文科數(shù)學(xué)-第2篇9講

[最新考綱]1．了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義．2．了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用1．函數(shù)模型及其性質(zhì)比較

(1)幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠0) (2)三種函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)辨析感悟1．關(guān)于函數(shù)模型增長(zhǎng)特點(diǎn)的理解

(1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大． () (2)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增長(zhǎng)速度越來越快的形象比喻． () (3)冪函數(shù)增長(zhǎng)比直線增長(zhǎng)更快． ()×××2．常見函數(shù)模型的應(yīng)用問題

(4)(2013·長(zhǎng)春模擬改編)一個(gè)體積為V的棱錐被平行于底面的平面所截，設(shè)截面上部的小棱錐的體積為y，截面下部的幾何體的體積為x，則y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象可以表示為.()(5)(2014·濟(jì)寧模擬改編)某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是150臺(tái)． ()√√考點(diǎn)一利用圖象刻畫實(shí)際問題【例1】

(2013·湖北卷)小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是 (

)．解析小明勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，所得圖象為一條直線段，且距離學(xué)校越來越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段時(shí)間，與學(xué)校的距離不變，故排除D.后來為了趕時(shí)間加快速度行駛，故排除B.故選C.答案C規(guī)律方法

抓住兩個(gè)變量間的變化規(guī)律(如增長(zhǎng)的快慢、最大、最小等)與函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、最值等)、圖象(增加、減少的緩急等)相吻合即可．【訓(xùn)練1】如圖下面的四個(gè)容器高度都相同，將水從容器頂部一個(gè)孔中以相同的速度注入其中，注滿為止．用下面對(duì)應(yīng)的圖象表示該容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系，其中不正確的有 (

)．

A．1個(gè) B．2個(gè)

C．3個(gè) D．4個(gè)

解析將水從容器頂部一個(gè)孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系可以從高度隨時(shí)間的變化率上反映出來，圖①應(yīng)該是勻速的，故上面的圖象不正確，②中的變化率應(yīng)該是越來越慢的，正確；③中的變化率逐漸變慢，然后逐漸變快，正確；④中的變化率逐漸變快，然后逐漸變慢，也正確，故只有①是錯(cuò)誤的．選A.答案A考點(diǎn)二二次函數(shù)模型【例2】

A，B兩城相距100km，在兩城之間距A城x(km)處建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得小于10km.已知供電費(fèi)用等于供電距離(km)的平方與供電量(億度)之積的0.25倍，若A城供電量為每月20億度，B城供電量為每月10億度．

(1)求x的取值范圍；

(2)把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)；

(3)核電站建在距A城多遠(yuǎn)，才能使供電總費(fèi)用y最少？規(guī)律方法

二次函數(shù)模型的應(yīng)用比較廣泛，解題時(shí)，根據(jù)實(shí)際問題建立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題中的利潤(rùn)最大、用料最省等問題．(1)寫出2014年第x個(gè)月的旅游人數(shù)f(x)(單位：人)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)試問2014年第幾個(gè)月旅游消費(fèi)總額最大，最大月旅游消費(fèi)總額為多少元？規(guī)律方法

(1)很多實(shí)際問題中，變量間的關(guān)系不能用一個(gè)關(guān)系式給出，這時(shí)就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型，如出租車的票價(jià)與路程的函數(shù)就是分段函數(shù)．(2)求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法．在求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值．【訓(xùn)練3】在扶貧活動(dòng)中，為了盡快脫貧(無債務(wù))致富，企業(yè)甲將經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開支3600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)(不計(jì)息)．在甲提供的資料中有：①這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件14元；②該店月銷量Q(百件)與銷售價(jià)格P(元)的關(guān)系如圖所示；③每月需各項(xiàng)開支2000元．(1)當(dāng)商品的價(jià)格為每件多少元時(shí)，月利潤(rùn)扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大？并求最大余額；(2)企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？1．認(rèn)真分析題意，合理選擇函數(shù)模型是解決應(yīng)用問題的基礎(chǔ)．2．要特別關(guān)注實(shí)際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域．3．注意問題反饋，在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性．(1)求炮的最大射程．(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說明理由．

[反思感悟]

(1)函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng)是常見的解題錯(cuò)誤，所以，正確理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型是正確解決這類問題的前提和基礎(chǔ)；(2)本題中有的學(xué)生不能把炮彈擊中目標(biāo)轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一元二次方程有正根問題，導(dǎo)致失分．答題模板解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序：第一步：審題——弄清題意，分清條