D最大值與最小值極值的應用問題

一、最大值與最小值問題

則其最值只能在極值點或不行導點或端點處達到.求函數(shù)最值的方法:(1)

求在內的極值可疑點(2)

最大值最小值端點留意:為極大點為微小點不是極值點2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導數(shù)為0或

不存在的點.1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質.例如

為極大點,

是極大值

是極小值

為極小點,

特殊:

當在內只有一個極值可疑點時,

當在上單調時,最值必在端點處達到.若在此點取極大值,則也是最大值.

(小)對應用問題,有時可依據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大值點或最小值點.(小)例1求函數(shù)上[-2,2]的最值.在[-2,2]上最大值f(-2)=f(2)=11,駐點為x1=-1,x2=0,x3=1令解:由對應函數(shù)值為f(-1)=2,f(0)=3,f(1)=2端點的函數(shù)值為f(-2)=f(2)=11,最小值f(-1)=f(1)=2.(1)建立目標函數(shù);(2)求最值;實際問題求最值應留意:例2將長度等于l的鐵絲分成兩端,一段圍成正方形,另一端圍成圓形.問:兩端鐵絲各為多長時,正方形面積與圓形面積之和最小?當x=(πl(wèi))/(4+π)時,兩者面積之和為令解:由取x

長圍成圓,其半徑為,面積,解得>0,惟一的微小即最小.余下長度為l–x

,圍成正方形,其面積為微小,其面積為最小例3設某商品價格P(q)

=9/2-3q/2萬元/單位,q為需求量.生產總成本為C(q)=1

+q3/2萬元, 問生產多少商品可以獲得最大利潤?解: 利潤＝總收益－總成本,令極大點q=1,生產1個產品可獲最大利潤1萬元.

總收益＝產量（生產量）＊價格設產量為q時的利潤為L(q)例4.

做一容積為V的圓形罐頭筒, 怎樣設計才能使所用材料最省?解:

欲材料最省,則罐頭的總表面積最小.筒底圓半徑為r,高為h,側面積:底面積:體積:令得總表面積:為極小值也是最小值.S在點

這時相應的高為例2.求邊長為a的鐵皮剪去四角折成

一無蓋方盒.如何作才使體積最大解:

設小正方形邊長為x,則盒底邊長為a-2x.因四角小正方形只能在(0,a/2)

內取值.故小正方形邊長為a/6處體積最大.令,得例6甲城乙城相距為a,轎車從甲開往乙.若車每小時燃油費用與車速的立方成正比,固定費用96元/小時.知車速100公里/小時,油費為60元/小時,問車速為何值可使整個行程總費用最小?解:設車速x(km/h),燃油+固定費用=Kx3+96(元/h)車每小時總費用

=6×10-5

x3+96元車全程用了a/x

小時全程總費用L(x)=(6×10-5

x3+96)×a/x

元求導L’(x)=a(12×10-5

x–96/x2)=0車速每小時93公里全程總費用最省.作業(yè)4.5閱讀P106－109

P1091單,2,3

思索題思索題解答結論不成立.因為最值點不確定是內點.例在有最小值，但點擊圖片任意處播放\暫停敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃跑，同時我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘．問我軍摩托車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？例2(1)建立敵我相距函數(shù)關系敵我相距函數(shù)得唯一駐點解:某房地產公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去．當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費．試問房租定為多少可獲得最大收入？解設房租為每月

元，租出去的房子有

套，每月總收入為例3（唯一駐點）故每月每套租金為350元時收入最高.最大收入為例3續(xù)點擊圖片任意處播放\暫停例4如圖,例4解解得例4解續(xù)庫存費用:P24例2.某廠每年供應市場某型號車床a臺,分若干批生產,解:總費用:每年生產準備費為:庫存量為每年生產批數(shù)為:設批量為x,庫存費與生產準備費為P(x).每批次的生產準備費為b元.產品勻整投放市場,且上一批費與生產準備機動書目上頁下頁返回結束用完后立刻生產下一批,即平均庫存為批量的一半.設每年每臺庫存費為為c元.明顯,生產批量大則庫存費高;生產批量少則批數(shù)增多,生產準備費高.問如何生產使一年中庫存費的和最小.P170例4解:又因一年中庫存費與生產準備費之和最小的最優(yōu)批量應為:故舍去.每批生產多少臺時,P(x)最小?量x的函數(shù)關系為一年中庫存費與生產準備費的和P(x)與每批產c為每臺產品的庫存費,在不考慮生產實力的條件下a為年產量,b為每批次的生產準備費,(k

為某一常數(shù))例5.

鐵路上AB段的距離為100km,工廠C

距A處20AC⊥

AB,要在AB

線上選定一點D

向工廠修一條

已知鐵路與馬路每公里貨運價之比為3:5,為使貨D點應如何選取?20解:

設則令得

又所以為唯一的微小點,故

AD=15km時運費最省.總運費物從B運到工廠C的運費最省,從而為最小點,問Km,馬路,例6.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:明顯且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.因此也可通過例6.求函數(shù)說明:求最值點.與最值點相同,由于令(自己練習)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.內容小結1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點:使導數(shù)為0或不存在的點(2)第一充分條件過由正變負為極大值過由負變正為微小值(3)其次充分條件為極大值為微小值(4)判別法的推廣

(Th.3)最值點應在極值點和邊界點上找;應用題可依據(jù)問題的實際意義判別.思索與練習2.連續(xù)函數(shù)的最值1.

設則在點a

處().的導數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導數(shù)不存在.B提示:

利用極限的保號性.P602.

設在的某鄰域內連續(xù),且則在點處(A)不行導;(B)可導,且(C)取得極大值;(D)取得微小值.D提示:

利用極限的保號性.3.

設是方程的一個解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得微小值;(C)在某鄰域內單調增加;(D)在某鄰域內單調削減.提示:A作業(yè)四P168-171閱讀P195

9(4),(8),(10),(12);P19620,23;26;29.

作業(yè)問題35求下列曲線的漸近線：解:36作下列函數(shù)的圖形：解:36作下列函數(shù)的圖形：解:例4設某商品每斤成本為C元,需求函數(shù)為

q=a/(x-C)+b(100-x),其中a,b為正常數(shù).

問x

等于何值時可以獲得最大利潤?解:售出一斤可獲利x–C元,總利潤為令L’(x)=0得惟一駐點x0=50+C/2故L(50+C/2)=a+b(50-C/2)2為最大值.44設某商品需求量Q對價格P的函數(shù)關系為

Q=f(P)=1600(1/4)P求需求Q對于價格P的彈性函數(shù)解:46設某商品的供應函數(shù)Q=2+3P,求供應彈性函數(shù)及P=3時的供應彈性.解:47某商品的需求函數(shù)為Q=Q(P)=75-P2(1)求P=4時的邊際需求，并說明其經(jīng)濟意義；

(2)求P=4時的需求彈性，并說明其經(jīng)濟意義；

(3)當P=4時，若價格P上漲1％,總收益將變更百分之幾？是增加還是削減？(4)當P=6時，若價格P上漲1％,總收益將變更百分之幾？是增加還是削減？(5)P為多少時，總收益最大？解:47解：47解：47解：B9函數(shù)在x=x0處取得極大值則必有[]解:B10是函數(shù)f(x)在x=x0處有微小值的一個[]解:B11函數(shù)在定義域內[]解:B11函數(shù)