2021-2022學(xué)年天津大港區(qū)第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2021-2022學(xué)年天津大港區(qū)第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在[0,+∞)上單調(diào)遞減.若時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：2.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為等差數(shù)列，則等比數(shù)列的公比（

）A．可以取無數(shù)個(gè)值

B．只可以取兩個(gè)值

C．只可以取一個(gè)值 D．不存在參考答案：C3.為平行四邊形的一條對(duì)角線，（

）

A．

B．

C．D．參考答案：D因?yàn)樗?，即，選D.4.將函數(shù)f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若y=g（x）在[﹣，]上為增函數(shù)，則ω的最大值為（）A．3 B．2 C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據(jù)平移變換的規(guī)律求解g（x），結(jié)合三角函數(shù)g（x）在[﹣，]上為增函數(shù)建立不等式即可求解ω的最大值【解答】解：函數(shù)f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的圖象向右平移個(gè)單位，可得g（x）=2sin[ω（x﹣）+]=2sin（ωx）在[﹣，]上為增函數(shù)，∴且，（k∈Z）解得：ω≤3﹣12k且，（k∈Z）∵ω＞0，∴當(dāng)k=0時(shí)，ω取得最大值為．故選：C．5.設(shè)集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，則集合?R（M∩N）等于（） A．（﹣∞，] B．（，1） C．（﹣∞，]∪[1，+∞） D．[1，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算． 【分析】先求出集合M，N，再根據(jù)集合的交集個(gè)補(bǔ)集計(jì)算即可 【解答】解：∵集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}， ∴M=（﹣1，1），N=（﹣，2）， ∴M∩N=（﹣，1） ∴?R（M∩N）=（﹣∞，]∪[1，+∞） 故選：C 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題 6.三棱椎A(chǔ)—BCD的三視圖為如圖所示的三個(gè)直角三角形，則三棱錐A—BCD的表面積（

）

A．

B．4+

C．

D．4+參考答案：A7.已知a＞0，且a≠1，則函數(shù)f(x)＝ax＋(x－1)2－2a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)

A.1

B.2

C.3

D.與a有關(guān)參考答案：B略8.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則等于A．18 B．36 C．45 D．60參考答案：C解：，，．故選：．9.設(shè)兩個(gè)正數(shù)滿足，則的最小值為A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A. B.(－1,+∞) C.(－1,0) D.參考答案：D【分析】先將函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程有兩不等實(shí)根，再令，可得與直線有兩不同交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方研究函數(shù)的圖像，由數(shù)形結(jié)合的方法即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程有兩不等實(shí)根，令，則與直線有兩不同交點(diǎn)，又，由得，所以，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減；所以，又，當(dāng)時(shí)，；作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如下：因?yàn)榕c直線有兩不同交點(diǎn)，所以，即.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，由導(dǎo)數(shù)的極值個(gè)數(shù)求參數(shù)的問題，通常需要將函數(shù)有極值問題轉(zhuǎn)為對(duì)應(yīng)方程有實(shí)根的問題來處理，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，屬于?？碱}型.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一枚骰子連續(xù)投擲四次，從第二次起每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都不小于前一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的概率為

．參考答案：

12.若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的離心率為

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．H6

雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），（﹣c，0），漸近線方程為，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，任意一個(gè)焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離都相等，求（c，0）到的距離，，又∵焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的，∴b=×2c，兩邊平方，得4b2=c2，即4（c2﹣a2）=c2，∴3c2=4a2，，即，。【思路點(diǎn)撥】因?yàn)殡p曲線即關(guān)于兩條坐標(biāo)軸對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以任意一個(gè)焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離都相等，所以不妨利用點(diǎn)到直線的距離公式求（c，0）到的距離，再令該距離等于焦距的，就可得到含b，c的齊次式，再把b用a，c表示，利用即可求出離心率．13.若的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和為64，則

；該展開式中的常數(shù)項(xiàng)是

．參考答案：．

-27

14.若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為___________．參考答案：815.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若2bcosA=ccosA＋acosC，則A＝____________．參考答案：略16.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生l次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p的取值范圍是

．參考答案：17.已知函數(shù)，則

參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，過橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)且斜率均為的兩直線分別交橢圓于，又交軸于，交軸于，且與相交于點(diǎn).當(dāng)時(shí)，是直角三角形.（1）求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①證明：存在實(shí)數(shù)，使得；②求|OP|的取值范圍.參考答案：（1）；………4分（2）①證明：由（1）可設(shè)直線的方程分別為和，其中≠0，則，由消去得以上方程必有一根，由韋達(dá)定理可得另一根為故點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），

………6分由消去得，解得一根為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），………………8分由與平行得，然后，進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)為，………10分而，∴

∴存在實(shí)數(shù)=，使得

………12分②由法一：由消參得點(diǎn)的軌跡方程為，所以的最小值為；………………16分法二：得，令，則=其中∴的最小值為.

--------16分19.（12分）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率。（1）求橢圓方程；（2）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值范圍。參考答案：解析：（1）由題意橢圓的離心率

∴橢圓方程為……2分又點(diǎn)在橢圓上

∴橢圓的方程為（4分）（2）設(shè)由消去并整理得……6分∵直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即……8分又中點(diǎn)的坐標(biāo)為……10分設(shè)的垂直平分線方程：在上即……12分將上式代入得

即或的取值范圍為…………（8分）20.已知向量=(sinx,－1)，=(cosx,)，函數(shù)f(x)=(+)·－2．（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，其中A為銳角，a=，c=1，且f(A)=1，求△ABC的面積S.參考答案：函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

（2），因?yàn)?，所以，又，則，從而

21.極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xoy有相同的長(zhǎng)度單位，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸．已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=8cosθ．（I）求C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（I）利用即可得出直角坐標(biāo)方程．（II）把直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入y2=8x化為3t2﹣16t﹣64=0．利用弦長(zhǎng)|AB|=|t1﹣t2|即可得出．【解答】解：（I）由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，化為y2=8x．（II）把直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入y2=8x化為3t2﹣16t﹣64=0．解得t1=8，t2=．∴弦長(zhǎng)|AB|=|t1﹣t2|==．22.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面為直角梯形，，且PA=AB=BC=1，AD=2．（Ⅰ）設(shè)M為PD的中點(diǎn)，求證：平面PAB；（Ⅱ）求側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值．

參考答案：解法一：（Ⅰ）證明：取PA的中點(diǎn)N，連結(jié)BN、NM，在△PAD中，，且；又，且，所以MNBC，即四邊形BCMN為平行四邊形，.又平面PAB，平面PAB，故平面PAB.

……5分（Ⅱ）在平面ABCD中，AB與CD不平行，延長(zhǎng)AB、CD交于一點(diǎn)，設(shè)為E，連結(jié)PE，則PE為側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的棱，又由題設(shè)可知側(cè)面PAB，于是過A作于F，連結(jié)DF，由三垂線定理可知AFD為側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角.

……8分在△EAD中，由，，知B為AE為中點(diǎn)，∴AE=2，在Rt△PAE中，PA=1，AE=2，∴，故，即所求側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值為

……12分

解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）.

……2分（Ⅰ）由M為PD中點(diǎn)知M的坐標(biāo)為（0，1，1），所以，又平面PAB的法向量可取為

∴，即.又平面PAB，所以平面PAB.