數(shù)學(xué)建模概述參考模板范本

22/221數(shù)學(xué)建模概述數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模過(guò)程數(shù)學(xué)建模示例建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟數(shù)學(xué)模型的分類1數(shù)學(xué)模型模型：是我們對(duì)所研究的客觀事物有關(guān)屬性的模擬，它應(yīng)當(dāng)具有事物中使我們感興趣的主要性質(zhì)，模擬不一定是對(duì)實(shí)體的一種仿造，也可以是對(duì)某些基本屬性的抽象。直觀模型：實(shí)物模型，主要追求外觀上的逼真。物理模型：為一定目的根據(jù)相似原理構(gòu)造的模型，不僅可以顯示原型的外形或某些特征，而且可以進(jìn)行模擬試驗(yàn)，間接地研究原型的某些規(guī)律。思維模型，符號(hào)模型，數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：1）近藤次郎（日）的定義：數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)象的特征或本質(zhì)給以數(shù)學(xué)表述的數(shù)學(xué)關(guān)系式。它是模型的一種。2）本德（美）的定義：數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界和為一種特殊目的而作的一個(gè)抽象的簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。3）姜啟源（中）的定義：是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象，為了某個(gè)特定的目的，做出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：是指數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)關(guān)系式、數(shù)學(xué)命題、圖形圖表等，這些基于數(shù)學(xué)思想與方法的數(shù)學(xué)問(wèn)題?？傊?，數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的一種抽象，基于數(shù)學(xué)理論和方法，用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)關(guān)系式、數(shù)學(xué)命題、圖形圖表等來(lái)刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與其內(nèi)在聯(lián)系。古希臘時(shí)期：“數(shù)理是宇宙的基本原理”。文藝復(fù)興時(shí)期：應(yīng)用數(shù)學(xué)來(lái)闡明現(xiàn)象“進(jìn)行嘗試”。微積分法的產(chǎn)生，使得數(shù)學(xué)與世界密切聯(lián)系起來(lái)，用公式、圖表、符號(hào)反映客觀世界越來(lái)越廣泛，越來(lái)越精確。費(fèi)馬（P.Fermal1601-1665）用變分法表示“光沿著所需時(shí)間最短的路徑前進(jìn)”。牛頓（Newton1642-1727）將力學(xué)法則用單純的數(shù)學(xué)式表達(dá)，如，牛頓第二定律：結(jié)合開普勒三定律得出萬(wàn)有引力定律航行問(wèn)題：甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船速、水速各多少？用分別代表船速、水速，可以列出方程解方程組，得答：船速、水速分別為20千米/小時(shí)、5千米小時(shí)。數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息信息2數(shù)學(xué)建模過(guò)程：歸納數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息信息驗(yàn)求證解數(shù)學(xué)模型的解答現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答實(shí)現(xiàn)對(duì)象和數(shù)學(xué)模型的關(guān)系3數(shù)學(xué)建模示例：建模示例之一椅子的穩(wěn)定性問(wèn)題問(wèn)題：將四條腿一樣長(zhǎng)的正方形椅子放在不平的地面上，是否總能設(shè)法使它的四條腿同時(shí)著地，即放穩(wěn)。1假設(shè)1）地面為光滑曲面；2）相對(duì)地面的彎曲程度而言，椅子的腿是足夠長(zhǎng)的；3）只要有一點(diǎn)著地就視為已經(jīng)著地，即將與地面的接觸視為幾何上的點(diǎn)接觸；4）椅子的中心不動(dòng)。2建模分析表示A,C與地面距離之和，表示B,D與地面距離之和，則由三點(diǎn)著地，有不失一般性，設(shè)初始時(shí)：yBBACAxOCDD3數(shù)學(xué)命題：假設(shè)：是的連續(xù)函數(shù)，且對(duì)任意，求證：至少存在，使得4模型求解證明：將椅子轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)角線互換，由可得令由的連續(xù)性，根據(jù)介值定理，在中至少存在一點(diǎn)，使得，即，又，所以，。結(jié)論：能放穩(wěn)。連續(xù)函數(shù)的介值定理思考題1：長(zhǎng)方形的椅子會(huì)有同樣的性質(zhì)嗎？4建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟：方法機(jī)理分析法：以經(jīng)典數(shù)學(xué)為工具，分析其內(nèi)部的機(jī)理規(guī)律。統(tǒng)計(jì)分析法：以隨機(jī)數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到其內(nèi)在的規(guī)律。如：多元統(tǒng)計(jì)分析。系統(tǒng)分析法：對(duì)復(fù)雜性問(wèn)題或主觀性問(wèn)題的研究方法。把定性的思維和結(jié)論用定量的手段表示出來(lái)。如：層次分析法。建模步驟模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型建立模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ头治瞿Ｐ颓蠼饽Ｐ蛻?yīng)用建模步驟1）模型準(zhǔn)備：了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模目的，掌握對(duì)象的各種信息如統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等，弄清實(shí)際對(duì)象的特征。有時(shí)需查資料或到有關(guān)單位了解情況等。2）模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要地合理地簡(jiǎn)化。不同的假設(shè)會(huì)得到不同的模型。如果假設(shè)過(guò)于簡(jiǎn)單可能會(huì)導(dǎo)致模型的失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改或補(bǔ)充假設(shè)，如“四足動(dòng)物的體重問(wèn)題”；如果假設(shè)過(guò)于詳細(xì)，試圖把復(fù)雜的實(shí)際現(xiàn)象的各個(gè)因素都考慮進(jìn)去，可能會(huì)陷入困境，無(wú)法進(jìn)行下一步工作。分清問(wèn)題的主要方面和次要方面，抓主要因素，盡量將問(wèn)題均勻化、線性化。3）模型建立：分清變量類型，恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)工具；抓住問(wèn)題的本質(zhì)，簡(jiǎn)化變量之間的關(guān)系；要有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理，模型本身要正確；要有足夠的精確度。4）模型求解：可以包括解方程、畫圖形、證明定理以及邏輯運(yùn)算等。會(huì)用到傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，計(jì)算機(jī)技術(shù)（編程或軟件包）。特別地近似計(jì)算方法（泰勒級(jí)數(shù)，三角級(jí)數(shù)，二項(xiàng)式展開、代數(shù)近似、有效數(shù)字等）。5）模型分析：結(jié)果分析、數(shù)據(jù)分析。變量之間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)；最優(yōu)決策控制。6）模型檢驗(yàn)：把模型分析的結(jié)果“翻譯”回到實(shí)際對(duì)象中，用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m應(yīng)性檢驗(yàn)結(jié)果有三種情況：符合好，不好，階段性和部分性符合好。7）模型應(yīng)用：應(yīng)用中可能發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，需繼續(xù)完善。5模型的分類：按變量的性質(zhì)分：離散模型確定性模型線性模型單變量模型連續(xù)模型隨機(jī)性模型非線性模型多變量模型2）按時(shí)間變化對(duì)模型的影響分：靜態(tài)模型參數(shù)定常模型動(dòng)態(tài)模型參數(shù)時(shí)變模型3）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分：人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、生物數(shù)學(xué)模型、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型、地質(zhì)數(shù)學(xué)模型、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型、數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)模型等。4）按建立模型的數(shù)學(xué)方法（或所屬數(shù)學(xué)分支）分：初等模型、幾何模型、線性代數(shù)模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、運(yùn)籌學(xué)模型等。5）按建模目的分：描述性模型、分析模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。6）按對(duì)模型結(jié)構(gòu)的了解程度分：白箱模型：其內(nèi)在機(jī)理相當(dāng)清楚的學(xué)科問(wèn)題，包括力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等?；蚁淠Ｐ停浩鋬?nèi)在機(jī)理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問(wèn)題，包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟(jì)、交通等。黑箱模型：其內(nèi)在機(jī)理（數(shù)量關(guān)系）很不清楚的現(xiàn)象，如生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等。建模示例之二四足動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重問(wèn)題問(wèn)題：四足動(dòng)物的軀干（不包括頭尾）的長(zhǎng)度和它的體重有什么關(guān)系？假設(shè)：四足動(dòng)物的軀干為圓柱體，質(zhì)量為，長(zhǎng)度為,斷面面積為，直徑為。建模：，重量：,實(shí)際中，根據(jù)動(dòng)物進(jìn)化，不同種類的動(dòng)物其截面積與長(zhǎng)度之比可視為常數(shù)，即所以，得出：重量與長(zhǎng)度的平方成正比。即注意：這個(gè)公式要在實(shí)際中檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可作為經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)應(yīng)用，否則要重新建立和完善模型。事實(shí)上，與實(shí)際吻合不好。假設(shè)：四足動(dòng)物軀干為一根支撐在四肢上的彈性梁。為下垂度，即梁的最大彎曲度。由彈性理論:因?yàn)榧礊橄鄬?duì)下垂度，其值太大，四肢無(wú)法支撐；其值過(guò)小，四肢的材料和尺寸超過(guò)了支撐身體的需要，是一種浪費(fèi)。因此，從生物角度可以認(rèn)為，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期進(jìn)化，對(duì)于每一種動(dòng)物，已達(dá)到其合適的數(shù)值，即是一個(gè)常數(shù)（不同種類的動(dòng)物此值不盡相同），于是而，所以，結(jié)論：，可以由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)找出。此公式比較符合于實(shí)際，可在實(shí)際中推廣使用。討論與思考討論題1大小包裝問(wèn)題在超市購(gòu)物時(shí)你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象嗎？比如潔銀牙膏50g裝的每支1.50元，120g裝的每支3.00元，二者單位重量的價(jià)格比是1.2:1，試用比例方法構(gòu)造模型解釋這種現(xiàn)象。（1）分析商品價(jià)格C與商品重量w的關(guān)系。（2）給出單位重量?jī)r(jià)格c與w的關(guān)系，并解釋其實(shí)際意義。提示：決定商品價(jià)格的主要因素：生產(chǎn)成本、包裝成本、其他成本。單價(jià)隨重量增加而減少單價(jià)的減少隨重量增加逐漸降低建模示例之三安全渡河問(wèn)題人狗雞米過(guò)河問(wèn)題問(wèn)題：三名商人各帶一名隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由他們自己劃行。隨從們密約，在河的任一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨。但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中。商人們?cè)鯓硬拍馨踩珊幽兀?見教材)二初等模型1席位分配問(wèn)題2觀眾廳地面設(shè)計(jì)1問(wèn)題的提出在影視廳或報(bào)告廳，經(jīng)常會(huì)為前邊觀眾遮擋住自己的視線而苦惱。顯然，場(chǎng)內(nèi)的觀眾都在朝臺(tái)上看，如果場(chǎng)內(nèi)地面不做成前低后高的坡度，那么前邊觀眾必然會(huì)遮擋后面觀眾的視線。試建立數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)良好的報(bào)告廳地面坡度曲線。2問(wèn)題的假設(shè)觀眾廳地面的縱剖面圖一致，只需求中軸線上地面的起伏曲線即可。同一排的座位在同一等高線上。每個(gè)坐在座位上的觀眾的眼睛與地面的距離相等。每個(gè)坐在座位上的觀眾的頭與地面的距離也相等。所求曲線只要使觀眾的視線從緊鄰的前一個(gè)座位的人的頭頂擦過(guò)即可。建立坐標(biāo)系 o—處在臺(tái)上的設(shè)計(jì)視點(diǎn)ya—第一排觀眾與設(shè)計(jì)視點(diǎn)的水平距離b—第一排觀眾到x軸的垂直距離d—相鄰兩排的排距b—視線升高標(biāo)準(zhǔn)x—表示任一排與設(shè)計(jì)視點(diǎn)的水平距離oaddx問(wèn)題求任一排x與設(shè)計(jì)視點(diǎn)o的豎直距離函數(shù),使此曲線滿足視線的無(wú)遮擋要求。3建模設(shè)眼睛升起曲線應(yīng)滿足微分方程,初始條件,從第一排起，觀眾眼睛與o點(diǎn)的連線的y斜率隨排數(shù)的增加而增加，而眼睛升起曲線顯然與這些直線皆相交，故此升起曲線是凹的。boaddx2）選擇某排和相鄰排yNABoax相似于,,,再計(jì)算, 相似于,，，4模型求解微分不等式（比較定理）設(shè)函數(shù)定義在某個(gè)區(qū)域上，且滿足1）在D上滿足存在唯一性定理的條件；2）在D上由不等式，則初值問(wèn)題與的解在它們共同存在區(qū)間上滿足，。，，，所求曲線的近似曲線方程（折衷法）折衷法y總結(jié)與討論方法利用微分不等式建模；有時(shí)只需求近似解。oaddx模型討論1）視點(diǎn)移動(dòng)時(shí)升起曲線如何求得？2）怎樣減少地面的坡度？調(diào)整參數(shù)、相鄰排錯(cuò)位。3）衡量經(jīng)濟(jì)的指標(biāo)？座位盡量多、升起曲線占據(jù)的空間盡量少等。3棋子顏色的變化問(wèn)題4跑步問(wèn)題三線性代數(shù)模型線性代數(shù)模型有些復(fù)雜問(wèn)題，往往給人以變幻莫測(cè)的感覺，難以掌握其中的奧妙。當(dāng)我們把思維擴(kuò)展到線性空間，利用線性代數(shù)的基本知識(shí)建立模型，就可以掌握事物的內(nèi)在規(guī)律，預(yù)測(cè)其發(fā)展趨勢(shì)。1Durer魔方德國(guó)著名的藝術(shù)家AlbrechtDurer(1471--1521)于1514年曾鑄造了一枚名為“MelencotiaI”的銅幣。令人奇怪的是在這枚銅幣的畫面上充滿了數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)數(shù)字和幾何圖形。這里我們僅研究銅幣右上角的數(shù)字問(wèn)題。1）Durer魔方特點(diǎn)：每行之和、每列之和、對(duì)角線之和、四個(gè)小方塊之和、中心方塊之和都相等，為確定的數(shù)34。四角之和、中間對(duì)邊之和均為34。所出現(xiàn)的數(shù)是1至16的自然數(shù)。最下邊一行中心數(shù)為1514，正是制幣的時(shí)間。問(wèn)題：是否還存在具有這些（或部分）性質(zhì)的魔方？1632135101189671241514110801001501401105040702016090120130306006118910601509119960711891070160911997定義：如果4×4數(shù)字方，它的每一行、每一列、每一對(duì)角線及每個(gè)小方塊上的數(shù)字之和都為一確定的數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)字方為Durer魔方。R=C=D=S你想構(gòu)造Durer魔方嗎？如何構(gòu)成所有的Durer魔方？Durer魔方有多少？2）Durer魔方的生成集所有的Durer魔方的集合為D00000000000000001111111111111111O=E=R=C=D=S=0R=C=D=S=4a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44b11b12b13b14b21b22b23b24b31b32b33b34b41b42b43b44A=B=類似于矩陣的加法和數(shù)乘，定義魔方的加法和數(shù)乘。易驗(yàn)證，D加法和數(shù)乘封閉，且構(gòu)成一線性空間。記M={所有的4×4數(shù)字方}，則其維數(shù)為16。而D是M的子集，則D是有限維的線性空間。根據(jù)線性空間的性質(zhì)，如果能得到D的一組基，則任一個(gè)Durer方均可由這組基線性表示。由0,1數(shù)字組合，構(gòu)造所有的R=C=D=S=1的魔方。共有8個(gè)，記為Qi,i=1,2,…,8。10000010000101001000000101000010Q1=Q2=00011000001001000001010010000010Q3=Q4=00101000010000010100001010000001Q5=Q6=00100100000110000100000100101000Q7=Q8=易知,,則線性相關(guān)。而由

0000000000000000=線性無(wú)關(guān)。任一Durer方可由它們線性表示。結(jié)論：1.Durer方有無(wú)窮多個(gè)。2.Durer方可由線性組合得到。AlbrechtDurer的數(shù)字方的構(gòu)成：

16321351011896712415141=3Durer方的應(yīng)用推廣（1）要求數(shù)字方的所有數(shù)字都相等。，基為，1維空間。（2）要求行和、列和、每條主對(duì)角線及付對(duì)角線數(shù)字和都相等。B5維空間基為,,,例，R=C=H=N=46，H主對(duì)角線，N付對(duì)角線數(shù)字和。（3）要求行和、列和及兩條對(duì)角線數(shù)字和相等。8維空間Q，基為，D是Q的7維子空間。例，R=C=H=N=30（4）要求行和、列和數(shù)字相等。10維空間W?；鶠?，，（5）對(duì)數(shù)字沒有任何要求的數(shù)字方。16維空間M。空間維數(shù)015781016思考：能否構(gòu)造出其他維數(shù)的數(shù)字方？練習(xí)：完成下面的Durer方R=C=D=S=3067985976

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11R=C=D=S=100作業(yè)：構(gòu)造你自己認(rèn)為有意義的Durer方。2植物基因的分布設(shè)一農(nóng)業(yè)研究所植物園中某植物的的基因型為AA、Aa和aa。研究所計(jì)劃采用AA型的植物與每一種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。問(wèn)經(jīng)過(guò)若干年后，這種植物的任意一代的三種基因型分布如何？1建模準(zhǔn)備植物遺傳規(guī)律？動(dòng)植物都會(huì)將本身的特征遺傳給后代，這主要是因?yàn)楹蟠^承了雙親的基因，形成了自己的基因?qū)?，基因?qū)痛_定了后代所表現(xiàn)的特征。常染色體遺傳的規(guī)律：后代是從每個(gè)親體的基因?qū)χ袀€(gè)繼承一個(gè)基因，形成自己的基因?qū)?，即基因型。如果考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因A、a控制的，那末就有三種基因?qū)?，記為AA、Aa和aa。如：金魚草花的顏色是由兩個(gè)遺傳因子決定的，基因型為AA的金魚草開紅花，Aa型的開粉紅花，而aa型的開白花。人類眼睛的顏色也是通過(guò)常染色體來(lái)控制的。基因型為AA，或Aa型的人眼睛顏色為棕色，而aa型的人眼睛顏色為藍(lán)色。這里AA，Aa表示同一外部特征，我們認(rèn)為基因A支配基因a，即基因a對(duì)A來(lái)說(shuō)是隱性的。2假設(shè)假設(shè)1.分別表示第n代植物中基因型為AA,Aa,aa的植物占植物總數(shù)的百分率。，第n代植物的基因型分布為表示植物基因型初始分布。雙親體結(jié)合形成后代的基因型概率矩陣父體-母體的基因?qū)A-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aa后代基因?qū)A11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21假設(shè)2.植物中基因型第n-1代分布與第n代分布的關(guān)系由上表確定。父體-母體的基因?qū)A-AAAA-AaAA-aa后代基因?qū)A11/20Aa01/21aa0003建模4求解模型，關(guān)鍵計(jì)算，。特征值為1，1/2，0，M可對(duì)角化，即可求出可逆對(duì)角矩陣P，使PMP-1。對(duì)應(yīng)于每個(gè)特征值的特征向量為，，當(dāng)時(shí)，，即經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，培育出來(lái)的植物基本上呈現(xiàn)AA型。三matlab軟件四lingo軟件五優(yōu)化模型一優(yōu)化模型的一般意義（一）優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)描述將一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題用數(shù)學(xué)式子來(lái)描述，即求函數(shù)，在約束條件和下的最大值或最小值，其中設(shè)計(jì)變量（決策變量）目標(biāo)函數(shù)可行域“受約束于”之意（二）優(yōu)化模型的分類1.根據(jù)是否存在約束條件有約束問(wèn)題和無(wú)約束問(wèn)題。2.根據(jù)設(shè)計(jì)變量的性質(zhì)靜態(tài)問(wèn)題和動(dòng)態(tài)問(wèn)題。3.根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束條件表達(dá)式的性質(zhì)線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，二次規(guī)劃等。（1）非線性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)和約束條件中，至少有一個(gè)非線性函數(shù)。（2）線性規(guī)劃（LP）目標(biāo)函數(shù)和所有的約束條件都是設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)。（3）二次規(guī)劃問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)為二次函數(shù)，約束條件為線性約束（4）根據(jù)設(shè)計(jì)變量的允許值整數(shù)規(guī)劃（0-1規(guī)劃）和實(shí)數(shù)規(guī)劃。（5）根據(jù)變量具有確定值還是隨機(jī)值確定規(guī)劃和隨機(jī)規(guī)劃。（三）優(yōu)化模型建立的一般步驟1.確定設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)變量；2.確定目標(biāo)函數(shù)；3.尋找約束條件。（四）簡(jiǎn)單優(yōu)化模型舉例1存貯模型工廠定期訂購(gòu)原料，存入倉(cāng)庫(kù)供生產(chǎn)之用；車間一次加工出一批零件，供裝配線每天生產(chǎn)之用；商店成批購(gòu)進(jìn)各種商品，放在貨柜里以備零售；水庫(kù)在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和發(fā)電。存貯量多少合適？存貯量過(guò)大，存貯費(fèi)用太高；存貯量太小，會(huì)導(dǎo)致一次性訂購(gòu)費(fèi)用增加，或不能及時(shí)滿足需求。問(wèn)題1不允許缺貨的存貯模型配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種部件，輪換生產(chǎn)不同的部件時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)（與生產(chǎn)數(shù)量無(wú)關(guān)），同一部件的產(chǎn)量大于需求時(shí)因積壓資金、占用倉(cāng)庫(kù)要付存貯費(fèi)。今已知某一部件的日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，存貯費(fèi)每日每件1元。如果生產(chǎn)能力遠(yuǎn)大于需求，并且不允許出現(xiàn)缺貨，試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（稱為生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，可使總費(fèi)用最小。問(wèn)題分析若每天生產(chǎn)一次，每次100件，無(wú)存貯費(fèi)，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，每天費(fèi)用5000元；若10天生產(chǎn)一次，每次1000件，存貯費(fèi)900+800+…+100=4500元，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)9500元，平均每天費(fèi)用950元；若50天生產(chǎn)一次，每次5000件，存貯費(fèi)4900+4800+…+100=122500元，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)127500元，平均每天費(fèi)用2550元；尋找生產(chǎn)周期、產(chǎn)量、需求量、生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和存貯費(fèi)之間的關(guān)系，使每天的費(fèi)用最少。模型假設(shè)1連續(xù)化，即設(shè)生產(chǎn)周期T和產(chǎn)量Q均為連續(xù)量；2產(chǎn)品每日的需求量為常數(shù)r；3每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)C1，每日每件產(chǎn)品存貯費(fèi)C2；4生產(chǎn)能力為無(wú)限大（相對(duì)于需求量），當(dāng)存貯量降到零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即生產(chǎn)出來(lái)供給需求，即不允許缺貨。模型建立設(shè)t時(shí)刻的存貯量為q(t)，t=0時(shí)生產(chǎn)Q件，存貯量q(0)=Q,q(t)以需求速率r線性遞減，直至q(T)=0，如圖，q(t)=Q-rt，Q=rT。qQAoTt不允許缺貨模型的存貯量q(t)一個(gè)周期內(nèi)存貯量(A的面積)一個(gè)周期內(nèi)存貯費(fèi)一個(gè)周期的總費(fèi)用每天平均費(fèi)用模型求解用微分法，，每天平均最小費(fèi)用著名的經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式（EOQ公式）。結(jié)果解釋，，當(dāng)準(zhǔn)備費(fèi)c1增加時(shí)，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變大；當(dāng)存貯費(fèi)c1增加時(shí)，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變??；當(dāng)日需求費(fèi)r增加時(shí)，生產(chǎn)周期變小而產(chǎn)量變大。這些定性結(jié)果符合常識(shí)，而定量關(guān)系（平方根，系數(shù)2等）憑常識(shí)是無(wú)法得出的，只能由數(shù)學(xué)建模得到。，，這里得到的費(fèi)用C與前面計(jì)算得950元有微小差別，你能解釋嗎？敏感性分析討論參數(shù)有微小變化時(shí)對(duì)生產(chǎn)周期T影響。由相對(duì)變化量衡量對(duì)參數(shù)的敏感程度。T對(duì)c1的敏感程度記為，，，，意義是當(dāng)準(zhǔn)備費(fèi)增加1%時(shí)，生產(chǎn)周期增加0.5%；而存貯費(fèi)增加1%時(shí)，生產(chǎn)周期減少0.5%；日需求量增加1%時(shí)，生產(chǎn)周期減少0.5%。當(dāng)有微小變化對(duì)生產(chǎn)周期影響不太大。思考建模中未考慮生產(chǎn)費(fèi)用（這應(yīng)是最大一筆費(fèi)用），在什么情況下才可以不考慮它？建模時(shí)作了“生產(chǎn)能力無(wú)限大”的簡(jiǎn)化假設(shè)，如果生產(chǎn)能力有限，是大于需求量的一個(gè)常數(shù)，如何建模？問(wèn)題2允許缺貨的存貯模型模型假設(shè)1連續(xù)化，即設(shè)生產(chǎn)周期T和產(chǎn)量Q均為連續(xù)量；2產(chǎn)品每日的需求量為常數(shù)r；3每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)C1，每日每件產(chǎn)品存貯費(fèi)C2；4生產(chǎn)能力為無(wú)限大（相對(duì)于需求量），允許缺貨，每天每件產(chǎn)品缺貨損失費(fèi)C3，但缺貨數(shù)量需在下次生產(chǎn)（訂貨）時(shí)不足。模型建立因存貯量不足造成缺貨，因此q(t)可取負(fù)值，q(t)以需求速率r線性遞減，直至q(T1)=0，如圖。q(t)=Q-rt，Q=rT1。qQrRAoBTt允許缺貨模型的存貯量q(t)一個(gè)周期內(nèi)存貯費(fèi)一個(gè)周期內(nèi)缺貨損失費(fèi)一個(gè)周期的總費(fèi)用每天平均費(fèi)用模型求解用微分法令,每天平均最小費(fèi)用每個(gè)周期的供貨量,與不允許缺貨模型相比較，有結(jié)果解釋,1）即允許缺貨時(shí)，周期和供貨量增加，周期初的存貯量減少。2）缺貨損失費(fèi)愈大，愈小，愈接近，，愈接近。3)不允許缺貨模型可視為允許缺貨模型的特例。2生豬的出售時(shí)機(jī)問(wèn)題3最優(yōu)捕食者策略假設(shè)存在一種捕食者，穴居A處，在B和C處有兩個(gè)食物源X、Y。捕食者從巢穴A到區(qū)域B和C帶回一單位的食物所需的時(shí)間估計(jì)為2分鐘和3分鐘。捕食者在區(qū)域B平均花2分鐘捕獲一單位食物X，而在區(qū)域C只花1分鐘就捕獲一單位食物Y。一單位X所產(chǎn)生的熱量估計(jì)為25焦耳，一單位Y所產(chǎn)生的熱量估計(jì)為30焦耳。假設(shè)捕食者每天不可超過(guò)120分鐘用于從巢穴到食物區(qū)來(lái)回行走，同時(shí)每天不可能花80分鐘以上搜尋食物。估計(jì)捕食者每天能獲得的最大熱量值是多少FF1F一單位實(shí)物行走時(shí)間(分鐘)捕獲時(shí)間(分鐘)熱量(焦耳)X2225Y3130假設(shè)捕食者每天能得到x單位的食物X和y單位的食物Y，則每天獲得的熱量值為y圖解法802x+y=8040a(30,20)U=25x+30y2x+3y=120o4060xU=25*30+30*20=1350焦耳4運(yùn)輸問(wèn)題設(shè)有某物資從m個(gè)發(fā)點(diǎn)A1,A2,…,Am輸送到n個(gè)收點(diǎn)B1,B2,…,Bn，其中每個(gè)發(fā)點(diǎn)發(fā)出量分別為，每個(gè)收點(diǎn)輸入量分別為，并且滿足從發(fā)點(diǎn)A到收點(diǎn)B的距離（或單位運(yùn)費(fèi)）是已知的，設(shè)為。一個(gè)調(diào)運(yùn)方案主要由一組從發(fā)點(diǎn)到收點(diǎn)的輸送量來(lái)描述。問(wèn)題：尋求一個(gè)調(diào)運(yùn)方案，使總運(yùn)輸費(fèi)用達(dá)到最小。收點(diǎn)發(fā)點(diǎn)B1B2….BnA1X11X12…..X1na1A2X21X22….X2na2…..…..…..AmXm1Xm2…..Xmnamb1b2….bnA1的總費(fèi)用A2的總費(fèi)用總的費(fèi)用約束條件求時(shí)的接力賽的選拔與選修課策略六層析分析模型七概率模型1報(bào)童策略問(wèn)題2航空公司預(yù)訂票問(wèn)題八回歸模型1軟件公司的薪金九微分方程模型1人口問(wèn)題2在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)聯(lián)系到某些變量的變化率或?qū)?shù)，這樣所得到變量之間的關(guān)系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是變量之間的間接關(guān)系，因此，要得到直接關(guān)系，就得求微分方程。求解微分方程有三種方法：1）求精確解；2）求數(shù)值解（近似解）；3）定性理論方法。建立微分方程模型的方法（1）根據(jù)規(guī)律列方程利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律等來(lái)建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對(duì)微元而不是直接對(duì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。（3）模擬近似法在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問(wèn)題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，建立能近似反映問(wèn)題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對(duì)比，檢驗(yàn)此模型能否刻畫、模擬某些實(shí)際現(xiàn)象。 一古尸年代鑒定問(wèn)題在巴基斯坦一個(gè)洞穴里，發(fā)現(xiàn)了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科學(xué)家把它帶到實(shí)驗(yàn)室，作碳14年代測(cè)定，分析表明，與的比例僅僅是活組織內(nèi)的6.24%，能否判斷此人生活在多少年前？背景年代測(cè)定：活體中的碳有一小部分是放射性同位素，這種放射性碳是由于宇宙射線在高層大氣中的撞擊引起的，經(jīng)過(guò)一系列交換過(guò)程進(jìn)入活組織內(nèi)，直到在生物