D87方向?qū)?shù)與梯

會(huì)計(jì)學(xué)1D87方向?qū)?shù)與梯定理:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,證明:由函數(shù)且有在點(diǎn)P

可微,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故第1頁(yè)/共20頁(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)于二元函數(shù)為,)的方向?qū)?shù)為特別:?當(dāng)l與x軸同向?當(dāng)l與x軸反向向角第2頁(yè)/共20頁(yè)例1.求函數(shù)

在點(diǎn)

P(1,1,1)沿向量3)的方向?qū)?shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:

向量

l

的方向余弦為第3頁(yè)/共20頁(yè)例2.

求函數(shù)在點(diǎn)P(2,3)沿曲線朝x

增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點(diǎn)P

的切向量為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第4頁(yè)/共20頁(yè)例3.設(shè)是曲面在點(diǎn)P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點(diǎn)P處沿求函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第5頁(yè)/共20頁(yè)二、梯度方向?qū)?shù)公式令向量這說(shuō)明方向：f變化率最大的方向模:

f的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第6頁(yè)/共20頁(yè)1.定義即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù)f(P)在點(diǎn)P

處的梯度記作(gradient),在點(diǎn)處的梯度機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量2.梯度的幾何意義第7頁(yè)/共20頁(yè)函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面(或等值線),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束稱為函數(shù)f

的等值線

.則L*上點(diǎn)P處的法向量為同樣,對(duì)應(yīng)函數(shù)有等值面(等量面)當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí),其上點(diǎn)P處的法向量為指向函數(shù)增大的方向.第8頁(yè)/共20頁(yè)3.梯度的基本運(yùn)算公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第9頁(yè)/共20頁(yè)例4.證:試證機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束處矢徑r的模,第10頁(yè)/共20頁(yè)三、物理意義函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場(chǎng)(數(shù)性函數(shù))場(chǎng)向量場(chǎng)(矢性函數(shù))可微函數(shù)梯度場(chǎng)(勢(shì))如:溫度場(chǎng),電位場(chǎng)等如:力場(chǎng),速度場(chǎng)等(向量場(chǎng))注意:

任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是梯度場(chǎng).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè)/共20頁(yè)例5.已知位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷q

在任意點(diǎn)試證證:利用例4的結(jié)果這說(shuō)明場(chǎng)強(qiáng):處所產(chǎn)生的電位為垂直于等位面,且指向電位減少的方向.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第12頁(yè)/共20頁(yè)內(nèi)容小結(jié)1.方向?qū)?shù)?三元函數(shù)在點(diǎn)沿方向l(方向角的方向?qū)?shù)為?二元函數(shù)在點(diǎn)的方向?qū)?shù)為沿方向l(方向角為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第13頁(yè)/共20頁(yè)2.梯度?三元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為?二元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為3.關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在??可微機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束梯度在方向l

上的投影.第14頁(yè)/共20頁(yè)思考與練習(xí)

設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)在點(diǎn)M(1,1,1)處沿曲線在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù);(2)求函數(shù)在M(1,1,1)處的梯度與(1)中切線方向

的夾角

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第15頁(yè)/共20頁(yè)曲線(1)在點(diǎn)解答提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束函數(shù)沿l的方向?qū)?shù)M(1,1,1)處切線的方向向量第16頁(yè)/共20頁(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第17頁(yè)/共20頁(yè)備用題

1.函數(shù)在點(diǎn)處的梯度解:則注意x,y,z

具有輪換對(duì)稱性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第18頁(yè)/共20頁(yè)指向B(3,－2