山西省太原市杏花嶺區(qū)第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

山西省太原市杏花嶺區(qū)第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜，f（x）是奇函數(shù)，直線y=與函數(shù)f（x）的圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為，則（）A．f（x）在(，)上單調(diào)遞減 B．f（x）在(0，)上單調(diào)遞減 C．f（x）在(0，)上單調(diào)遞增 D．f（x）在(，)上單調(diào)遞增參考答案：A【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝sin（ωx+φ+），∵f（x）是奇函數(shù)，，∴φ+＝0，得φ＝﹣，則f（x）＝sinωx，由sinωx＝得sinωx＝1，∵直線與函數(shù)f（x）的圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為，∴T＝，0即＝，得ω＝4，即f（x）＝sin4x，由2kπ﹣≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+，當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為[﹣，]，k＝1時(shí)，遞增區(qū)間為[，]由2kπ+≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ+≤x≤kπ+，當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為[，]，當(dāng)k＝1時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為[，]，2.若直線y=a分別與直線y=2x-3，曲線y=ex-x（x≥0）交于點(diǎn)A，B，則|AB|的最小值為（）A. B. C.e D.參考答案：B【分析】設(shè)A（x1，a），B（x2，a），建立方程關(guān)系用x1表示x2，則|AB|＝x1﹣x2，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的最值即可．【詳解】作出兩個(gè)曲線的圖象如圖，設(shè)A（x1，a），B（x2，a），則x1＞x2，則2x1﹣3＝e，即x1（e+3），則|AB|＝（e+3）（﹣3+e3），設(shè)f（x）（ex﹣3x+3），x≥0，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）（﹣3+ex），由f′（x）＞0得x＞ln3，f（x）為增函數(shù)，由f′（x）＜0得0≤x＜ln3，f（x）減函數(shù)，即當(dāng)x＝ln3時(shí)，f（x）取得最小值，最小值為f（ln3）（3+3﹣3ln3）＝3ln3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，設(shè)出坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為(

)A．

B．16

C．

D．參考答案：D略4.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C5.對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的一個(gè)是A.有極小值，且極小值點(diǎn)

B.有極大值，且極大值點(diǎn)

C.有極小值，且極小值點(diǎn)

D.有極大值，且極大值點(diǎn)

參考答案：C略6.已知拋物線的焦點(diǎn)F，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且，則直線l的斜率可能為（

）A．

B．

C.1

D．參考答案：A設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由題意，設(shè)直線AB的方程為，代入拋物線方程得：，因?yàn)橹本€與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，，，把代入即可解得，故選A.

7.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)，等式成立，若數(shù)列{an}滿足，且，則下列結(jié)論成立的是（A）

（B）（C）

（D）參考答案：D8.已知平面，若直線，則∥是的

（

）

A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C9.若（其中且）的展開式中的系數(shù)相等，則=A．6

B．7

C．8

D．9參考答案：B10.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A.(－∞,－2)∪(3,+∞) B.(－3,2)C.(－2,3) D.(－∞,－3)∪(2,+∞)參考答案：C【分析】畫出函數(shù)圖像得到函數(shù)單調(diào)遞增，利用函數(shù)的單調(diào)性得到，計(jì)算得到答案.【詳解】是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)則，，故即，函數(shù)的圖像如圖所示：結(jié)合圖像可知是上的增函數(shù)由，得解得，故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓C經(jīng)過A（5，1），B（1，3）兩點(diǎn)，圓心在x軸上．則C的方程為．參考答案：（x﹣2）2+y2=10考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：計(jì)算題．分析：根據(jù)題意可知線段AB為圓C的一條弦，根據(jù)垂徑定理得到AB的垂直平分線過圓心C，所以由A和B的坐標(biāo)表示出直線AB的方程，然后根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率乘積為﹣1由直線AB的斜率求出AB垂直平分線的斜率，又根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)和求出的斜率寫出AB的垂直平分線的方程，又因?yàn)閳A心在x軸上，所以把求出AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為圓心C的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出線段AC的長度即為圓的半徑，根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．解答：解：由A（5，1），B（1，3），得到直線AB的方程為：y﹣3=（x﹣1），即x+2y﹣7=0，則直線AB的斜率為﹣，所以線段AB的垂直平分線的斜率為2，又設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D，則D的坐標(biāo)為（，）即（3，2），所以線段AB的垂直平分線的方程為：y﹣2=2（x﹣3）即2x﹣y﹣4=0，令y=0，解得x=2，所以線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)即圓心C的坐標(biāo)為（2，0），而圓的半徑r=|AC|==，綜上，圓C的方程為：（x﹣2）2+y2=10．故答案為：（x﹣2）2+y2=10點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值，掌握垂徑定理的靈活運(yùn)用，會(huì)根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道中檔題．12.若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c滿足，且，則ab的值為________．參考答案：略13.已知一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，則此四棱錐的體積為

．參考答案：【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】如圖所示，該幾何體為如下四棱錐：P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面四邊形由直角梯形ABED，直角△DCE，AB∥DE，AB⊥BC，AB=1，DE=2，BE=EC=1，PA=2．【解答】解：如圖所示，該幾何體為如下四棱錐：P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面四邊形由直角梯形ABED，直角△DCE，AB∥DE，AB⊥BC，AB=1，DE=2，BE=EC=1，PA=2．∴S底面ABCD=+=．V==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四棱錐的三視圖、體積的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.如圖，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，則AE=

參考答案：因?yàn)?，所以∠AEB=，又因?yàn)椤螧=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以,所以．15.已知函數(shù)，，則的單調(diào)遞增區(qū)間為

．參考答案：（或），根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，解得得，又的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為或.

16.已知矩陣為單位向量，且，的值

參考答案：17._______;

參考答案：

==．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）函數(shù)f（x）=3sin（2x+）的部分圖象如圖所示．（Ⅰ）寫出f（x）的最小正周期及圖中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的定義域和值域．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由題目所給的解析式和圖象可得所求；（Ⅱ）由x∈可得2x+∈，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0為函數(shù)的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈，∴2x+∈，∴當(dāng)2x+=0，即x=時(shí)，f（x）取最大值0，當(dāng)2x+=，即x=﹣時(shí)，f（x）取最小值﹣3【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．19.（本小題滿分16分）橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，橢圓右準(zhǔn)線與軸交于.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若,直線上有且僅有一點(diǎn)使.

求以為直徑的圓的方程；（Ⅲ）設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作不與軸垂直的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（在之間）若有，求此時(shí)直線的方程.參考答案：(1)

（4分）(2)即以O(shè)M為直徑的圓和直線相切?？汕蟮脠A心為半徑為所以，解得t=4（負(fù)舍）則以O(shè)M為直徑的圓的方程為

（9分）（3）由題：∥，則有相似比可求得設(shè)∴，∴解得又A，B在橢圓上，帶入橢圓方程，有解得∴求得直線方程為

（15分）略20.如圖，P是直線x=4上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓Γ經(jīng)定點(diǎn)B（1，0），直線l是圓Γ在點(diǎn)B處的切線，過A（﹣1，0）作圓Γ的兩條切線分別與l交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．（1）求證：|EA|+|EB|為定值；（2）設(shè)直線l交直線x=4于點(diǎn)Q，證明：|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（1）設(shè)AE切圓于M，直線x=4與x軸的交點(diǎn)為N，則EM=EB，可得|EA|+|EB|=|AM|====4；（2）確定E，F(xiàn)均在橢圓=1上，設(shè)直線EF的方程為x=my+1（m≠0），聯(lián)立，E，B，F(xiàn)，Q在同一條直線上，|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|等價(jià)于﹣y1?+y1y2=y2?﹣y1y2，利用韋達(dá)定理，即可證明結(jié)論．【解答】證明：（1）設(shè)AE切圓于M，直線x=4與x軸的交點(diǎn)為N，則EM=EB，∴|EA|+|EB|=|AM|====4為定值；（2）同理|FA|+|FB|=4，∴E，F(xiàn)均在橢圓=1上，設(shè)直線EF的方程為x=my+1（m≠0），令x=4，yQ=，直線與橢圓方程聯(lián)立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則y1+y2=﹣，y1y2=﹣∵E，B，F(xiàn)，Q在同一條直線上，∴|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|等價(jià)于﹣y1?+y1y2=y2?﹣y1y2，∴2y1y2=（y1+y2）?，代入y1+y2=﹣，y1y2=﹣成立，∴|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|．21.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，圓周角的平分線與圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)的切線與弦的延長線交于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求證：；（2）若四點(diǎn)共圓，且，求.參考答案：(1)見解析；(2).試題分析：（1）要證，只要證即可，由弦切角和圓周角關(guān)系可得，由角平分線性質(zhì)得，又同弧上的圓周角相等，所以，即可證得；（2）由四點(diǎn)共圓及（1）得，設(shè)，在等腰三角形中，列出方程，解之即可.試題解析：（1）∵的平分線與圓交于點(diǎn)∴，，∵，∴，∴，∴.考點(diǎn)：1.圓的性質(zhì)；2.等腰三角形性質(zhì)；3.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì).22.已知函數(shù)，.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）設(shè)；①若函數(shù)在處的切線過點(diǎn)，求的值；②當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，求的取值范圍.（2）設(shè)函數(shù)，且，求證：當(dāng)時(shí)，.參考答案：（Ⅰ）⑴由題意，得，所以函數(shù)在處的切線斜率，又，所以函數(shù)在處