概率論 第3節(jié) 古典概型

一、古典概型二、典型例題三、幾何概率四、小結(jié)第三節(jié)古典概型1.定義一、古典概型

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間由n個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成，A為E的任意一個(gè)事件，且包含

m個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A出現(xiàn)的概率記為:2.古典概型中事件概率的計(jì)算公式稱此為概率的古典定義.

二、典型例題例1從標(biāo)號為1,2，…，10的10個(gè)同樣大小的球中任取一個(gè)，求下列事件的概率：A：“抽到2號”B：“抽中奇數(shù)號”C：“抽中的號數(shù)不小于7”解：P(A)=1/10P(B)=5/10P(C)=4/10例2從6雙不同的鞋子中任取4只，求：⑴其中恰有一雙配對的概率；⑵至少有兩只鞋子配成一雙的概率。解：⑴分析：先從6雙中取出一雙，兩只全?。辉購氖Ｏ碌?雙中任取兩雙，每雙中取到一只，則⑴中所含樣本點(diǎn)數(shù)為所以所求概率P＝

＝

⑵設(shè)B表示‘至少有兩只鞋子配成一雙’，則：還能寫出別的表達(dá)式嗎？例3

（分房問題）有n個(gè)人，每個(gè)人都以同樣的概率被分配在N（n

N）間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：

(1)A=“某指定n間房中各有一人”；

(2)B=“恰有n間房，其中各有一人”；

(3)C=“某指定房中恰有m(m

n)人”．解：因?yàn)槊總€(gè)人都可以分配到N間房中任一間，所以n個(gè)人分配房間的方式共有Nn種，即樣本空間中所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為Nn．

(1)A=“某指定n間房中各有一人”，“某指定n間房中各有一人”的分配方法共有n!種，因而事件A中含有n!個(gè)樣本點(diǎn)，于是(2)B=“恰有n間房，其中各有一人”這n間房可自N間中任意選出，共有種選法，因而事件B中含有個(gè)樣本點(diǎn)，于是(3)C=“某指定房中恰有m(m

n)人”事件C中的m個(gè)人可自n個(gè)人中任意選出,共有種選法，其余n–m個(gè)人可以任意分配在其余N–1間房里，共有個(gè)分配法，因而事件C中有個(gè)樣本點(diǎn)，于是例4有六本不同的書，任意分給甲，乙，丙三人，如果每人可得0本，1本，2本，…，6本不限，求下列各事件的概率。（1）甲得3本，乙得2本，丙得1本（2）一人得3本，一人得2本，一人得1本（3）每人各得2本解：（1）

（2）

（3）（分子需要乘以3！嗎？）例5從數(shù)字1,2,…,9中有放回地取出n個(gè)數(shù)字，求取出這些數(shù)字的乘積能被10整除的概率?解：設(shè)n

次抽取中取到可被2整除的數(shù)的事件為A,取到可被5整除的數(shù)的事件為B,則取出的數(shù)的乘積能被10整除的事件為AB,所以有例6若n個(gè)人站成一行，其中有A，B兩人，問（1）夾在A，B之間恰有r個(gè)人的概率是多少？（2）如果n個(gè)人圍成一個(gè)圓圈，求從A到B順時(shí)針方向，A，B之間恰有r個(gè)人的概率？或例7袋中有a只白球，b只紅球，依次將球一只只摸出，不放回。求第k次摸出白球的概率？怎么理解這個(gè)結(jié)果？定義具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為幾何概型：

(1)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為某可度量的區(qū)域

；

(2)

中任一區(qū)域出現(xiàn)的可能性的大小與該區(qū)域的幾何度量成正比而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān)．三、幾何概型對于幾何概型，若事件A是

中的某一區(qū)域，且A可以度量，則事件A的概率為其中，如果

是一維、二維或三維的區(qū)域，則

的幾何度量分別是長度、面積和體積．說明當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無窮多個(gè)時(shí),就歸結(jié)為幾何概型.

那么

兩人會面的充要條件為例10

甲、乙兩人相約在0到T這段時(shí)間內(nèi),在預(yù)定地點(diǎn)會面.先到的人等候另一個(gè)人,經(jīng)過時(shí)間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的,且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽連.求甲、乙兩人能會面的概率.會面問題解故所求的概率為若以x,y

表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo),則有蒲豐投針試驗(yàn)例9

1777年,法國科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗(yàn)問題.平面上畫有等距離為a(a>0)的一些平行直線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為b(b<a)的針,試求針與某一平行直線相交的概率.由投擲的任意性可知,這是一個(gè)幾何概型問題.蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果(直線距離a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smi