第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)應用奈奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性§5-1

系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的固有屬性，與輸入無關。一個系統(tǒng)受到擾動，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當擾動取消后，這個系統(tǒng)又能夠逐漸恢復到原來的起始平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，稱這個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。Mbcoodfabcde條件穩(wěn)定系統(tǒng)b、c——不穩(wěn)定平衡點d、e——規(guī)定偏差邊界穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)另一種表述：

穩(wěn)定性反映在干擾消失后的過渡過程的性質上。在干擾消失的時刻，系統(tǒng)與平衡狀態(tài)的偏差可以看作是系統(tǒng)的初始偏差。因此，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性也可以這樣定義：若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差作用下，其過渡過程隨著時間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復原平衡狀態(tài)的性能，則稱該系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，稱該系統(tǒng)不穩(wěn)定。

§5-2

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件ttt=0t000-＋設系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為輸入:則系統(tǒng)輸出為由拉氏逆變換可得總結:如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點均位于左半s平面，則瞬態(tài)響應的暫態(tài)分量將隨時間而衰減，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。只要有一個極點位于右半s平面，則對應的響應將是發(fā)散的，系統(tǒng)就不能正常穩(wěn)定工作。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數(shù)的極點）全部具有負實部。或者說，特征方程的根全部位于左半s平面。

控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)特征方程式的根全部具有負實部。閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點全部具有負實部（位于左半s平面）。注意：只關心閉環(huán)系統(tǒng)特征根的位置，而不關心特征根的實際大小。§5-3

代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)

線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)特征方程的根都具有負實部。直接求出特征根的實際數(shù)值勞斯穩(wěn)定性判據(jù)（時域）赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù)（時域）奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（頻域，幾何判據(jù)）(1)穩(wěn)定的必要條件：閉環(huán)特征方程中各項系數(shù)>0(2)穩(wěn)定的充分條件：

勞斯陣列中第一列所有項>0勞斯判據(jù)指出：要使全部閉環(huán)特征根s1、s2…sn均具有負實部，必須滿足：一、勞斯穩(wěn)定性判據(jù)Routh穩(wěn)定判據(jù)就是根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程式的各項系數(shù),按一定的規(guī)則排列成Routh表，根據(jù)表中第一列系數(shù)正負符號的變化情況來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞斯陣列如下：

一直計算到最后一行算完為止。然后判斷陣列中第一列系數(shù)的符號。若全部>0,則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)，就為閉環(huán)特征方程在右半s平面上的根數(shù)。解：滿足必要條件

13-23-例3K為何值時，系統(tǒng)穩(wěn)定。勞斯判據(jù)的兩種特殊情況1、若勞斯陣列表中任意一行的第一個元素為零，而其后各元素不全為零時，可用一個很小的正數(shù)來代替第一列等于零的元素，然后再計算其它各元素。勞斯陣列：勞斯陣列的第一列系數(shù)符號不全為正，符號改變兩次，說明系統(tǒng)有兩個正實部的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

勞斯陣列第一列系數(shù)符號改變兩次，系統(tǒng)有兩個右根，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。101由該行的上一行元素來解決：（1）構成輔助多項式，求導，用其系數(shù)代替全為零的行；（2）利用輔助方程，求出這些大小相等且關于原點對稱的特征根。2.某一行所有元素均為零時輔助多項式：\1\3

第一列符號全為正，說明系統(tǒng)無右根，s3行系數(shù)全零，有共軛虛根，可由輔助方程解出。輔助方程：3

8

8\1\6\800

系統(tǒng)臨界穩(wěn)定§5-4

乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)-一、米哈伊洛夫定理

——證明Nyquist判據(jù)的一個引理證明：先看一次式000再來研究零點在右半S平面的一次式00

二、Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)1、反饋系統(tǒng)開環(huán)與閉環(huán)特征方程式-當w從0到變化時，[1+G(jw)H(jw)]圖的原點可認為是對應G(jw)H(jw)圖的(-1,j0)點。1+G(jw)H(jw)對原點的角增量與G(jw)H(jw)對(-1,j0)點的角增量是等價的。1+G(jw)H(jw)G(jw)H(jw)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)表述(一)例5-8K為何值時,系統(tǒng)穩(wěn)定。0-1-33例5-9判別系統(tǒng)穩(wěn)定性-1三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的第二種表述1.

幅角定理(Cauchy定理)設有一復變函數(shù)其中s為復變量，以[s]復平面上的s=+jw表示。設D(s)在[s]平面上為單值連續(xù)函數(shù)，并設[s]平面上解析點s映射到[D(s)]平面上為D(s)，或為從原點指向此映射點的向量D(s)。若在[s]平面上任意選定一封閉曲線Ls，則在[D(s)]平面上必有一相對應的映射曲線LF，也是一封閉曲線。

幅角定理：當解析點s按順時針方向沿Ls

變化一周時，向量D(s)將按順時針方向旋轉N周，即D(s)以原點為中心順時針旋轉N周（曲線LF

順時針包圍原點N次）。

若令Z為包圍于Ls

內的D(s)的零點數(shù)，P為包圍于Ls

內的D(s)的極點數(shù)，則當解析點s按順時針方向沿Ls

變化一周時，向量D(s)

將按順時針方向旋轉的周數(shù)為N=Z-P。簡要說明幅角定理向量D(s)的相位為

假設Ls

內只包圍了D(s)的一個零點zi，其它零極點均在Ls

之外。當s沿Ls

順時針方向移動一周時，向量(s-zi)的相位角變化為-2，而其它各向量的相位角變化為零。向量D(s)的相位角變化為-2，或者說D(s)在[D(s)]平面上沿LF繞原點順時針轉了一周。2.

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)-D(s)的零點為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點，即閉環(huán)特征方程的根；D(s)的極點為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，其閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程1+G(s)H(s)=0的全部根具有負實部，即GB(s)在[s]平面的右半平面上沒有極點，亦即D(s)=1+G(s)H(s)=

DB(s)/DK(s)

在[s]平面的右半平面上沒有零點。為研究D(s)在[s]平面的右半平面上有無零點，可選擇一條包圍整個[s]右半平面的封閉曲線Ls

。

設D(s)=1+G(s)H(s)在[s]平面的右半平面有Z個零點和P個極點，由幅角定理知，當s沿Ls移動一周時，在[D(s)]平面上的映射曲線LF

將順時針包圍原點N=Z-P圈，即在[GH]平面上的映射曲線LGH將順時針包圍（-1，j0）點N（=Z-P）圈。由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是D(s)

在s平面的右半平面上無零點，即Z=0。因此，若G(s)H(s)的Nyquist軌跡逆時針包圍（-1，j0）的圈數(shù)N等于G(s)H(s)在[s]平面的右半平面上的極點數(shù)P時，即－N=P，由N=Z-P，可知Z=0，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。3.

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)表述(二)

當G(s)H(s)在s平面的原點上有極點時，乃式曲線不能經(jīng)過開環(huán)極點。

表明s沿以原點為圓心，半徑為無窮小的右半圓弧逆時針變化(w由0-→0＋，原點被看作s平面上的左根）。s平面曲線s即繞過了G(s)H(s)原點處的極點，又包圍了整個右半s平面。4.

開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)時的Nyquist軌跡設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中λ為系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。當時，

s的第(4)部分無窮小半圓弧在[GH]平面上的映射為順時針旋轉的半徑為無窮大圓弧，旋轉的總弧度為。圖(a)和(b)分別表示當=1和=2時系統(tǒng)的乃氏曲線，其中虛線部分是s的無窮小半圓弧在[GH]平面上的映射。λλ

s沿以原點為圓心，半徑為無窮小的左半圓弧順時針變換(w由0-→0＋，s平面右根）。s平面曲線s繞過了G(s)H(s)原點處的極點，又包圍了整個右半s平面。

s的第(4)部分無窮小半圓弧在[GH]平面上的映射為逆時針旋轉的無窮大圓弧，旋轉的弧度為π。說明：-1-1四、關于Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的幾點說明（1）Nyquist判據(jù)不是在[S]平面而是在[GH]平面內判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。（2）在p=0，即Gk(s)在[s]平面的右半平面無極點時，稱為開環(huán)穩(wěn)定。開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)仍可能穩(wěn)定；開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)也可能不穩(wěn)定。（3）當w從-∞到+∞時，開環(huán)Nyquist軌跡是關于實軸對稱的。（4）系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母反映了系統(tǒng)本身的固有屬性。閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母D(s)=1+G(s)H(s)包圍[D]平面上原點的情況與G(s)H(s)包圍[GH]平面上(-1,j0)點的情況是完全一樣的。（5）Nyquist判據(jù)能指出系統(tǒng)的穩(wěn)定儲備和不穩(wěn)定時閉環(huán)右極點的個數(shù)。§5-5Nyquist判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性

延時環(huán)節(jié)是線性環(huán)節(jié)，機械工程中許多系統(tǒng)中具有這種環(huán)節(jié)。一、延時環(huán)節(jié)串聯(lián)在閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道中時

延時環(huán)節(jié)不改變系統(tǒng)的幅頻特性,僅影響相頻特性，使相位滯后增加。-2、設某閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時的K值范圍。解：+[GH]例5-14-ReIm為了求出該乃氏曲線與實軸相交的最左邊的點，可解得到為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，乃氏曲線不應繞過(-1,j0)點，即得到[例1]某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，且其s右半平面無極點，試用乃氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。ReIm[GH][例2]設Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點，試用乃氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。ReIm·[GH]§5-6

由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、Nyquist圖與Bode圖的對應關系

ReIm二、延時環(huán)節(jié)并聯(lián)在閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道中時--二、利用Bode圖判斷穩(wěn)定性穩(wěn)定不穩(wěn)定ReIm利用Nyquist判據(jù)判斷使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。ReImNyquist曲線剛好通過（-1，j0）點，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

忽略

忽略若采用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍說明：利用Nyquist判據(jù)的結論與利用勞斯判據(jù)所得結論不一致，其原因是Bode圖用的是漸進線，有誤差。只要兩種方法結論一致。負穿越一次正穿越一次負穿越半次正穿越半次ReIm穿越：開環(huán)Nyquist軌跡在點(-1，j0)以左穿過負實軸。正穿越：沿頻率w增加的方向，開環(huán)Nyquist軌跡自上而下（相位增加）穿過點(-1，j0)以左的負實軸。負穿越：沿頻率w增加的方向，開環(huán)Nyquist軌跡自下而上（相位減?。┐┻^點(-1，j0)以左的負實軸。半次正穿越：沿頻率w增加的方向，開環(huán)Nyquist軌跡自點(-1，j0)以左的負實軸開始向下。半次負穿越：沿頻率w增加的方向，開環(huán)Nyquist軌跡自點(-1，j0)以左的負實軸開始向上。在Nyquist圖上在Bode圖上正穿越：在開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內，沿w增加的方向，對數(shù)相頻特性曲線自下而上穿過-1800線。負穿越：在開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內，沿w增加的方向，對數(shù)相頻特性曲線自上而下穿過-1800線。半次正穿越：在開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內，沿w增加的方向，對數(shù)相頻特性曲線自-1800線開始向上。半次負穿越：在開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內，沿w增加的方向，對數(shù)相頻特性曲線自-1800線開始向上。正負穿越之差為零，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定只有半次正穿越，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定-正負穿越之差為1-2=-1系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定正負穿越之差為2-1=1系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定---§5-7

控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性一、利用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)相對穩(wěn)定性

[S]jw這便是通常所說的相對穩(wěn)定性，它通過對（-1，j0）點的靠近程度來度量。定量表示為：二、利用乃氏判據(jù)分析系統(tǒng)相對穩(wěn)定性ReIm·1、相位裕量

正相位裕量ReIm具有正相位裕量的系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，而且還有相當?shù)姆€(wěn)定儲備，可以在的頻率下，允許相位再增加度才達到臨界穩(wěn)定。A··2、幅值裕量當時，開環(huán)幅頻特性

的倒數(shù)。在Bode圖上：

正相位裕量線以上正幅值裕量0dB線以下正幅值裕量ReIm···負幅值裕量負相位裕量線以下負幅值裕量0dB線以上負相位裕量具有負幅值裕量及負相位裕量時，閉環(huán)不穩(wěn)定。ReIm··

工程實踐中，為使系統(tǒng)有滿意的穩(wěn)定儲備，一般希望：

如果僅以相位裕量來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,就會得出系統(tǒng)穩(wěn)定程度很高的結論,而系統(tǒng)的實際穩(wěn)定程度絕不是高,而是低。必須同時根據(jù)相位裕量和幅值裕量全面地評價系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性,避免得出不合實際的結論。幅值裕量較大，但相位裕量小于300，相對穩(wěn)定性不夠滿意K=1008dBK=10系統(tǒng)不穩(wěn)定-12dB說明：

1、當

>0，Kg>0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，是對最小相位系統(tǒng)而言，對于非最小相位系統(tǒng)不適用；2、衡量一個系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須同時用相位裕量和幅值裕量兩個量；3、具有上述穩(wěn)定裕量的最小相位系統(tǒng)，即使開環(huán)增益或元件參數(shù)有所變化，也能使系統(tǒng)保持穩(wěn)定；4、對于最小相位系統(tǒng)，開環(huán)幅頻特性和相頻特性有一定的關系，要求系統(tǒng)具有300~600的相位裕量，意味著幅頻特性曲線在剪切頻率wc附近處的斜率大于-40dB/dec。為保持系統(tǒng)穩(wěn)定，在wc處曲線應以斜率-20dB/dec穿越為好。因為當斜率-20dB/dec穿越時，對應的相角在900左右，考慮到還有其它因素的影響，就能滿足上式?！?-8二階系統(tǒng)頻域與時域的關系(補充)二階系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為

開環(huán)幅頻特性：開環(huán)相頻特性：×-在w=wc時，A(wc)=1二階系統(tǒng)的相位裕度為：

Mp

與Mp都只是阻尼比的函數(shù)。增加時，Mp減小。相位裕度γ可反映時域中超調量Mp的大小，是頻域中的平穩(wěn)性指標。1.相位裕度與超調量Mp%的關系2.

、wc

與ts關系二階系統(tǒng)調節(jié)時間：若γ一定，wc與ts成反比，wc越大，ts越小。開環(huán)頻域指標wc可反映系統(tǒng)響應快速性，是頻域中的快速性指標。習題1：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖如下圖所示。試確定K和a取何值時，系統(tǒng)將維持以w=2rad/s的持續(xù)振蕩。解：由已知條件知，系統(tǒng)特征方程一定存在一對共軛純虛根，s1,2=j2。系統(tǒng)的特征方程為列寫Routh表如下：只有當Routh表中的s1

行的元素全為時，該特征方程才會有一對共軛純虛根。令