小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)知識培訓(xùn)

小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)知識培訓(xùn)教師專業(yè)知識構(gòu)造的內(nèi)容分類教師專業(yè)知識本體性知識條件性知識實踐性知識學(xué)科知識教育理論教學(xué)經(jīng)歷2“要給學(xué)生一杯水，教師就要有一桶水〞〔桶論〕“活水論〞教師要有豐厚的知識底蘊3從一年級下冊到六年級下冊，人教版課標(biāo)教材在每一冊的最后一個單元都編排了“數(shù)學(xué)廣角〞。跟以往義務(wù)教育教材相比，這局部內(nèi)容是新增加的，這是新課標(biāo)教材的一大亮點。4整套教材“數(shù)學(xué)廣角〞的編排

一下找規(guī)律四下植樹問題二上簡單的排列組合簡單的邏輯推理五上數(shù)字編碼二下找規(guī)律（稍復(fù)雜）五下邏輯推理（找次品）三上排列組合（稍復(fù)雜）六上雞兔同籠問題三下集合，等量代換六下抽屜原理四上運籌問題5根本類型植樹問題行程問題雞兔同籠問題抽屜原理稱球問題求平均數(shù)問題統(tǒng)籌問題立體圖形邏輯推理6雞兔同籠問題7“雞兔同籠〞是古代著名的數(shù)學(xué)趣題解決策略:〔1〕列表法〔2〕假設(shè)法※〔3〕方程法〔4〕二元一次方程組〔初中八年級〕8

例雞兔同籠，共有8個頭，26只腳?；\中雞兔各有多少只？列表法雞876543兔012345腳1618202224269雞兔同籠問題

假設(shè)法

例1：今有雞、兔共居一籠，頭共35個，腳共94只。問雞、兔各有多少只？分析與解答：雞兔同籠問題往往用假設(shè)法來解答，即假設(shè)全是雞或全是兔，腳的總數(shù)必然與條件矛盾，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾適當(dāng)調(diào)整，從而找到正確答案。解法一假設(shè)全是雞，那么相應(yīng)的腳的總數(shù)應(yīng)是2×35=70只，與實際相比，減少了94－70=24只。減少的原因是把一只兔當(dāng)作一只雞時，要減少4－2=2只腳。所以兔有24÷2=12只，雞有35－12=23只。解法二假設(shè)全是兔，那么相應(yīng)的腳的總數(shù)應(yīng)是4×35=140只，與實際相比，增加了140－94=46只。增加的原因是把一只雞當(dāng)作一只兔時，要增加4－2=2只腳。所以雞有46÷2=23只，兔有35－23=12只。

答：雞有23只，兔子有12只。10小結(jié)運用假設(shè)法的思路解應(yīng)用題，先要根據(jù)題意假設(shè)未知的兩個量是同一種量，或者假設(shè)要求的兩個未知量相等；其次，要根據(jù)所作的假設(shè)，注意到數(shù)量關(guān)系發(fā)生了什么變化并作出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。概括起來，解“雞兔同籠問題〞的根本公式是：雞數(shù)＝〔每只兔腳數(shù)×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)〕÷〔每只兔子腳數(shù)－每只雞的腳數(shù)〕兔數(shù)＝雞兔總數(shù)－雞數(shù)11方程法例雞兔同籠，共有8個頭，26只腳?；\中雞兔各有多少只？解：設(shè)有X只兔，那么就有〔8-X〕只雞。雞兔共有26只腳，就是：4X+2(8-X)=262X+16=26X=58-5=3(只〕

12列方程組例雞兔同籠，共有8個頭，26只腳?；\中雞兔各有多少只？解：設(shè)有X只兔，有Y只雞。那么X+Y=84X+2Y=26解方程組得X=5,Y=313相關(guān)習(xí)題面值是2元、5元的人民幣共27張，合計99元。面值是2元、5元的人民幣各有多少張？分析與解答：這道題類似于“雞兔同籠〞問題。假設(shè)全是面值2元的人民幣，那么27張人民幣是2×27=54元，與實際相比減少了99－54=45元，減少的原因是每把一張面值5元的人民幣當(dāng)作一張面值2元的人民幣，要減少5－2=3元，所以，面值是5元的人民幣有45÷3=15張，面值2元的人民幣有27－15=12張。14相關(guān)習(xí)題50名同學(xué)去劃船，一共乘坐11只船，其中每條大船坐6人，每條小船坐4人。問大船和小船各幾只？小明參加猜謎比賽，共20道題，規(guī)定猜對一道得5分，猜錯一道倒扣3分〔不猜按錯算〕。小明共得60分，他猜對了幾道？15邏輯推理問題16解題策略解答推理問題常用的方法有：排除法、假設(shè)法、反證法、圖表法。17簡單推理[例1]小蘭、小梅、小青三人進展跑步比賽，賽后小蘭說：“我不是第二名。〞小梅說：“我不是第一名。〞小青說：“我前面沒有人。〞分析：我們可以用填表的方法找答案，具體方法如下：第一名第二名第三名小蘭××√小梅×√×小青√××18簡單推理例2：有一個正方體，每個面分別寫上漢字：數(shù)學(xué)奧林匹克。三個人從不同角度觀察的結(jié)果如以下圖所示。這個正方體的每個漢字的對面各是什么字？

分析與解答：如果直接思考某個漢字的對面是什么字比較困難，可以換一種思維方式，想想某個漢字的對面不是什么字。(排除法〕從圖〔1〕可知，“奧〞的對面不是“林〞、“匹〞，從圖〔2〕可知，“奧〞的對面不是“數(shù)〞、“學(xué)〞。所以，“奧〞的對面一定是“克〞。從圖〔2〕可知，“數(shù)〞的對面不是“奧〞、“學(xué)〞；從圖〔3〕可知，“數(shù)〞的對面不是“克〞、“林〞，所以“數(shù)〞的對面一定是“匹〞，剩下“學(xué)〞的對面一定是“林〞。19例3：甲、乙、丙三個孩子踢球打碎了玻璃，甲說：“是丙打碎的。〞乙說：“我沒有打碎破璃。〞丙說：“是乙打碎的。〞他們當(dāng)中有一個人說了謊話，到底是誰打碎了玻璃？分析與解答：由題意推出結(jié)論，必須符合他們中只有一個人說了謊，推理時可先假設(shè)，看結(jié)論和條件是否矛盾。如果是甲打碎的，那么甲說謊話，乙說的是真話，丙說的是謊話。這樣兩人說的是謊話，與他們中只有一人說謊相矛盾，所以不是甲打碎的。如果是乙打碎的，那么甲說的是謊話，乙說的是謊話，丙說的是真話，與他們中只有一人說謊相矛盾，所以不是乙打碎的。如果是丙打碎的，那么甲說的是真話，乙說的是真話，而丙說的是謊話。這樣有兩個說的是真話，符合條件中只有一個人說的是謊話，所以玻璃是丙打碎的。20推理問題一般可以從以下幾方面考慮：1，選準(zhǔn)突破口，分析時綜合幾個條件進展判斷；2，根據(jù)題中條件，在推理過程中，不斷排除不可能的情況，從而得出要求的結(jié)論；3，對可能出現(xiàn)的情況作出假設(shè)，然后再根據(jù)條件推理，如果得到的結(jié)論和條件不矛盾，說明假設(shè)是正確的；4，遇到比較復(fù)雜的推理問題，可以借助圖表進展分析。21抽屜原理

22抽屜原理

專題簡析：把12個蘋果放到11個抽屜中去，那么，至少有一個抽屜中放有兩個或兩個以上蘋果，這個事實的正確性是非常明顯的。把它進一步推廣，就可以得到數(shù)學(xué)里重要的抽屜原理。用抽屜原理解決問題，一定要注意哪些是“抽屜〞，哪些是“蘋果〞，并且要應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識制造抽屜，巧妙地加以應(yīng)用，這樣看上去十分復(fù)雜，甚至無從下手的題目才能順利地解答。23抽屜原理例題1敬老院買來許多蘋果、橘子和梨，每位老人任意選兩個，那么，至少應(yīng)有幾位老人才能保證必有兩位或兩位以上老人所選的水果一樣？思路導(dǎo)航：根據(jù)抽屜原理，要保證必有兩個或兩個以上的蘋果放在同一抽屜中，蘋果總數(shù)至少要比抽屜數(shù)多1。這里，我們可以把敬老院老人人數(shù)看作抽屜原理中的蘋果數(shù)，關(guān)鍵是看抽屜數(shù)了。因為三種水果任選兩個的搭配有：蘋果——蘋果；蘋果——橘子；蘋果——梨；橘子——橘子；橘子——梨；梨——梨共6種，所以，既然有6個抽屜，必須至少有7個蘋果才能保證兩個或兩個以上的蘋果放在同一抽屜里，即至少要7位老人。24抽屜原理例題2幼兒園大班有41個小朋友，教師至少拿幾件玩具隨便分給大家，才能保證至少有一個小朋友能得兩件玩具？思路導(dǎo)航：41個小朋友相當(dāng)于41個抽屜，玩具的件數(shù)相當(dāng)于蘋果。根據(jù)抽屜原理，玩具的件數(shù)應(yīng)比41多1，所以至少要拿42件玩具。25抽屜原理例題3盒子里混裝著5個白色球和4個紅色球，要想保證一次能拿出兩個同顏色的球，至少要拿出多少個球？思路導(dǎo)航：如果每次拿2個球會有三種情況：〔1〕一個白球，一個紅球；〔2〕兩個白球；〔3〕兩個紅球。不能保證一次能拿出兩個同顏色的球。如果每次拿3個球會有四種情況：〔1〕一個白球，兩個紅球；〔2〕一個紅球，兩個白球；〔3〕三個白球；〔4〕三個紅球。這樣每次都能保證拿出兩個同顏色的球，所以至少要拿出3個球。26例題4一個布袋里裝有紅、黃、藍襪子各5只，問一次至少取出多少只，才能保證每種顏色至少有一只？思路導(dǎo)航：我們從最不利的情況著手，如果先取5只全是紅的，那么只有再取5只；如果5只又全是黃的，這時，再取1只一定是藍的了，這樣取5×2＋1=11只才能保證每種顏色至少有1只。27抽屜原理例題5三〔2〕班有50個同學(xué)，在學(xué)雷鋒活動中，每人單獨做了些好事，他們共做好事155件。問：是否有人單獨做了4件或4件以上的好事？思路導(dǎo)航：根據(jù)條件可知：三〔2〕班有50個同學(xué)，假設(shè)每個同學(xué)做3件好事，那就做了3×50=150件好事，而他們做的好事是155件，就多做了155－150=5件，所以完全可能有一個同學(xué)做了4件或4件以上好事。28長方體與正方體29長方體和正方體

解答稍復(fù)雜的立體圖形問題要注意幾點：1，必須以根本概念和方法為根底，同時把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來；2，依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過割、補后物體的外表積或體積所發(fā)生的變化；3，求一些不規(guī)那么的物體體積時，可以通過變形的方法來解決。30例題1有一個長方體形狀的零件，中間挖去一個正方體的孔〔如圖〕，你能算出它的體積和外表積嗎？〔單位：厘米〕〔1〕先求出長方體的體積，8×5×6=240〔立方厘米〕，由于挖去了一個孔，所以體積減少了2×2×2=8〔立方厘米〕，這個零件的體積是240－8=232〔立方厘米〕；〔2〕長方體完整的外表積是〔8×5＋8×6＋6×5〕×2=236〔平方厘米〕，但由于挖去了一個孔，它的外表積減少了一個〔2×2〕平方厘米的面，同時又增加了凹進去的5個〔2×2〕平方厘米的面，因此，這個零件的外表積是236＋2×2×4=252〔平方厘米〕。31例題2一個正方體的外表涂滿了紅色，然后如以下圖切開，切開的小正方體中：〔1〕三個面涂有紅色的有幾個？〔2〕二個面涂有紅色的有幾個？〔3〕一個面涂有紅色的有幾個？〔4〕六個面都沒有涂色的有幾個？分析按題中的要求切，切成的小正方體一共有3×3×3=27個?！?〕三個面涂有紅色的小正方體在大正方體的頂點處，共有8個；〔2〕二個面涂有紅色的小正方體在大正方體的棱上，共有1×12=12個；〔3〕一個面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個面上，共有1×6=6個；〔4〕六個面都沒有涂色的在大正方體的中間，有27－〔8＋12＋6〕=1個。32統(tǒng)籌問題33最正確安排專題簡析：我們每天的生活、學(xué)習(xí)都離不開時間，合理地安排時間，往往會到達事半功倍的效果?？茖W(xué)地安排時間的方法，就叫做最正確安排。在進展最正確安排時，要考慮以下幾個問題：〔1〕要做哪幾件事：〔2〕做每件事需要的時間；〔3〕要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同時做。在學(xué)習(xí)、生產(chǎn)和工作中，只有盡可能地節(jié)省時間、人力和物力，才能發(fā)揮出更大的效率。34統(tǒng)籌問題例題1明明早晨起來要完成以下幾件事情：洗水壺1分鐘，燒開水12分鐘，把水灌入水瓶要2分鐘，吃早點要8分鐘，整理書包2分鐘。應(yīng)該怎樣安排時間最少？最少要幾分鐘？思路導(dǎo)航：經(jīng)歷說明：能同時做的事盡量要同時去做，這樣節(jié)省時間。水壺不洗，不能燒開水，因而洗水壺不能和燒開水同時進展；而吃早點和整理書包可以和燒開水同時進展。這一過程可用方框圖表示：

從圖上可以看出，洗水壺要1分鐘，接著燒開水要12分鐘，在等水開的同時吃早點、整理書包，水開了就灌入水瓶，共需15分鐘。35統(tǒng)籌問題〔例題2〕貼燒餅的時候，第一面需要烤3分鐘，第二面需要烤2分鐘，而貼燒餅的架子上一次最多只能放2個燒餅。要貼3個燒餅至少需要幾分鐘？思路導(dǎo)航：先放第一、二兩個燒餅貼第一面，過3分鐘后，拿下第一個，并把第二個翻過去，并放上第三個燒餅；過2分鐘拿下第二個，并放第一個燒餅，過1分鐘把第三個燒餅翻過來；再過1分鐘取下第一個燒餅，再過1分鐘三個燒餅全貼完了，只用了8分鐘。3＋2＋1＋1＋1=8分鐘36每次只能烙兩張餅,兩面都要烙,每面3分鐘?？腿?、媽媽和我每人一張。怎樣才能盡快吃上餅？1張2張3張烙1張餅要幾分鐘呢？一張一張地烙太費時間了?？梢韵壤觾蓮?，再烙一張，這樣省時間。6分烙1張餅要6分鐘，烙3張餅要18分鐘。6分12分？9分4張？分5張？分……2能否滲透“轉(zhuǎn)化〞〔“化歸〞〕思想5張＝2張＋2張＋1張＝2張＋3張大于3的整數(shù)都能寫成幾個2或幾個2與一個3的和繼續(xù)試探找出規(guī)律37平均數(shù)問題38平均數(shù)問題專題簡析：在日常生活中，我們會遇到下面的問題：有幾個杯子，里面的水有多有少，為了使杯中水一樣多，就將水多的杯子里的水倒進水少的杯子里，反復(fù)幾次，直到幾個杯子里的水一樣多。這就是我們所講的“移多補少〞，通常稱之為平均數(shù)問題。解答平均數(shù)應(yīng)用題關(guān)鍵是要求出總數(shù)量和總份數(shù)，然后再根據(jù)“總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)〞這個數(shù)量關(guān)系式來解答。39新增兩個概念中位數(shù)：n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)〕叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。40〔例1〕某3個數(shù)的平均數(shù)是2，如果把其中一個數(shù)改為4，平均數(shù)就變成了3。被改的數(shù)原來是多少？分析：原來三個數(shù)的和是2×3=6，后來三個數(shù)的和是3×3=9，9比6多出了3，是因為把那個數(shù)改成了4。因此，原來的數(shù)應(yīng)該是4－3=1。41〔例2〕五一班同學(xué)數(shù)學(xué)考試平均成績91.5分，事后復(fù)查發(fā)現(xiàn)計算成績時將一位同學(xué)的98分誤作89分計算了。經(jīng)重新計算，全班的平均成績是91.7分，五一班有多少名同學(xué)？分析：98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成績上升91.7－91.5=0.2〔分〕。9里面包含有幾個0.2，五一班就有幾名同學(xué)。42行程問題43行程問題專題簡析：我們把研究路程、速度、時間這三者之間關(guān)系的問題稱為行程問題。行程問題主要包括相遇問題、相背問題和追及問題。解答行程問題時，要理清路程、速度和時間之間的關(guān)系，緊扣根本數(shù)關(guān)系“路程=速度×?xí)r間〞來思考，對具體問題要作仔細分析，弄清出發(fā)地點、時間和運動結(jié)果。44例1：王欣和陸亮兩人同時從相距2000米的兩地相向而行，王欣每分鐘行110米，陸亮每分鐘行90米。如果一只狗與王欣同時同向而行，每分鐘行500米，遇到陸亮后，立即回頭向王欣跑去；遇到王欣后再回頭向陸亮跑去。這樣不斷來回，直到王欣和陸亮相遇為止，狗共行了多少米？分析與解答：要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的時間。根據(jù)題意可知，狗的速度是每分鐘行500米，關(guān)鍵是要求出狗所行的時間，根據(jù)題意可知：狗與主人是同時行走的，狗不斷來回所行的時間就是王欣和陸亮同時出發(fā)到兩人相遇的時間，即2000÷〔110＋90〕=10分鐘。所以狗共行了500×10=5000米。45例2：甲、乙兩沿運動場的跑道跑步，甲每分鐘跑290米，乙每分鐘跑270米，跑道一圈長400米。如果兩人同時從起跑線上同方向跑，那么甲經(jīng)過多長時間才能第一次追上乙？分析與解答：這是一道封閉線路上的追及問題。甲和乙同時同地起跑，方向一致。因此，當(dāng)甲第一次追上乙時，比乙多跑了一圈，也就是甲與乙的路程差是400米。根據(jù)“路程差÷速度差=追及時間〞即可求出甲追上乙所需的時間：400÷〔290－270〕=20分鐘。46例3一列火車長180米，每秒鐘行25米。全車通過一條120米的山洞，需要多長時間？分析由于火車長180米，我們以車頭為準(zhǔn)，當(dāng)車進入山洞行120米，雖然車頭出山洞，但180米的車身仍在山洞里。因此，火車必須再行180米，才能全部通過山洞。即火車共要行180＋120=300米，需要300÷25=12秒。47稱球問題〔找次品〕48稱球問題稱球問題是一類傳統(tǒng)的趣味數(shù)學(xué)問題，它鍛煉著一代又一代人的智力，歷久不衰。49［經(jīng)典例題］例1有4堆外表上一樣的球，每堆4個。其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每個重10克，次品球每個重11克，請你用天平只稱一次，把是次品的那堆找出來。解：依次從第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4個球，這10個球一起放到天平上去稱，總重量比100克多幾克，第幾堆就是次品球。50例2有27個外表上一樣的球，其中只有一個是次品，重量比正品輕，請你用天平只稱三次〔不用砝碼〕，把次品球找出來。解：第一次：把27個球分為三堆，每堆9個，取其中兩堆分別放在天平的兩個盤上。假設(shè)天平不平衡，可找到較輕的一堆；假設(shè)天平平衡，那么剩下來稱的一堆必定較輕，次品必在較輕的一堆中。第二次：把第一次