2014年高考文科數(shù)學陜西卷試題與答案

2014年高考陜西文科數(shù)學陜西卷一、在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求（本大題共10分，每小題5分，共50分）.1.設集合，，則（）2.函數(shù)的最小正周期是（）輸入N是開始輸出結束否輸入N是開始輸出結束否 4.根據(jù)右邊框圖，對大于的正整數(shù)，輸出的數(shù)列的通項公式是（）5.將邊長為的正方形以其一邊所在直線旋轉軸旋轉一周，所得幾何體的側面積是（）6.從正方形四個頂點及其中心這個點中任取個點，則這個點的距離小于正方形的邊長的概率為（）7.下列函數(shù)中，滿足“”的單調遞增函數(shù)是（）8.原命題為“若，則是遞減數(shù)列”，關于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（）真，真，真假，假，真真，真，假假，假，假9.某公司位員工的月工資（單位：元）為，其均值和方差分別為和，若從下月起每位員工的工資增加元，則這為位員工下月工資的均值和方差分別為()10如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖像的一部分，則該函數(shù)的解析式為（）二、填空題：把答案填寫在答題卡相應題號后的橫線上（本大題共5小題，共25分）11.拋物線的準線方程為.12.已知，，則.13.設，向量，，若，則.14.已知，，若，，，則的表達式為.15.（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按做作的第一題評分）A.（不等式選做題）設，且，，則的最小值為.B.（幾何證明選做題）如圖，中，，以為直徑的半圓交于點，若，則.C.（極坐標與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，點到直線的距離是.三、解答題：解答題應寫出文字說明，證明過程和演算步驟（本大題共6小題，共75分）.16.（本小題滿分12分）的內角所對底邊分別是.（Ⅰ）若成等差數(shù)列，證明：；（Ⅱ）若成等比數(shù)列，且，求的值.17.（本小題滿分12分）左視圖四面體及其三視圖如圖所示，平行于棱，的平面分別交四面體的棱于點.左視圖（Ⅰ）求四面體的體積；主視圖（Ⅱ）證明：四邊形是矩形.主視圖俯視圖俯視圖18.（本小題滿分12分）在直角坐標系中，已知點，，，點在三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上，且，.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）用表示，并求的最大值.19.（本小題滿分12分）某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如下：賠付金額（元）01000200030004000車輛數(shù)（輛）500130100150120（Ⅰ）若每輛車的賠付金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；（Ⅱ）在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率.20.（本小題滿分13分）已知橢圓經(jīng)過點，離心率為，左右焦點分別為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線與橢圓交于了兩點，與以，為直徑的圓交于兩點，且滿足，求直線的方程.21.（本小題滿分14分）設函數(shù).（Ⅰ）當（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的極小值；（Ⅱ）討論函數(shù)零點的個數(shù)；（Ⅲ）若對任意，恒成立，求取值范圍.第一部分（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．（1）【2014年陜西，文1，5分】已知集合，，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】，，，故選D．【點評】本題考查交的運算，理解好交的定義是解答的關鍵．（2）【2014年陜西，文2，5分】函數(shù)的最小正周期是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】根據(jù)復合三角函數(shù)的周期公式得，，故選B．【點評】本題考查了三角函數(shù)的周期性，以及復合三角函數(shù)的周期公式應用，屬于基礎題．（3）【2014年陜西，文3，5分】已知復數(shù)，則的值為（）（A）5（B）（C）3（D）【答案】A【解析】由，得，故選A．【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，是基礎的計算題．（4）【2014年陜西，文4，5分】根據(jù)右邊框圖，對大于2的整數(shù)，求出的數(shù)列的通項公式是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】，，，是，的等比數(shù)列，故選C．【點評】本題考查了直到型循環(huán)結構的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷遞推關系式是解答本題的關鍵．（5）【2014年陜西，文5，5分】將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，所得幾何體的側面積為（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】邊長為1的正方形，繞其一邊所在直線旋轉一周，得到的幾何體為圓柱，則所得幾何體的側面積為：，故選C．【點評】本題是基礎題，考查旋轉體的側面積的求法，考查計算能力．（6）【2014年陜西，文6，5分】從正方形四個頂點及其中心這5個點中任取2個點，則這兩個點的距離小于該正方形邊長的概率為（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】設正方形邊長為1，則從正方形四個頂點及其中心這5個點中任取2個點，共有10條線段，4條長度為1，4條長度為，兩條長度為，∴所求概率為，故選B．【點評】本題考查概率的計算，列舉基本事件是關鍵．（7）【2014年陜西，文7，5分】下列函數(shù)中，滿足“”的單調遞增函數(shù)是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】對于A：，，，不滿足，故A錯；對于B：，，，滿足，且在上是單調增函數(shù)，故B正確，對于C：，，，不滿足，故C錯；對于D：，，，滿足，但在上是單調減函數(shù)，故D錯．故選B．【點評】本題主要考查抽象函數(shù)的具體模型，同時考查冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性，是一道基礎題．（8）【2014年陜西，文8，5分】原命題為“若，，則為遞減數(shù)列”，關于其逆命題、否命題、逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（）（A）真，假，真（B）假，假，真（C）真，真，假（D）假，假，假【答案】A【解析】，，為遞減數(shù)列，命題是真命題；其否命題是：若，，則不是遞減數(shù)列，是真命題；又命題與其逆否命題同真同假，命題的否命題與逆命題是互為逆否命題，∴命題的逆命題，逆否命題都是真命題，故選A．【點評】本題考查了四種命題的定義及真假關系，判斷命題的真假及熟練掌握四種命題的真假關系是解題的關鍵．（9）【2014年陜西，文9，5分】某公司位員工的月工資（單位：元）為，，…，，其均值和方差分別為和，若從下月起每位員工的月工資增加元，則這位員工下月工資的均值和方差分別為（）（A），（B），（C），（D），【答案】D【解析】由題意知，則，方差，故選D．【點評】本題主要考查樣本數(shù)據(jù)的均值和方差之間的關系，利用均值和方差的定義是解決本題的關鍵，要求熟練掌握相應的計算公式．（10）【2014年陜西，文10，5分】如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連續(xù)（相切），已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖像的一部分，則該函數(shù)的解析式為（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由函數(shù)圖象知，此三次函數(shù)在上處與直線相切，在點處與相切，以下研究四個選項中函數(shù)在兩點處的切線．A選項：，將0，2代入，解得此時切線的斜率分別是，3，符合題意，故A對；B選項，，將0代入，此時導數(shù)為，不為，故B錯；C選項，，將2代入，此時導數(shù)為，與點處切線斜率為3矛盾，故C錯；D選項，，將0代入，此時導數(shù)為，與點處切線斜率為矛盾，故D錯，故選A．【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義在實際問題中的應用，導數(shù)的幾何意義是導數(shù)主要應用之一．第二部分（共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．（11）【2014年陜西，文11，5分】拋物線的準線方程為______．【答案】【解析】∵，∴，開口向右，∴準線方程是．【點評】根據(jù)拋物線的方程求其焦點坐標和準線方程，一定要先化為標準形式，求出的值，再確定開口方向，否則，極易出現(xiàn)錯誤．（12）【2014年陜西卷理科第12，5分】已知，，則______．【答案】【解析】由，得，再由，得．【點評】本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運算性質，是基礎題．（13）【2014年陜西，文13，5分】設，向量，若，則_______．【答案】【解析】，，，∴．【點評】本題考查了向量共線定理、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關系式，屬于基礎題．（14）【2014年陜西，文14，5分】已知，若，則的表達式為_______．【答案】【解析】由題意知：，，，，故．【點評】本題考查邏輯推理中歸納推理，由特殊到一般進行歸納得出結論是此類推理方法的重要特征．考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分．（15A）【2014年陜西，文15A，5分】（不等式選做題）設且則的最小值為_______．【答案】【解析】由柯西不等式得，，∵，，∴，∴的最小值為．【點評】本題主要考查了柯西不等式，屬于中檔題．（15B）【2014年陜西，文15B，5分】（幾何證明選做題）如圖，中，，以為直徑的半圓分別交于點，若，則_______．【答案】3【解析】由題意，∵以為直徑的半圓分別交、于點、，∴，∵，∴，∴，∵，，∴．【點評】本題考查三角形相似的判定與運用，考查學生的計算能力，屬于基礎題．（15C）【2014年陜西，文15C，5分】（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，點到直線的距離是_______．【答案】1【解析】根據(jù)極坐標和直角坐標的互化公式，，可得點即；直線，即，即，故點到直線的距離為．【點評】本題主要考查把極坐標化為直角坐標的方法，點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題．三、解答題：本大題共6小題，共70分，應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．（16）【2014年陜西，文16，12分】的內角所對的邊分別為．（1）若成等差數(shù)列，證明；（2）若成等比數(shù)列，且，求的最小值．解：（1）∵成等差數(shù)列，∴，利用正弦定理化簡得：，∵，∴．（2）∵成等比數(shù)列，∴，將代入得：，即，由余弦定理得：．【點評】此題考查了余弦定理，等差、等比數(shù)列的性質，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．（17）【2014年陜西，文17，12分】四面體及其三視圖如圖所示，平行于棱的平面分別交四面體的棱于點．（1）求四面體的體積；（2）證明：四邊形是矩形．解：（1）由題意，，，，，，平面，四面體的體積．（2）平面，平面平面，平面平面=，，，．同理，，，四邊形是平行四邊形，平面，，，四邊形是矩形．【點評】本題考查線面垂直，考查線面平行性質的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．（18）【2014年陜西，文18，12分】在直角坐標系中，已知點．點在三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上，且．（1）若，求；（2）用表示，并求的最大值．解：（1）∵，，，又，，∴．（2）∵，∴，∴，，∴，令，由圖知，當直線過點時，取得最大值1，故的最大值為1．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)乘及坐標加法運算，考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．（19）【2014年陜西，文19，12分】某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如下：賠付金額（元）01000200030004000車輛數(shù)（輛）500130100150120（1）若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；（2）在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率．解：（1）設表示事件“賠付金額為3000元，”B表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得：，，由于投保額為2800元，賠付金額大于投保金額得情形是3000元和4000元，所以其概率為．（2）設表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1000=100，而賠付金額為4000元的車輛中車主為新司機的有0.2×120=24，所以樣本中車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為，由頻率估計概率得．【點評】本題主要考查了用頻率來表示概率，屬于中檔題．（20）【2014年陜西，文20，13分】