小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)培訓(xùn)

小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)培訓(xùn)教師專業(yè)知識(shí)構(gòu)造的內(nèi)容分類教師專業(yè)知識(shí)本體性知識(shí)條件性知識(shí)實(shí)踐性知識(shí)學(xué)科知識(shí)教育理論教學(xué)經(jīng)歷2“要給學(xué)生一杯水，教師就要有一桶水〞〔桶論〕“活水論〞教師要有豐厚的知識(shí)底蘊(yùn)3從一年級(jí)下冊(cè)到六年級(jí)下冊(cè)，人教版課標(biāo)教材在每一冊(cè)的最后一個(gè)單元都編排了“數(shù)學(xué)廣角〞。跟以往義務(wù)教育教材相比，這局部?jī)?nèi)容是新增加的，這是新課標(biāo)教材的一大亮點(diǎn)。4整套教材“數(shù)學(xué)廣角〞的編排

一下找規(guī)律四下植樹(shù)問(wèn)題二上簡(jiǎn)單的排列組合簡(jiǎn)單的邏輯推理五上數(shù)字編碼二下找規(guī)律（稍復(fù)雜）五下邏輯推理（找次品）三上排列組合（稍復(fù)雜）六上雞兔同籠問(wèn)題三下集合，等量代換六下抽屜原理四上運(yùn)籌問(wèn)題5根本類型植樹(shù)問(wèn)題行程問(wèn)題雞兔同籠問(wèn)題抽屜原理稱球問(wèn)題求平均數(shù)問(wèn)題統(tǒng)籌問(wèn)題立體圖形邏輯推理6雞兔同籠問(wèn)題7“雞兔同籠〞是古代著名的數(shù)學(xué)趣題解決策略:〔1〕列表法〔2〕假設(shè)法※〔3〕方程法〔4〕二元一次方程組〔初中八年級(jí)〕8

例雞兔同籠，共有8個(gè)頭，26只腳?；\中雞兔各有多少只？列表法雞876543兔012345腳1618202224269雞兔同籠問(wèn)題

假設(shè)法

例1：今有雞、兔共居一籠，頭共35個(gè)，腳共94只。問(wèn)雞、兔各有多少只？分析與解答：雞兔同籠問(wèn)題往往用假設(shè)法來(lái)解答，即假設(shè)全是雞或全是兔，腳的總數(shù)必然與條件矛盾，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾適當(dāng)調(diào)整，從而找到正確答案。解法一假設(shè)全是雞，那么相應(yīng)的腳的總數(shù)應(yīng)是2×35=70只，與實(shí)際相比，減少了94－70=24只。減少的原因是把一只兔當(dāng)作一只雞時(shí)，要減少4－2=2只腳。所以兔有24÷2=12只，雞有35－12=23只。解法二假設(shè)全是兔，那么相應(yīng)的腳的總數(shù)應(yīng)是4×35=140只，與實(shí)際相比，增加了140－94=46只。增加的原因是把一只雞當(dāng)作一只兔時(shí)，要增加4－2=2只腳。所以雞有46÷2=23只，兔有35－23=12只。

答：雞有23只，兔子有12只。10小結(jié)運(yùn)用假設(shè)法的思路解應(yīng)用題，先要根據(jù)題意假設(shè)未知的兩個(gè)量是同一種量，或者假設(shè)要求的兩個(gè)未知量相等；其次，要根據(jù)所作的假設(shè)，注意到數(shù)量關(guān)系發(fā)生了什么變化并作出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。概括起來(lái)，解“雞兔同籠問(wèn)題〞的根本公式是：雞數(shù)＝〔每只兔腳數(shù)×雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)〕÷〔每只兔子腳數(shù)－每只雞的腳數(shù)〕兔數(shù)＝雞兔總數(shù)－雞數(shù)11方程法例雞兔同籠，共有8個(gè)頭，26只腳?；\中雞兔各有多少只？解：設(shè)有X只兔，那么就有〔8-X〕只雞。雞兔共有26只腳，就是：4X+2(8-X)=262X+16=26X=58-5=3(只〕

12列方程組例雞兔同籠，共有8個(gè)頭，26只腳。籠中雞兔各有多少只？解：設(shè)有X只兔，有Y只雞。那么X+Y=84X+2Y=26解方程組得X=5,Y=313相關(guān)習(xí)題面值是2元、5元的人民幣共27張，合計(jì)99元。面值是2元、5元的人民幣各有多少?gòu)垼糠治雠c解答：這道題類似于“雞兔同籠〞問(wèn)題。假設(shè)全是面值2元的人民幣，那么27張人民幣是2×27=54元，與實(shí)際相比減少了99－54=45元，減少的原因是每把一張面值5元的人民幣當(dāng)作一張面值2元的人民幣，要減少5－2=3元，所以，面值是5元的人民幣有45÷3=15張，面值2元的人民幣有27－15=12張。14相關(guān)習(xí)題50名同學(xué)去劃船，一共乘坐11只船，其中每條大船坐6人，每條小船坐4人。問(wèn)大船和小船各幾只？小明參加猜謎比賽，共20道題，規(guī)定猜對(duì)一道得5分，猜錯(cuò)一道倒扣3分〔不猜按錯(cuò)算〕。小明共得60分，他猜對(duì)了幾道？15邏輯推理問(wèn)題16解題策略解答推理問(wèn)題常用的方法有：排除法、假設(shè)法、反證法、圖表法。17簡(jiǎn)單推理[例1]小蘭、小梅、小青三人進(jìn)展跑步比賽，賽后小蘭說(shuō)：“我不是第二名。〞小梅說(shuō)：“我不是第一名。〞小青說(shuō)：“我前面沒(méi)有人。〞分析：我們可以用填表的方法找答案，具體方法如下：第一名第二名第三名小蘭××√小梅×√×小青√××18簡(jiǎn)單推理例2：有一個(gè)正方體，每個(gè)面分別寫上漢字：數(shù)學(xué)奧林匹克。三個(gè)人從不同角度觀察的結(jié)果如以下圖所示。這個(gè)正方體的每個(gè)漢字的對(duì)面各是什么字？

分析與解答：如果直接思考某個(gè)漢字的對(duì)面是什么字比較困難，可以換一種思維方式，想想某個(gè)漢字的對(duì)面不是什么字。(排除法〕從圖〔1〕可知，“奧〞的對(duì)面不是“林〞、“匹〞，從圖〔2〕可知，“奧〞的對(duì)面不是“數(shù)〞、“學(xué)〞。所以，“奧〞的對(duì)面一定是“克〞。從圖〔2〕可知，“數(shù)〞的對(duì)面不是“奧〞、“學(xué)〞；從圖〔3〕可知，“數(shù)〞的對(duì)面不是“克〞、“林〞，所以“數(shù)〞的對(duì)面一定是“匹〞，剩下“學(xué)〞的對(duì)面一定是“林〞。19例3：甲、乙、丙三個(gè)孩子踢球打碎了玻璃，甲說(shuō)：“是丙打碎的。〞乙說(shuō)：“我沒(méi)有打碎破璃。〞丙說(shuō)：“是乙打碎的。〞他們當(dāng)中有一個(gè)人說(shuō)了謊話，到底是誰(shuí)打碎了玻璃？分析與解答：由題意推出結(jié)論，必須符合他們中只有一個(gè)人說(shuō)了謊，推理時(shí)可先假設(shè)，看結(jié)論和條件是否矛盾。如果是甲打碎的，那么甲說(shuō)謊話，乙說(shuō)的是真話，丙說(shuō)的是謊話。這樣兩人說(shuō)的是謊話，與他們中只有一人說(shuō)謊相矛盾，所以不是甲打碎的。如果是乙打碎的，那么甲說(shuō)的是謊話，乙說(shuō)的是謊話，丙說(shuō)的是真話，與他們中只有一人說(shuō)謊相矛盾，所以不是乙打碎的。如果是丙打碎的，那么甲說(shuō)的是真話，乙說(shuō)的是真話，而丙說(shuō)的是謊話。這樣有兩個(gè)說(shuō)的是真話，符合條件中只有一個(gè)人說(shuō)的是謊話，所以玻璃是丙打碎的。20推理問(wèn)題一般可以從以下幾方面考慮：1，選準(zhǔn)突破口，分析時(shí)綜合幾個(gè)條件進(jìn)展判斷；2，根據(jù)題中條件，在推理過(guò)程中，不斷排除不可能的情況，從而得出要求的結(jié)論；3，對(duì)可能出現(xiàn)的情況作出假設(shè)，然后再根據(jù)條件推理，如果得到的結(jié)論和條件不矛盾，說(shuō)明假設(shè)是正確的；4，遇到比較復(fù)雜的推理問(wèn)題，可以借助圖表進(jìn)展分析。21抽屜原理

22抽屜原理

專題簡(jiǎn)析：把12個(gè)蘋果放到11個(gè)抽屜中去，那么，至少有一個(gè)抽屜中放有兩個(gè)或兩個(gè)以上蘋果，這個(gè)事實(shí)的正確性是非常明顯的。把它進(jìn)一步推廣，就可以得到數(shù)學(xué)里重要的抽屜原理。用抽屜原理解決問(wèn)題，一定要注意哪些是“抽屜〞，哪些是“蘋果〞，并且要應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)制造抽屜，巧妙地加以應(yīng)用，這樣看上去十分復(fù)雜，甚至無(wú)從下手的題目才能順利地解答。23抽屜原理例題1敬老院買來(lái)許多蘋果、橘子和梨，每位老人任意選兩個(gè)，那么，至少應(yīng)有幾位老人才能保證必有兩位或兩位以上老人所選的水果一樣？思路導(dǎo)航：根據(jù)抽屜原理，要保證必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果放在同一抽屜中，蘋果總數(shù)至少要比抽屜數(shù)多1。這里，我們可以把敬老院老人人數(shù)看作抽屜原理中的蘋果數(shù)，關(guān)鍵是看抽屜數(shù)了。因?yàn)槿N水果任選兩個(gè)的搭配有：蘋果——蘋果；蘋果——橘子；蘋果——梨；橘子——橘子；橘子——梨；梨——梨共6種，所以，既然有6個(gè)抽屜，必須至少有7個(gè)蘋果才能保證兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果放在同一抽屜里，即至少要7位老人。24抽屜原理例題2幼兒園大班有41個(gè)小朋友，教師至少拿幾件玩具隨便分給大家，才能保證至少有一個(gè)小朋友能得兩件玩具？思路導(dǎo)航：41個(gè)小朋友相當(dāng)于41個(gè)抽屜，玩具的件數(shù)相當(dāng)于蘋果。根據(jù)抽屜原理，玩具的件數(shù)應(yīng)比41多1，所以至少要拿42件玩具。25抽屜原理例題3盒子里混裝著5個(gè)白色球和4個(gè)紅色球，要想保證一次能拿出兩個(gè)同顏色的球，至少要拿出多少個(gè)球？思路導(dǎo)航：如果每次拿2個(gè)球會(huì)有三種情況：〔1〕一個(gè)白球，一個(gè)紅球；〔2〕兩個(gè)白球；〔3〕兩個(gè)紅球。不能保證一次能拿出兩個(gè)同顏色的球。如果每次拿3個(gè)球會(huì)有四種情況：〔1〕一個(gè)白球，兩個(gè)紅球；〔2〕一個(gè)紅球，兩個(gè)白球；〔3〕三個(gè)白球；〔4〕三個(gè)紅球。這樣每次都能保證拿出兩個(gè)同顏色的球，所以至少要拿出3個(gè)球。26例題4一個(gè)布袋里裝有紅、黃、藍(lán)襪子各5只，問(wèn)一次至少取出多少只，才能保證每種顏色至少有一只？思路導(dǎo)航：我們從最不利的情況著手，如果先取5只全是紅的，那么只有再取5只；如果5只又全是黃的，這時(shí)，再取1只一定是藍(lán)的了，這樣取5×2＋1=11只才能保證每種顏色至少有1只。27抽屜原理例題5三〔2〕班有50個(gè)同學(xué)，在學(xué)雷鋒活動(dòng)中，每人單獨(dú)做了些好事，他們共做好事155件。問(wèn)：是否有人單獨(dú)做了4件或4件以上的好事？思路導(dǎo)航：根據(jù)條件可知：三〔2〕班有50個(gè)同學(xué)，假設(shè)每個(gè)同學(xué)做3件好事，那就做了3×50=150件好事，而他們做的好事是155件，就多做了155－150=5件，所以完全可能有一個(gè)同學(xué)做了4件或4件以上好事。28長(zhǎng)方體與正方體29長(zhǎng)方體和正方體

解答稍復(fù)雜的立體圖形問(wèn)題要注意幾點(diǎn)：1，必須以根本概念和方法為根底，同時(shí)把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來(lái)；2，依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過(guò)割、補(bǔ)后物體的外表積或體積所發(fā)生的變化；3，求一些不規(guī)那么的物體體積時(shí)，可以通過(guò)變形的方法來(lái)解決。30例題1有一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的零件，中間挖去一個(gè)正方體的孔〔如圖〕，你能算出它的體積和外表積嗎？〔單位：厘米〕〔1〕先求出長(zhǎng)方體的體積，8×5×6=240〔立方厘米〕，由于挖去了一個(gè)孔，所以體積減少了2×2×2=8〔立方厘米〕，這個(gè)零件的體積是240－8=232〔立方厘米〕；〔2〕長(zhǎng)方體完整的外表積是〔8×5＋8×6＋6×5〕×2=236〔平方厘米〕，但由于挖去了一個(gè)孔，它的外表積減少了一個(gè)〔2×2〕平方厘米的面，同時(shí)又增加了凹進(jìn)去的5個(gè)〔2×2〕平方厘米的面，因此，這個(gè)零件的外表積是236＋2×2×4=252〔平方厘米〕。31例題2一個(gè)正方體的外表涂滿了紅色，然后如以下圖切開(kāi)，切開(kāi)的小正方體中：〔1〕三個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)？〔2〕二個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)？〔3〕一個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)？〔4〕六個(gè)面都沒(méi)有涂色的有幾個(gè)？分析按題中的要求切，切成的小正方體一共有3×3×3=27個(gè)?！?〕三個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的頂點(diǎn)處，共有8個(gè)；〔2〕二個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的棱上，共有1×12=12個(gè)；〔3〕一個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個(gè)面上，共有1×6=6個(gè)；〔4〕六個(gè)面都沒(méi)有涂色的在大正方體的中間，有27－〔8＋12＋6〕=1個(gè)。32統(tǒng)籌問(wèn)題33最正確安排專題簡(jiǎn)析：我們每天的生活、學(xué)習(xí)都離不開(kāi)時(shí)間，合理地安排時(shí)間，往往會(huì)到達(dá)事半功倍的效果。科學(xué)地安排時(shí)間的方法，就叫做最正確安排。在進(jìn)展最正確安排時(shí)，要考慮以下幾個(gè)問(wèn)題：〔1〕要做哪幾件事：〔2〕做每件事需要的時(shí)間；〔3〕要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同時(shí)做。在學(xué)習(xí)、生產(chǎn)和工作中，只有盡可能地節(jié)省時(shí)間、人力和物力，才能發(fā)揮出更大的效率。34統(tǒng)籌問(wèn)題例題1明明早晨起來(lái)要完成以下幾件事情：洗水壺1分鐘，燒開(kāi)水12分鐘，把水灌入水瓶要2分鐘，吃早點(diǎn)要8分鐘，整理書包2分鐘。應(yīng)該怎樣安排時(shí)間最少？最少要幾分鐘？思路導(dǎo)航：經(jīng)歷說(shuō)明：能同時(shí)做的事盡量要同時(shí)去做，這樣節(jié)省時(shí)間。水壺不洗，不能燒開(kāi)水，因而洗水壺不能和燒開(kāi)水同時(shí)進(jìn)展；而吃早點(diǎn)和整理書包可以和燒開(kāi)水同時(shí)進(jìn)展。這一過(guò)程可用方框圖表示：

從圖上可以看出，洗水壺要1分鐘，接著燒開(kāi)水要12分鐘，在等水開(kāi)的同時(shí)吃早點(diǎn)、整理書包，水開(kāi)了就灌入水瓶，共需15分鐘。35統(tǒng)籌問(wèn)題〔例題2〕貼燒餅的時(shí)候，第一面需要烤3分鐘，第二面需要烤2分鐘，而貼燒餅的架子上一次最多只能放2個(gè)燒餅。要貼3個(gè)燒餅至少需要幾分鐘？思路導(dǎo)航：先放第一、二兩個(gè)燒餅貼第一面，過(guò)3分鐘后，拿下第一個(gè)，并把第二個(gè)翻過(guò)去，并放上第三個(gè)燒餅；過(guò)2分鐘拿下第二個(gè)，并放第一個(gè)燒餅，過(guò)1分鐘把第三個(gè)燒餅翻過(guò)來(lái)；再過(guò)1分鐘取下第一個(gè)燒餅，再過(guò)1分鐘三個(gè)燒餅全貼完了，只用了8分鐘。3＋2＋1＋1＋1=8分鐘36每次只能烙兩張餅,兩面都要烙,每面3分鐘?？腿?、媽媽和我每人一張。怎樣才能盡快吃上餅？1張2張3張烙1張餅要幾分鐘呢？一張一張地烙太費(fèi)時(shí)間了?？梢韵壤觾蓮?，再烙一張，這樣省時(shí)間。6分烙1張餅要6分鐘，烙3張餅要18分鐘。6分12分？9分4張？分5張？分……2能否滲透“轉(zhuǎn)化〞〔“化歸〞〕思想5張＝2張＋2張＋1張＝2張＋3張大于3的整數(shù)都能寫成幾個(gè)2或幾個(gè)2與一個(gè)3的和繼續(xù)試探找出規(guī)律37平均數(shù)問(wèn)題38平均數(shù)問(wèn)題專題簡(jiǎn)析：在日常生活中，我們會(huì)遇到下面的問(wèn)題：有幾個(gè)杯子，里面的水有多有少，為了使杯中水一樣多，就將水多的杯子里的水倒進(jìn)水少的杯子里，反復(fù)幾次，直到幾個(gè)杯子里的水一樣多。這就是我們所講的“移多補(bǔ)少〞，通常稱之為平均數(shù)問(wèn)題。解答平均數(shù)應(yīng)用題關(guān)鍵是要求出總數(shù)量和總份數(shù)，然后再根據(jù)“總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)〞這個(gè)數(shù)量關(guān)系式來(lái)解答。39新增兩個(gè)概念中位數(shù)：n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)〕叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。40〔例1〕某3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是2，如果把其中一個(gè)數(shù)改為4，平均數(shù)就變成了3。被改的數(shù)原來(lái)是多少？分析：原來(lái)三個(gè)數(shù)的和是2×3=6，后來(lái)三個(gè)數(shù)的和是3×3=9，9比6多出了3，是因?yàn)榘涯莻€(gè)數(shù)改成了4。因此，原來(lái)的數(shù)應(yīng)該是4－3=1。41〔例2〕五一班同學(xué)數(shù)學(xué)考試平均成績(jī)91.5分，事后復(fù)查發(fā)現(xiàn)計(jì)算成績(jī)時(shí)將一位同學(xué)的98分誤作89分計(jì)算了。經(jīng)重新計(jì)算，全班的平均成績(jī)是91.7分，五一班有多少名同學(xué)？分析：98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成績(jī)上升91.7－91.5=0.2〔分〕。9里面包含有幾個(gè)0.2，五一班就有幾名同學(xué)。42行程問(wèn)題43行程問(wèn)題專題簡(jiǎn)析：我們把研究路程、速度、時(shí)間這三者之間關(guān)系的問(wèn)題稱為行程問(wèn)題。行程問(wèn)題主要包括相遇問(wèn)題、相背問(wèn)題和追及問(wèn)題。解答行程問(wèn)題時(shí)，要理清路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系，緊扣根本數(shù)關(guān)系“路程=速度×?xí)r間〞來(lái)思考，對(duì)具體問(wèn)題要作仔細(xì)分析，弄清出發(fā)地點(diǎn)、時(shí)間和運(yùn)動(dòng)結(jié)果。44例1：王欣和陸亮兩人同時(shí)從相距2000米的兩地相向而行，王欣每分鐘行110米，陸亮每分鐘行90米。如果一只狗與王欣同時(shí)同向而行，每分鐘行500米，遇到陸亮后，立即回頭向王欣跑去；遇到王欣后再回頭向陸亮跑去。這樣不斷來(lái)回，直到王欣和陸亮相遇為止，狗共行了多少米？分析與解答：要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的時(shí)間。根據(jù)題意可知，狗的速度是每分鐘行500米，關(guān)鍵是要求出狗所行的時(shí)間，根據(jù)題意可知：狗與主人是同時(shí)行走的，狗不斷來(lái)回所行的時(shí)間就是王欣和陸亮同時(shí)出發(fā)到兩人相遇的時(shí)間，即2000÷〔110＋90〕=10分鐘。所以狗共行了500×10=5000米。45例2：甲、乙兩沿運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的跑道跑步，甲每分鐘跑290米，乙每分鐘跑270米，跑道一圈長(zhǎng)400米。如果兩人同時(shí)從起跑線上同方向跑，那么甲經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才能第一次追上乙？分析與解答：這是一道封閉線路上的追及問(wèn)題。甲和乙同時(shí)同地起跑，方向一致。因此，當(dāng)甲第一次追上乙時(shí)，比乙多跑了一圈，也就是甲與乙的路程差是400米。根據(jù)“路程差÷速度差=追及時(shí)間〞即可求出甲追上乙所需的時(shí)間：400÷〔290－270〕=20分鐘。46例3一列火車長(zhǎng)180米，每秒鐘行25米。全車通過(guò)一條120米的山洞，需要多長(zhǎng)時(shí)間？分析由于火車長(zhǎng)180米，我們以車頭為準(zhǔn)，當(dāng)車進(jìn)入山洞行120米，雖然車頭出山洞，但180米的車身仍在山洞里。因此，火車必須再行180米，才能全部通過(guò)山洞。即火車共要行180＋120=300米，需要300÷25=12秒。47稱球問(wèn)題〔找次品〕48稱球問(wèn)題稱球問(wèn)題是一類傳統(tǒng)的趣味數(shù)學(xué)問(wèn)題，它鍛煉著一代又一代人的智力，歷久不衰。49［經(jīng)典例題］例1有4堆外表上一樣的球，每堆4個(gè)。其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每個(gè)重10克，次品球每個(gè)重11克，請(qǐng)你用天平只稱一次，把是次品的那堆找出來(lái)。解：依次從第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4個(gè)球，這10個(gè)球一起放到天平上去稱，總重量比100克多幾克，第幾堆就是次品球。50例2有27個(gè)外表上一樣的球，其中只有一個(gè)是次品，重量比正品輕，請(qǐng)你用天平只稱三次〔不用砝碼〕，把次品球找出來(lái)。解：第一次：把27個(gè)球分為三堆，每堆9個(gè)，取其中兩堆分別放在天平的兩個(gè)盤上。假設(shè)天平不平衡，可找到較輕的一堆；假設(shè)天平平衡，那么剩下來(lái)稱的一堆必定較輕，次品必在較輕的一堆中。第二次：把第一次