初中數(shù)學專題訓練-三角形-等腰三角形的判定

精品設計精品設計例01．如圖，在ABC中，BDDC，12.求證：ABAC.ABD和ADCAB.解答作DEAB，DFAC，垂足分別是E、???12，???DEDF（角平分線上的點到角兩邊距離相等）在RtBDE和RtCDF中，BDDC（已知）DEDF（已證）?RtBDERtCDF(HL)?BC（全等三角形的對應角相等），?ABAC（等角對等邊）分析要證ABAC,可證BC,但它們所在的兩個三角形:不能直接證明全等，必須構造另外的全等三角形.可作DEAB,DF說明本題還可以這樣考慮：因為AD是中線，所以把AD延長輔助線的方法:倍長中線法.如下圖，延長AD到E，使DEABD.這也是常用的作ECD.例02.如圖，在ABC中，已知BO,CO分別平分ABC和ACB且已知AB8cm,AC6cm.求：ADE的周長.，DE//BC.并分析：由BO、CO平分分析：由BO、CO平分

等腰三角形.即有DBDO,解答：???B0平分ABC分析：由已知ABACAF，只需證FFEC與RtDEB要證AD分別是RtDEBFECF2.又F的一個銳角，而它的另一銳角B與C相等，所以由等角的90與2ABC和ACB，和DE//BC，可知，BDO與CEO是EOEC，所以ADE的周長就是AB與AC的和.（已知），?ABOCBO（角平分線定義）.又?DE//BC（已知），?DOBOBC（兩直線平行，內錯角相等）?DBODOB（等量代換）.?BOOD（等角對等邊）同理可證：OEEC.?ADDEAEADDBECAE8614cm說明：在三角形中，出現(xiàn)角平分線和平行線就有可能出現(xiàn)等腰三角形.等角對等邊是證明線段相等的重要定理.當兩條線段出現(xiàn)在同一三角形中時，首先要考慮它們所對的角是否相等.例03.如圖，已知：在ABC中,ABAC,D是AB上一點，經(jīng)過D作DEBC，E是垂足，并與CA的延長線相交于F.求證：ADAF.余角相等，不難得出結論.證明：在ABC中，ABAC（已知），???BC（等邊對等角）???DEBC（已知），???DEBDEC90（垂直定義）在RtFEC中，F(xiàn)180(DECC)90C（三角形內角和定理）同理2180(DEBB)90B???F2（等量代換）又?21（對頂角相等）?F1（等量代換）?AFAD（等角對等邊）ACBC，AD是角平分線.例04.如圖，在ABC中，已知C90求證：ACBC，AD是角平分線.分析：線段AC和DC不在線段AB上，要想證明ABACCD，應想辦法把AC轉移到AB上，即把AB分為兩部分，其中一部分等于AC，而另一部分等于CD，即采用截取法，在AB上截取AEAC，則易證得ADCADE，由此得DCDE，CDEB90，由已知條件容易看出BBDE45，.?.DEBE.由此可證得本命題.證明：在AB上截取AEAC，連結DE，在ACD和AED中，ACAE（已作）CADEAD（角平分線定義）ADAD（公共邊）.??ACDAED(SAS)CDDE,AEDC90（全等二角形的對應邊相等，對應角相等）???ABC是等腰直角三角形（已知），???BCAB45（等邊對等角），.BDE45，.DEBE（等角對等邊）.ABAEBEAEDEACCD.說明：證明一條線段等于另兩條線段的和，往往要把一條線段分成兩條線段，即采用截取的方法，另外也可以把兩條線段接在一起，即采用延長的方法.本題中，也不妨延長AC到F,使CFCD，連結DF，再證明ADFADB，得出ABAF，即ACCDAB.例05．如圖，已知：在ABC中，BAC90，ADBC，求證：AEAF.AEF190分析：要證AEAF.因為ADAEF190分析：要證AEAF.因為AD2BFD.于是可證得AEFBFDAFE.BC，可知，證明：?BAC90（已知），.1AEF90（直角三角形的兩個銳角互余）.ADBC（已知），.2BFD90（直角三角形的兩個銳角互余）12（已知），.AEFBFD（等角的余角相等）BFDAFE（對頂角相等）???AEFAFE（等量代換）??.AEAF（等角對等邊）說明：（1）當要證的兩條線段是一個三角形的兩條邊時，可考慮證它們所對的角相等，這樣就把線段相等轉化為證兩角相等.（2）此題也可由AEBC2，AFE1BAD，推出只需證明CBAD.就可以.（3）直角三角形斜邊上的高是一個在題目中經(jīng)常出現(xiàn)的重要圖形，目前要記住這個圖形中的重要結論：如此題圖中的BADC，CADABC.例06．如圖，已知：在ABC中，ABAC.DBCDCB求證：AD平分BAC.分析：要證AD平分BAC.即要證明BADCAD,不妨考慮先證ABDACD，則由等腰三角形不難找出ABD和ACD全等的條件.證明：?.?ABAC（已知），ABCACB（等邊對等角）,又?DBCDCB（已知）,BDDC（等角對等邊）ABCDBCACBDCB.即ABDACD.在ABDACD中,ABAC（已知）ABDACD（已證）BDCD（已證）ABDACD（SAS）,BADCAD（全等三角形的對應角相等）即AD平BAC.說明：由等腰三角形的判定,也可以給三角形全等提供條件.例07.如圖，已知：ABC是等邊三角形，D為AC上一點，且ABDACE,BDCE.求證：ADE為等邊三角形.分析：由已知條件容易證出ABDCEA，則有BADCAE60，ADAE，所以根據(jù)有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形可證出ADE是等邊三角形.證明：???ABC是等邊三角形（已知），.??BAC60,ABAC（等邊三角形的性質）在ABD和ACE中，ABAC（已證）ABDACE（已知）BDCE（已知）.??ABDACE（SAS）?BADCAE60，ADAE（全等三角形的對應邊相等，對應角相等）.??ADE是等邊三角形（—個角等于60的等腰三角形是等邊三角形）.例08．如圖，已知：在ABC中，BAC90，ABCACB.ABC的平分線BD交AC于D,從點C向BD的延長線作垂線CE，垂足為E.求證：BD2CE.分析：由此圖不能證得BD2CE，考慮引輔助線，構造一條線段使它能夠等于2CE,且能等于BD,即使用延長法，延長BA,CE交于點F,證明FC2CE，這一點可通過證明BFEBCE得到.再證明FCBD，這—點可通過證明FACDAB得到，由此可證得BD2CE.證明：延長BA,CE相交于點F.BD平分ABC（已知），.??FBECBE（角平分線定義）BECE（已知），.?.BECBEF90（垂直定義）在BFE和BCE中，F(xiàn)BECBE（已證）BEBE（公共邊）BEFBEC（已證）???BFEBCE（ASA）??.FECE（全等三角形的對應邊相等）?FC2CE.在RtBFE中，F(xiàn)BEF90（直角三角形的兩個銳角互余），在RtBAD中，F(xiàn)BEBDA90（直角三角形的兩個銳角互余）FBDA（同角的余角相等）又???ABCACB（已知），ABAC（等角對等邊）在BAD和CAF中，BADCAF90（已知）BDAF（已證）ABAC（已證）?BADCAF(AAS)BDCF（全等三角形的對應邊相等）BD2CE（等量代換）說明：此題中注意輔助線的作法：即延長BA與CE相交于點F.在實際解題過程中容易犯下這樣的錯誤：即延長CE到F,使CEEF,連結A、F,再證明BCEBFE.這兩種作法看似相同，卻有本質差別，在后者中，因不知B、A、F是否在同一直線上，所以不能確定圖形BEF是否為三角形，所以后者的作法是錯誤的.例09．如圖,已知：在ABC中,B2C,AD為BC邊上的高.求證：CDABBD.分析：CD和BD都在直線BC上,若BD成為CD上的一部分時，只要證明另一部分與AB相等就可以了.那么在DC上截取DEBD，由已知條件易證ABDAED，因此有ABAE,BAED，那么由角之間的條件，可證明AECEAB,因此此題可證得.證明：在DC上截取DEBD，連結AE.在ABD和AED中，

BDDE（已作）ADBADE90（三角形高的定義）ADAD（公共邊）???ABDAED（SAS）???AEBB,ABAE（全等三角形的對應角相等，對應邊相等）而ABECEAC（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和）又ABEB2C（已知），???EACC.??AEEC（等角對等邊）.???ABEC（等量代換）???CDDEECABBD.例10?如圖，已知：在等腰三角形ABC中，AD為底邊BC的中線，0為AD上任意一分析：要證明EF//BC，就需證明同位角相等，或內錯角相等，或同旁內角互補.那么因為ABC為等腰三角形，若能證得AEF也是以EF為底的等腰三角形就可以證出，那么怎么證明AEF是等腰三角形呢？由給出條件容易證得，B0DC0D，從而有OBOC，OBDOCD.由此，還可以證明OEBOFC，所以有BECF.因此就可證明AEAF.證明：?ABAC，AD為底邊BC的中線（已知），?ADBC,BDCD（等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高重合）在BOD與COD中，BDCD（已證）BDOCDO90（垂直定義）0D0D（公共邊）.??BODgCOD（SAS），0B0C,0BD0CD（全等三角形的對應邊相等，對應角相等）?.?ABAC（已知），ABCACB（等邊對等角），

?ABCOBDACBOCD，即EBOFCO.在EOB和FOC中，EBOFCO（已證）OBOC（已證）BOECOF（對頂角相等）?EOBFOC(ASA)?BECF（全等三角形的對應邊相等）?ABBEACCF，即AEAF.?AEFAFE（等邊對等角）?AEF180BAC2，同理，因ABCACB，?ABC180BAC2，?AEFABC9???EF//BC（同位角相等，兩直線平行）.說明：（1）在證出AEAF后，也可由AD是BAC的角平分線，所以AFEF,又ADBC,從而證明EF//BC.（2）證厶ABF^△ACE比證EOBFOC（ASA）更簡捷些.（3）由本題可知，如果兩個等腰三角形的腰都在同一直線上，則它們的底邊平行.已知：如圖，AB=AD,ZB=ZD.求證：CB=CD.分析：解具體問題時要突出邊角轉換環(huán)節(jié)，要證CB=CD，通常在三角形中求解，需構造一個以CB、CD為腰的等腰三角形，連結BD，需證ZCBD=ZCDB，但已知ZB=ZD,由AB=AD可證證明：連結BD，在ABD中，ABAD（已知）ADBABD（等邊對等角）ADCABC(已知)ADCADBABCABD即BDCBCDC（等角對等邊）ZABD=ZADB，從而證得ZCDB=ZCBD，推出CB=CD.DBC小結：求線段相等一般在三角形中求解，添加適當?shù)妮o助線構造三角形，找出邊角關系.初中數(shù)學初中數(shù)學已知：如圖在△ABC中，AC=BC,ZACB=120°CE丄AB于D且DE=DC。求證：ACEB為等邊三角形。CB分析：證明等邊三角形有推論1，2兩個定理依據(jù)，因此要尋找定理需要的條件.CB證明：???AC=BC,CE丄AB于D???CD平分ZACB（等腰三角形底邊的高平分頂角）VZACB=120°ECB丄ACB2600（角平分線）DEDC（已知）在DEB和DCB中CDBBDE900（垂直定義）BDBD（公共邊）DEBDCB(SAS)BCBE(推論2)CEB是等邊三角形.小結：也可由三個角都相等推出△CBE是等邊三角形。已知：如圖△ABC中ZA=2ZB、CD平分ZACBO求證：BC=AC+AD分析：等量關系通常在三角形中尋找，因此經(jīng)常需要構造三角形。對于線段和或差的問題通常通過截長或補短轉化為線段間的等量關系證法1：（截長法）在BC上截取CE=CA連結DE。???CD平分ZACB.\Z1=Z2在AACD和AECD中ACEC（已作）1（2已證）CDCD（公共邊）ACDECD(SAS)A3，AD=DEA2B32B3B4B4BE=DEAD=BEBC=BE+EC口BC=AC+AD口證法2：延長CA到E,使AE=BD連結DE初中數(shù)學初中數(shù)學精品設計精品設計由條件推出△CEDQACBD(SAS)???CE=CBZE=ZBVZ3=2ZBAZ3=2ZEAZ4=ZE???AE=AD???EC=AC+AE?BC=AC+AD小結：對于線段之間倍半關系，常采用“截長補短”等輔助線的添加方法，或構造“倍”，或構造“半”，從而轉化為線段間的等量關系.已知：如圖△ABC中ZA=2ZB、CD平分ZACBO求證：BC=AC+AD分析：等量關系通常在三角形中尋找，因此經(jīng)常需要構造三角形。對于線段和或差的問題通常通過截長或補短轉化為線段間的等量關系。A證法1：（截長法）在BC上截取CE=CA連結DE。???CD平分ZACB.\Z1=Z2在AACD和AECD中ACEC（已作）1（2已證）CDCD（公共邊）ACDECD（SAS）A3，AD=DEA2B32B3B4B4BE=DEAD=BEBC=BE+ECBC=AC+AD證法2:延長CA到E,使AE=BD連結DEE由條件推出△CEDQACBD（SAS）???CE=CBZE=ZBAVZ3=2ZBAZ3=2ZEAZ4=ZE???AE=AD???EC=AC+AE??BC二AC+AD小結：對于線段之間倍半關系，常采用“截長補短”等輔助線的添加方法，或構造“倍”或構造“半”，從而轉化為線段間的等量關系.—輪船由西向東航行，在A處測得小島P的方位是北偏東75。，又航行7海里后，在B處測得小島P的方位是北偏東600,若小島周圍3.8海里內有暗礁，問該船一直向東航行有無觸礁的危險。分析：本題是特殊的實際問題，首先根據(jù)題意畫出符合實際條件的圖形，然后用數(shù)學知識來解決。因為小島周圍3.8海里內有暗礁，這樣要求出小船距小島的最短距離是大于3.8海里還是小于3.8海里。如圖所示也就是求出PC的長度即可。解：由題可畫圖，則AB=7海里過點P作PC丄AB,垂足為C.由題中分別在A、B兩測得P的方位角可知：ZPAB=150，ZPBC=300/.ZAPB=ZPBC-ZPAB=15。.\ZPAB=ZAPB.\PB=AB=7在RtAPBC中，???ZPBC=3Oo11.\PC=yPB=27=3.522就是說C點距P只有3.5海里，而小島P周圍3.8海里內有暗礁，所以該船一直向東航行有觸礁的危險.小結：在平面上用角度表示方向的問題，是常見的問題.雖然在第—冊中已見過—些，在這里還要進—步講清怎樣用角度表示平面內的方向問題。如圖，在△ABC中，AB=AC，D在AB上,E在AC的延長線上,DE交BC于F，且CE=BD，求證：DF=EF分析：要證DF=EF，其中DF在AEDF中，EF在ACEF中，而AEDF與厶CEF不可能全等，這樣需添加輔助線，由于輔助線的作法有多種情況，致使本題有多種解法。證法1：過D點作DGIIAE交BC于G，則Z4=Z5，,Z1=ZE，Z3=Z2???AB=AC?\ZB=Z4?\ZB=Z5.\BD=DG???BD=CE???DG=CE在厶DFG與AEFC中231EDGCE???△DFGQAEFC?DF=EF證法2：過E點作EGIIAB在厶DFG與AEFC中231EDGCE???△DFGQAEFC?DF=EF證法2：過E點作EGIIAB交BC的延長線于G,ZB=ZG???AB=AC/.ZB=ZACBVZACB=ZECG/.ZECG=ZG???EG=EC?/BD=EC.?.BD=EG在厶BDF與AGEF中BFDEFGBDEG???△BDFQAGEF?DF=EF證法3:過D點作DG丄BC垂足為G,過E作EH丄BC,垂足為H則ZDGB=ZEHC=90°,VAB=AC.\ZB=Z1?ZB=Z1VZ1=Z2B2在厶BDG與厶CEH中,DGBEHCBDEC???△BDGQACEH(AAS)???DG=EHDGFEHC在和AEHFDGFEHC在和AEHF中，3DGEH???△DGFQAEHF(AAS)?DF=FE小結：這是一道隨著輔助線的不同畫法而得到多種解法的一題多解題目,有助于培養(yǎng)發(fā)散思維和創(chuàng)新思維能力。這也是本題的創(chuàng)新之處。選擇題1．選擇題下列命題是假命題的是()(A)有兩個內角是70與40的三角形是等腰三角形

（B）一個外角的平分線平行于一邊的三角形是等腰三角形（C）有兩個內角不相等的三角形不是等腰三角形（D）有兩個頂點不同的外角相等的三角形是等腰三角形（2）如圖，等邊ABC中，高AD、BE相交于F點，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（）（A）3（B）4（A）9（B）7（C）6（（A）9（B）7（C）6（4）如圖，ABC中，ABAC則BDC的度數(shù)是（）D）5A50，點D在ABC內部，且DBCDCA，A）130（B）655）在等腰三角形中，已知兩底角之和等于頂角的2倍，那么這個三角形是（）（A）直角三角形（B）鈍角三角形（C）等邊三角形（D）是銳角三角形但不是等邊三角形6）下列命題中的假命題是（）（A）等腰三角形是銳角三角形（B）等腰直角三角形是直角三角形（C）等邊三角形是等腰三角形（D）等邊三角形是銳角三角形7）已知直角三角形中30角所對的直角邊長是2厘米，則斜邊的長是（）（A）2厘米（B）4厘米（C）6厘米（D）8厘米（8）如圖，已知：在ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，MN/BC，MN經(jīng)過點O，若經(jīng)過點O，若AB12，ACA）15（B）189)如圖，已知：在等腰直角三角形ABC中，C90，AD2CD，則DAB的度數(shù)為()A)60A)60B)E是BC延長線上的一點，CE3(D)32壯(10)如圖，已知：ABC是周長為6cE是BC延長線上的一點，CE3(D)32壯參考答案：1．選擇題(1)C(2)D(6)A(7)B(3)B(8)D(4)D(9)D(5)C(10)B填空題(A)2、淪(B)1．填空題B50，若AC2cm，則A(1)在ABC中，AB2cmCB50，若AC2cm，則A2)底角等于頂角的一半的等腰二角形是二角形.3)3)如圖，已知BAC(4)如圖，已知在ABC中，ABAC，BD和CE為角平分線，則圖中有個等腰二角形.(5)如圖，已知AD果ECADC都是等腰直角三角形.如ABCBC(5)如圖，已知AD果ECADC都是等腰直角三角形.如ABCBC15BDAC于點D，則BD參考答案：1．填空題(1)參考答案：1．填空題(1)80；50；2cm2)等腰直角(3)3(4)填空題5)56)2cm1．填空題(1)如圖，已知：ABC是等邊三角形，AB5cm，ADBC，DEAFAD，則BAD___，ADF_，BDFDC.AB，cm，2)如圖，已知：在ABC交2)如圖，已知：在ABC交AC于E,若DE7cm，AE5cm，則ACcm.TOC\o"1-5"\h\z一輛汽車沿30角的山坡從山底開到山頂，共走了4000米，那么這座山的高度是米.—等腰三角形的一個底角為30，底邊上的高為9cm，則這個等腰三角形的腰長是cm，頂角是.ABC為等邊三角形，D為BC邊上的一點，DE//AB，交AC于點E,則EDC為三角形.在ABC中，B30，C45，若ADBC，D為垂足，CD1，則AB.參考答案：1．填空題(1)30；75；2.5；15(2)12(3)2000(4)18；120(5)等邊(6)2填空題1.填空題在直角三角形ABC中，C90，如果B2A，那么AABBC.等腰直角三角形底邊長為8cm，則底邊上的高為cm.3)如圖，已知：ACACB在直角三角形ABC中,BEBC90，ADAC(4)則ECD如圖，已知：(5)ADE如圖，已知：82，AED在BD48，則BACAECE（6）等邊三角形ABC的邊長是1，AD為BC邊上的高，那么BADBD.參考答案：1．填空題（1）30；2（2）4（4）45（5）1153)4(6)30;23.13等腰三角形的判定習題精選1、在下列命題中：①有一個外角是1200的等腰三角形是等邊三角形②有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形③有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是邊三角形④三個外角都相等的三角形是等邊三角形其中正確的命題有（）A、4個B、3個C、2個D、1個2、如圖，在△ABC中，ZA=360ZACB=720BD平分ZABC，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（）A、0B、1C、2D、33、如圖，△ABC和ACDE均為等邊三角形，A、E、D在同一直線上，且ZEBD=620，則ZAEB的度數(shù)是（）A、1120B、1220C、1320D、1280提示：由^AEC—△BDC得ZBDC=ZAEC=120。從而ZBDE=60。，故ZAEB=12204、如圖，△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交于點0,給出下列四個條件：①ZEB0=ZDC0;②ZBE0=ZCD0;③BE=CD;④0B=0C（1）上述四個條件中，哪兩個條件可判定△ABC是等腰三角形（用序號寫出所有情況）（2）選擇第（1）小題中的一種情形，證△ABC是等腰三角形5、在厶ABC中，ZA：ZB：ZC=1:2：3且BC=4，則AB=6、如圖求ZBOD已知等邊△ABC和等邊△CDE,B,C,度數(shù)。7、如圖，AD//BC,AB=AD+BCE為CD的中點,求證：AE平分ZBAD.答案：l.C;2.D3.B提示：由厶AEC^△BDCAD故ZAEB=1220；4.(1)解：①③；①④；②③；②④四種情況(2)證明滿足①③的情形證明：在△BOE和ACOD中，???△BOE^△COD（AAS）???OB=OCBOECOD（對頂角相等）EBODCO（已知）BECD（已知）全等三角形的對應邊相等)

等邊對等角)?ZOBC=ZOCB?ZEBO+ZOBC=ZDCO+ZOCB即ZABC=ZACB?AB=AC（等角對等邊）即厶ABC是等腰三角形5.8；6.提示：證AACD^△BCE,ZBOD=12Oo；ZDAF=ZAFB=ZFAB.解答題7?提示：延長AE交BC的延長線于F,先證△ADE^△FCE(AAS),再證AB=BF，從而1.計算題⑴如圖，已知，在ABC中，A60，高BD,EC相交于點H,且HD1,HE2.求BD,CE的長.30，CDAB，DEBCBAC是（3）如圖，已知:在ABC中,30，CDAB，DEBCBAC是（3）如圖，已知:在ABC中,AD交AC于F,又AE6.求:四邊形AFDE的周長.的平分線，DE//AC交AB于E,DF//AB（4）如圖，在ABC中求EDC的度數(shù).，且AEAD（2）如圖，已知：在RtABCD、E是垂足，AB24cm.求BE.參考答案1．計算題(1)解:由A60,CEAB,BDAC可知，EBHHCD30所以RtBEH中有BH2EH4，RtHCD中，CH2HD2.??.BDBHHD415CECHHE224

(3)解：AD為角平分線，且DE//AC,DF//AB易知BADADEADFFAD,?.AEEDDF，AFDEDF，6.又由已知條件易證aedafd,??.af因此四邊形AFDE的周長為6424.AE(4)解：設EDCx2,由已知條件易知BC，ADEAED所以有ADEADCxBBADxC30xAEDCx.即有C30xCx，解得x-5.(2)解：由已知條件易知BC2ABl2cm-則在RtBCD(2)解：由已知條件易知BC2ABl2cm-則在RtBCD中，也有BD-BC6cm，最后，在Rtbde中，有be-BD3cm.解答題-．證明題ABC和ACB的外角平分線的交點，DE//BC，交AB(-)如圖，已知：點DABC和ACB的外角平分線的交點，DE//BC，交AB求證：EFBECF.⑵如圖，已知：BO、CO分別為ABC和ACB的平分線，OE//AB,OF//AC.，D，D是BC上的一點，DEAB，DFAC，垂足分別為E、F.求證：DEDF（4）如圖，已知：在AB的延長線上取點E,使BE

求證：AFFDFC.C，ADBC于D，在ED，直線ED交AC于點F.5）如圖，已知：在ABCBDAF于D，CEAF求證：DE（6）如圖PDAC.求證：CD于E.P為BC邊的中點，3AD（7）如圖求證：BC已知：在等邊三角形ABC中，D為AB中點，DE4BE.BC于E.8）如圖，已知：在ABC，CD平分ACB.求證：AD2BD9）如圖，已知：求證：ACAD10)如圖，已知：CBD求證：ABAC參考答案：1．證明題（1）證明：由已知條件易知FCDFDC,因此有FCFDEDB

CFCFDE（2）證明：由已知條件易知：OBE

OF.所以OEOFEFBE（3）證明：由已知條件易知■!bd2（4）BC2ADF互余,AFDFFC（5）證明ADCEDEAEDF2DC?所以DE

明：因為ABC

2C因此EC與CAC由已知條件易證6）證明：EBD.所以BCBOE9EFC30■!bd2CFBDFADAECEABD連結AP，則易知CEBDE,所以有BEED,同理易知：EDOCFBC.,DE■!dc2FDEFFOC，所以有BEOE，BDEFDCADFAB,■!bc2易知又?所以DFDAC,CAE30,??.AP2acDFAC,所以有EBDE,?CF.又?.?FDC與?DFAF,即有同理，由已知條件易知AD2八卩，???有人。4AC，即人'4AD.因為CDACAD4ADAD3AD（7）證明：連結CD，則易知BC2BD,BD2BE，所以BC4BE.（8）證明：作DEAC于E,則易證DCBDCE，所以BDDE.在RtADE中，有2DEAD，?AD2BD.（9）證明：???BCBD，???BCDBDC9?ACBBCDADBB