形，求此圖形繞旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.6、試求由曲線所圍成的圖形分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積.7、設(shè)把一金屬桿的長(zhǎng)度由拉長(zhǎng)到時(shí)，所需的力等于，其中為常數(shù)，試求將該金屬桿由長(zhǎng)度拉長(zhǎng)到所作的功.8、一矩形閘門垂直立于水中，寬為，高為，問閘門上邊界在水面下多少米時(shí)？它所受的壓力等于上邊界與水面相齊時(shí)所受壓力的兩倍.9、設(shè)一電子設(shè)備出廠價(jià)值為10萬元，并以常數(shù)比率貶值，求其價(jià)值隨時(shí)間t（單位為年）的變化率。若出廠5年末該設(shè)備價(jià)值貶到8萬元，則在出廠20年末它的價(jià)值是多少？第6節(jié)MATLAB軟件應(yīng)用6.1積分的MATLAB命令利用Matlab求解定積分主要分為兩種，符號(hào)積分和數(shù)值積分.符號(hào)積分MATLAB中主要用int進(jìn)行符號(hào)積分R=int(s,v)??%對(duì)符號(hào)表達(dá)式s中指定的符號(hào)變量v計(jì)算不定積分.表達(dá)式R只是表達(dá)式函數(shù)s的一個(gè)原函數(shù),后面沒有帶任意常數(shù)C.R=int(s)????%對(duì)符號(hào)表達(dá)式s中確定的符號(hào)變量計(jì)算不定積分.R=int(s,a,b)?%符號(hào)表達(dá)式s的定積分，a,b分別為積分的上、下限R=int(s,x,a,b)%符號(hào)表達(dá)式s關(guān)于變量x的定積分，a,b分別為積分的上、下限該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分。a和b可以是兩個(gè)具體的數(shù)，也可以是一個(gè)符號(hào)表達(dá)式，還可以是無窮(inf)。當(dāng)函數(shù)f關(guān)于變量x在閉區(qū)間[a,b]上可積時(shí)，函數(shù)返回一個(gè)定積分結(jié)果。當(dāng)a,b中有一個(gè)是inf時(shí)，函數(shù)返回一個(gè)廣義積分。當(dāng)a,b中有一個(gè)符號(hào)表達(dá)式時(shí)，函數(shù)返回一個(gè)符號(hào)函數(shù)。.數(shù)值積分求解定積分的數(shù)值方法基本思想都是將積分區(qū)間分成n個(gè)子區(qū)間，使得定積分問題分解成求和問題。Matlab主要用trapz,dblquad,quad,quadl等進(jìn)行數(shù)值積分?；谧儾介L(zhǎng)辛普生方法，利用quad函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)變步長(zhǎng)，牛頓-柯斯特方法，利用quadl函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)

其中fname是被積函數(shù)名。a和b分別是定積分的下限和上限。tol用來控制積分精度，缺省時(shí)取tol=0.001。trace控制是否展現(xiàn)積分過程，若取非0則展現(xiàn)積分過程，取0則不展現(xiàn)，缺省時(shí)取trace=0。返回參數(shù)I即定積分值，n為被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。trapz(x,y)梯形積分法，x時(shí)表示積分區(qū)間的離散化向量，y是與x同維數(shù)的向量，表示被積函數(shù)，z返回積分值。int是符號(hào)解，無任何誤差，唯一問題是計(jì)算速度；quad是數(shù)值解，有計(jì)算精度限制，優(yōu)點(diǎn)是總是能有一定的速度，即總能在一定時(shí)間內(nèi)給出一個(gè)一定精度的解?？梢杂胔elpint,helptrapz,helpquad等查閱有關(guān)這些命令的詳細(xì)信息6.2MATLAB計(jì)算定積分實(shí)例例1?計(jì)算定積分.如果用符號(hào)積分法命令int計(jì)算積分，輸入MATLAB代碼為：clear;symsx;int(x^4,x,-2,2)結(jié)果為ans=64/5例2（廣義積分）計(jì)算廣義積分輸入MATLAB代碼為：symsx;y=int(exp(sin(x)-x^2/50),-inf,inf);vpa(y,10)結(jié)果為15.86778263。例3求定積分'exp(-x*x)MATLAB代碼為：fun=inline('exp(-x.*x)','x');??%用內(nèi)聯(lián)函數(shù)定義被積函數(shù)fname

Isim=quad(fun,0,1)??%辛普生法

Isim?=

??0.746824180726425

IL=quadl(fun,0,1)???%牛頓－柯特斯法

IL?=

0.746824133988447例4用梯形積分法命令trapz計(jì)算積分MATLAB代碼為：clear;x=-2:0.1:2;y=x.^4;?%積分步長(zhǎng)為0.1trapz(x,y)結(jié)果為ans=12.8533實(shí)際上，積分的精確值為。如果取積分步長(zhǎng)為0.01,MATLAB代碼為：clear;x=-2:0.01:2;y=x.^4;?%積分步長(zhǎng)為0.01trapz(x,y)結(jié)果為ans=12.8005可用不同的步長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，考慮步長(zhǎng)和精度之間的關(guān)系。一般說來,trapz是最基本的數(shù)值積分方法,精度低,適用于數(shù)值函數(shù)和光滑性不好的函數(shù).總習(xí)題5（A）一、選擇題1.設(shè)，則當(dāng)時(shí)，是的（）.(A)等價(jià)無窮小(B)同階但非等價(jià)的無窮小(C)高階無窮小(D)低階無窮小2.設(shè)，，則有（）.(A)N<P<M(B)M<P<N(C)N<M<P(D)P<M<N3.下列式子中，正確的是（）.(A)(B)(C)(D)4.下列廣義積分收斂的是（）.(A)（B）(C)(D)5.設(shè),則極限等于().(A).(B).(C).(D).6.設(shè)，，則（）.（A）在點(diǎn)不連續(xù).（B）在內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)不可導(dǎo).（C）在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足.（D）在內(nèi)可導(dǎo)，但不一定滿足.7.利用定積分的有關(guān)性質(zhì)可以得出定積分（）．（A）. （B）.（C）. （D）.8.已知函數(shù)，則（）．（A）. （B）. （C）. （D）.9.設(shè)，且，則（）．（A）． （B）． （C）． （D）．10.下列廣義積分發(fā)散的是（）．（A）.（B）.（C）.（D）.11.設(shè)函數(shù)連續(xù)，則在下列變上限定積分定義的函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是（）．（A）.（B）.（C）.（D）.12.設(shè),,則（）．（A）（B）（C）（D）13.等于（）．（A）.（B）.（C）.（D）14.設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則方程在區(qū)間內(nèi)的根有（）．（A）0個(gè).（B）1個(gè).（C）2個(gè).（D）無窮多個(gè).15.設(shè)，其中，則在區(qū)間內(nèi)（）．（A）無界.（B）遞減.（C）不連續(xù).（D）連續(xù).二、填空題1..2..3.設(shè)是方程所確定的的函數(shù)，則.4.設(shè)是連續(xù)函數(shù)，，則.5.已知?jiǎng)t.6.設(shè)，則常數(shù).7..8..9.設(shè)，則.10.設(shè)，則.三、計(jì)算題1.； 2.； 3.；4.； 5.； 6.;7.;8.;9.;10..四、綜合題1.證明：.2.設(shè)連續(xù)，,且(為常數(shù)).求，并討論在處的連續(xù)性.3.設(shè)是由拋物線和直線及所圍成的平面區(qū)域；是由拋物線和直線及所圍成的平面區(qū)域，其中.（1）試求繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積；繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積；（2）問當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？并求此最大值.4.設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足.證明存在一點(diǎn)，使得.5.設(shè)在區(qū)間上可微，且滿足條件.試證：存在，使.6.設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，，且對(duì)所有，滿足條件,求.7.設(shè)函數(shù)有導(dǎo)數(shù)，且.證明：.8.設(shè)在上連續(xù)，且滿足.試證：.9.設(shè)過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線曲線的切線，該切線與曲線及軸圍成平面圖形D，（1）求該平面圖形D的面積,（2）求該平面圖形D分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積和.(B)一、選擇題1.（2012、數(shù)學(xué)二）設(shè)則有（A）（B）（C）（D）2.（2011、數(shù)學(xué)二）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）（A）（B）（C）（D）3.（2004、數(shù)學(xué)二）等于（）（A）.（B）.（C）.（D）4.（2009、數(shù)學(xué)三）使不等式成立的的范圍是（A）. （B）.（C）. （D）.5.（2008、數(shù)學(xué)二）曲線方程為函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分（）（A）曲邊梯形ABOD面積. （B）梯形ABOD面積.（C）曲邊三角形面積. （D）三角形面積.6.（2006、數(shù)學(xué)二）設(shè)是奇函數(shù)，除外處處連續(xù)，是其第一類間斷點(diǎn)，則是（A）連續(xù)的奇函數(shù). （B）連續(xù)的偶函數(shù)（C）在間斷的奇函數(shù) （D）在間斷的偶函數(shù). 7.（2004、數(shù)學(xué)二）把時(shí)的無窮小量,,排列起來,使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小,則正確的排列次序是（A）（B）（C）（D）8.（2010、數(shù)學(xué)二）.設(shè)為正整數(shù),則反常積分的收斂性（A）僅與取值有關(guān) （B）僅與取值有關(guān)（C）與取值都有關(guān)（D）與取值都無關(guān)二、填空題1.（2011、數(shù)學(xué)二）曲線的弧長(zhǎng)。2.（2011、數(shù)學(xué)二）設(shè)函數(shù)，則。3.（2010、數(shù)學(xué)二）4.（2009、數(shù)學(xué)二）已知,則5.（2009、數(shù)學(xué)二）6.（2006、數(shù)學(xué)二）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則.7.（2006、數(shù)學(xué)二）廣義積分.8.（2004、數(shù)學(xué)二）_____..9.（2009、數(shù)學(xué)三）設(shè)，則.10.（2005、數(shù)學(xué)二）.11．（2013、數(shù)學(xué)二）設(shè)函數(shù)，則的反函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)．12.（2010、數(shù)學(xué)三）設(shè)可導(dǎo)函數(shù)由方程確定，則______.13．（2010、數(shù)學(xué)三）設(shè)位于曲線下方，軸上方的無界區(qū)域?yàn)?則繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得空間區(qū)域的體積是______.14.（2013、數(shù)學(xué)二）設(shè)封閉曲線L的極坐標(biāo)方程為為參數(shù)，則L所圍成的平面圖形的面積為．15.（2012、數(shù)學(xué)三）曲線，直線及軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積______.16.（2004、數(shù)學(xué)三）設(shè)則_____.三、綜合題1.（2008、數(shù)學(xué)二）求積分.2.（2004、數(shù)學(xué)二）設(shè),(Ⅰ)證明是以為周期的周期函數(shù);(Ⅱ)求的值域3.（2004、數(shù)學(xué)三）4.（2010、數(shù)學(xué)二）(1)比較與的大小,說明理由.(2)記求極限5.（2011、數(shù)學(xué)二）已知函數(shù)，設(shè)，試求的取值范圍。6.（2005、數(shù)學(xué)二）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且，求極限7.（2009、數(shù)學(xué)三）設(shè)是周期為2的連續(xù)函數(shù)，（Ⅰ）證明對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有；（Ⅱ）證明是周期為2的周期函數(shù)．8.（2004、數(shù)學(xué)三）設(shè)在上連續(xù)，且滿足，，證明：.9.（2013，數(shù)學(xué)二）設(shè)D是由曲線，直線及軸所轉(zhuǎn)成的平面圖形，分別是D繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積，若，求的值．10.（2013，數(shù)學(xué)二）設(shè)曲線L的方程為．（1）求L的弧長(zhǎng)．（2）設(shè)D是由曲線L，直線及軸所圍成的平面圖形，求D的形心的橫坐標(biāo)．11.（2012、數(shù)學(xué)二）過點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,又與軸交于點(diǎn),區(qū)域由與直線圍成,求區(qū)域的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.12.（2011、數(shù)學(xué)二）一容器的內(nèi)側(cè)是由圖中曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲線由與連接而成。（

=1\*ROMAN

I

）求容器的容積；（

=2\*ROMAN

II

）若將容器內(nèi)盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功？（長(zhǎng)度單位：，重力加速度為，水的密度為）13.（2010、數(shù)學(xué)二）一個(gè)高為l的柱體形貯油罐，底面是長(zhǎng)軸為2a,短軸為2b的橢圓。現(xiàn)將貯油罐平放，當(dāng)油罐中油面高度為時(shí)，計(jì)算油的質(zhì)量。（長(zhǎng)度單位為m，質(zhì)量單位為kg，油的密度為）14.（2009、數(shù)學(xué)二）設(shè)非負(fù)函數(shù)滿足微分方程，當(dāng)曲線過原點(diǎn)時(shí)，其與直線及圍成平面區(qū)域的面積為2，求繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。15.（2007、數(shù)學(xué)二）設(shè)是位于曲線下方、軸上方的無界區(qū)域.（Ⅰ）求區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積；（Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，最小？并求此最小值.16.（2006、數(shù)學(xué)二）已知曲線L的方程（I）討論L的凹凸性；（II）過點(diǎn)引L的切線，求切點(diǎn)，并寫出切線的方程；（III）求此切線與L（對(duì)應(yīng)于的部分）及x軸所圍成的平面圖形的面積.17.（2004、數(shù)學(xué)二）曲線與直線及圍成一曲邊梯形.該曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體,其體積為,側(cè)面積為,在處的底面積為.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)計(jì)算極限.18.（2004、數(shù)學(xué)二）設(shè)位于第一象限的曲線y=f(x)過點(diǎn)，其上任一點(diǎn)P(x,y)處的法線與y軸的交點(diǎn)為Q，且線段PQ被x軸平分.（1）求曲線y=f(x)的方程；（2）已知曲線y=sinx在上的弧長(zhǎng)為，試用表示曲線y=f(x)的弧長(zhǎng)s.19.（2009、數(shù)學(xué)三）設(shè)曲線，其中是可導(dǎo)函數(shù)，且.已知曲線與直線及所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積值是該曲邊梯形面積值的倍，求該曲線的方程.20.（2008、數(shù)學(xué)二）設(shè)是區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且.對(duì)任意的，直線，曲線以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體.若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)的表達(dá)式.21.（2006、數(shù)學(xué)三）在坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線過點(diǎn)，其上任意點(diǎn)處的切線斜率與直線的斜率之差等于（常數(shù)）。（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）當(dāng)與直線所圍成平面圖形的面積為時(shí)，確定的值。22.（2005、數(shù)學(xué)二）如圖，和分別是和的圖象，過點(diǎn)(0,1)的曲線是一單調(diào)增函數(shù)的圖象.過上任一點(diǎn)M(x,y)分別作垂直于x軸和y軸的直線和.記與所圍圖形的面積為；與所圍圖形的面積為如果總有，求曲線的方程23.（2005、數(shù)學(xué)二）如圖，曲線C的方程為y=f(x)，點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線與分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處的切線，其交點(diǎn)為(2,4).設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分24.（20