初二奧數(shù)培訓(xùn)12幾何不等式

2010年初二奧數(shù)培訓(xùn)12：幾何不等式一、選擇題（共5小題，每題3分，滿分15分）1．（3分）已知線段a，b，c的長度知足a＜b＜c，那么以a，b，c為邊構(gòu)成三角形的條件是（）A．c﹣a＜bB．2b＜a+cC．c﹣b＞aD．b2＜ac2．（3分）在△ABC中，若∠A＝58°，AB＞BC，則∠B的取值范圍是（）A．0°＜∠B＜64°B．58°＜∠B＜64°C．58°＜∠B＜122°D．64°＜∠B＜122°3．（3分）在銳角三角形ABC中，a＝1，b＝3，那么第三邊c的變化范圍是（）A．2＜c＜4B．2＜c＜3＜D．2＜＜C．2＜cc4．（3分）一個等腰三角形ABC，頂角為∠A，作∠A的三均分線AD、AE，即∠1＝∠2＝∠3（如圖），若BD＝x，DE＝y(tǒng)，CE＝z，則有（）A．x＞y＞zB．x＝z＞yC．x＝z＜yD．x＜y＝z5．（3分）已知三角形三邊長a，b，c都是整數(shù)，而且a≤b＜c，若b＝7，那么這樣的三角形共有（）個．A．21B．28C．49D．14二、解答題（共10小題，滿分105分）6．（10分）如圖，已知△ABC中，AB＞AC，AD是中線，AE是角均分線．求證：（1）2AD＜AB+AC；2）∠BAD＞∠DAC；3）AE＜AD．7．（10分）如圖，已知△ABC，AB＝AC，AD是中線，E為∠ABD內(nèi)任一點(diǎn)．第1頁（共16頁）求證：∠AEB＞∠AEC．8．（10分）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，E、F分別在AB、AC上且AE＝CF．求證：EFBC．9．（10分）如圖，已知△ABC中，BC大于其余兩邊，D、E分別在AB、AC上，連結(jié)DE．求證：DE＜BC．10．（10分）如圖，已知△ABC中，∠ABC＞∠ACB，BE、CF分別是角均分線．求證：BE＜CF．11．（10分）如圖，已知△ABC中，AB＞AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F．求證：AB+CF＞AC+BE．第2頁（共16頁）12．（10分）如圖，已知在凸四邊形ABCD中，對角線AC、BD訂交于O，且AC⊥BD，OAOC，OB＞OD．求證：BC+AD＞AB+CD．13．（11分）如圖，已知在線段BC同側(cè)作兩個三角形△ABC和△DBC，使AB＝AC，DB＞DC且AB+AC＝DB+DC，設(shè)AC與DB交于E．求證：AE＞DE．14．（12分）如圖，已知△ABC中，∠BAC＝120°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)．求證：PA+PB+PC＞AB+AC．15．（12分）已知△ABC中三邊長分別為a，b，c，相應(yīng)邊上的中線長為ma，mb，mc．求證：．第3頁（共16頁）2010年初二奧數(shù)培訓(xùn)12：幾何不等式參照答案與試題分析一、選擇題（共5小題，每題3分，滿分15分）1．（3分）已知線段a，b，c的長度知足a＜b＜c，那么以a，b，c為邊構(gòu)成三角形的條件是（）A．c﹣a＜bB．2b＜a+cC．c﹣b＞aD．b2＜ac【分析】依據(jù)三角形的三邊關(guān)系“隨意兩邊之和＞第三邊，隨意兩邊之差＜第三邊”，結(jié)a＜b＜c，明顯只需知足較小的兩個數(shù)的和＞第三個數(shù)或較大的兩個數(shù)的差＜第三個數(shù)即可．依此B、C、D答案均可舉出反例．【解答】解：A、c﹣a＜b及已條條件a＜b＜c可推出a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，所以可以構(gòu)成三角形；B、C、D答案均可舉出反例：如a＝1，b＝3，c＝6時，知足B和C，但不可以構(gòu)成三角形；a＝1，b＝2，c＝5時，知足C，但不可以構(gòu)成三角形．應(yīng)選：A．【談?wù)摗勘绢}察看了三角形的三邊關(guān)系．判斷能否構(gòu)成三角形的簡單方法是看較小的兩個數(shù)的和能否＞第三個數(shù)或較大的兩個數(shù)的差能否＜第三個數(shù)．2．（3分）在△ABC中，若∠A＝58°，AB＞BC，則∠B的取值范圍是（）A．0°＜∠B＜64°B．58°＜∠B＜64°C．58°＜∠B＜122°D．64°＜∠B＜122°【分析】由AB＞BC，利用三角形的性質(zhì)獲得∠C＞∠A＝58°，再利用三角形的內(nèi)角和定理獲得∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣58°﹣∠B，所以180°﹣58°﹣∠B＞58°，解得∠B＜64°，從而獲得∠B的范圍為0°＜∠B＜64°．【解答】解：∵AB＞BC，∴∠C＞∠A＝58°，而∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣58°﹣∠B＞58°，解得∠B＜64°，所以∠B的范圍為0°＜∠B＜64°．第4頁（共16頁）應(yīng)選：A．【談?wù)摗勘绢}察看了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．也察看了三角形中大邊對大角的性質(zhì)．3．（3分）在銳角三角形ABC中，a＝1，b＝3，那么第三邊c的變化范圍是（）A．2＜c＜4B．2＜c＜3＜D．2＜＜C．2＜cc【分析】題中已知△ABC是銳角三角形，沒有指明哪個角是最大角，從而沒法確立邊之間的關(guān)系，從而可以分兩種狀況進(jìn)行分析，從而確立第三邊c的變化范圍．【解答】解：①∵當(dāng)∠C是最大角時，有∠C＜90°＜∴c∴c＜②當(dāng)∠B是最大角時，有∠B＜90°22b＜a+c9＜1+c2c＞2∴第三邊c的變化范圍：2＜c＜應(yīng)選：D．【談?wù)摗勘绢}主要察看學(xué)生對三角形三邊關(guān)系的理解及運(yùn)用，重點(diǎn)是確立最大角．4．（3分）一個等腰三角形ABC，頂角為∠A，作∠A的三均分線AD、AE，即∠1＝∠2＝∠3（如圖），若BD＝x，DE＝y(tǒng)，CE＝z，則有（）A．x＞y＞zB．x＝z＞yC．x＝z＜yD．x＜y＝z【分析】第一依據(jù)邊角邊定理，判斷△ABD≌△ACE，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理可知BD＝EC，即x＝z．再依據(jù)三角形的外角性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，可得AB＞AE．從而獲得BD＞DE即x＞y．問題得解．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形∴∠B＝∠C第5頁（共16頁）又∵∠1＝∠2，∠ADE＝∠B+∠1，∠AED＝∠C+∠3∴∠ADE＝∠AEDAD＝AE在△ABD與△ACE中AD＝AE，∠1＝∠3，AB＝AC∴△ABD≌△ACEBD＝EC，即x＝z又∵∠AEB＝∠C+∠3＝∠B+∠3＞∠BAB＞AE又∵∠1＝∠2所以BD＞DE即x＞y，所以x＝z＞y應(yīng)選：B．【談?wù)摗勘绢}察看全等三角形的性質(zhì)與判斷、三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)．本題解決的重點(diǎn)是對三角形有關(guān)知識的綜合運(yùn)用能力．5．（3分）已知三角形三邊長a，b，c都是整數(shù)，而且a≤b＜c，若b＝7，那么這樣的三角形共有（）個．A．21B．28C．49D．14【分析】依據(jù)已知條件第一可以獲得a的可能值有1，2，3，4，5，6，7，再依據(jù)三角形的三邊關(guān)系可以獲得c的值．【解答】解：依據(jù)已知，得的可能值有1，2，3，4，5，6，7．依據(jù)三角形的三邊關(guān)系，合適a＝1時，則c不存在；a＝2時，則c＝8；a＝3時，則c＝8，9；a＝4時，則c＝8，9，10；a＝5時，則c＝8，9，10，11；a＝6時，則c＝8，9，10，11，12；a＝7時，則c＝8，9，10，11，12，13．則這樣的三角形有21個．第6頁（共16頁）應(yīng)選：A．【談?wù)摗勘绢}主要察看了三角形的三邊關(guān)系，解題重點(diǎn)是由a的可能值逐漸推理分析．二、解答題（共10小題，滿分105分）6．（10分）如圖，已知△ABC中，AB＞AC，AD是中線，AE是角均分線．求證：（1）2AD＜AB+AC；（2）∠BAD＞∠DAC；（3）AE＜AD．【分析】（1）可延伸AD到F，使DF＝AD，在△ABF中，由三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；2）由△ADC≌△FDB，得∠CAD＝∠F，在△ABF中，由邊的大小關(guān)系即可得出角之間的關(guān)系；3）同（2），由角的關(guān)系亦可求解邊的大?。窘獯稹孔C明：延伸AD到F，使DF＝AD，連結(jié)BF（如圖），易證△ADC≌△FDB，所以AC＝BF，1）在△ABF中，AB+BF＞AD+DF，所以2AD＜AB+AC；2）由于△ADC≌△FDB，所以∠DAC＝∠F，由于AB＞AC，所以AB＞BF，所以∠F＞∠BAD，所以∠DAC＜∠BAD，即∠BAD＞∠DAC；（3）由（2），∠BAD＜∠DAC及∠BAE＝∠EAC∠BAC，所以∠BAD＜∠EAC，由于AB＞AC所以∠C＞∠B，第7頁（共16頁）所以∠BAD+∠B＜∠EAC+∠C，所以∠ADE＜∠AED，所以AE＜AD．【談?wù)摗勘绢}主要察看了全等三角形的判斷及性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系定理，可以嫻熟掌握．7．（10分）如圖，已知△ABC，AB＝AC，AD是中線，E為∠ABD內(nèi)任一點(diǎn)．求證：∠AEB＞∠AEC．【分析】依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可獲得幾組相等的角，再依據(jù)E在△ABD內(nèi)可獲得∠BAE＜∠BAD，從而可推出∠BAE＜∠BAD＜∠CAE，依據(jù)大角對大邊可獲得BE＜EC，再根據(jù)大邊對大角可獲得∠2＜∠1，即可推出∠3＜∠4，最后依據(jù)三角形內(nèi)角和定理不難證得結(jié)論．【解答】證明：∵AB＝AC，AD為中線，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABC＝∠ACB，E在△ABD內(nèi)，∴∠BAE＜∠BAD，∴∠BAE＜∠BAD＜∠CAE，∴BE＜EC，∴∠2＜∠1，∴∠ABC﹣∠1＜∠ACB﹣∠2，第8頁（共16頁）∴∠3＜∠4，180°﹣∠BAE﹣∠3＞180°﹣∠CAE﹣∠4，∴∠AEB＞∠AEC．【談?wù)摗勘绢}主要察看等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用．8．（10分）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，E、F分別在AB、AC上且AE＝CF．求證：EFBC．【分析】可過E作ED平行且等于BC，連結(jié)DF，DC，以以下列圖所示，再由平行線的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)，在△EFD中即可得出結(jié)論．【解答】證明：過E作ED平行且等于BC，連結(jié)DF，DC（如圖），BCDE是平行四邊形，DC平行且等于BE，∴∠1＝∠A，∵AB＝AC，AE＝FC，BE＝AF＝DC，∴△AEF≌△CFD，EF＝DF，在△EFD中，EF+DF＞DE，2EF＞BC，即EF＞BC，當(dāng)E、F為AB、AC中點(diǎn)時，EFBC，第9頁（共16頁）EFBC．【談?wù)摗勘绢}主要察看經(jīng)過協(xié)助線作出平行四邊形，從而利用平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形及三角形的三邊關(guān)系，從而得出結(jié)論．9．（10分）如圖，已知△ABC中，BC大于其余兩邊，D、E分別在AB、AC上，連結(jié)DE．求證：DE＜BC．【分析】連結(jié)BE，依據(jù)大邊對大角可獲得∠A＞∠ACB，∠A＞∠ABC，從而可推出∠BDE＞∠A＞∠ABC＞∠DBE，從而可獲得BE＞DE，同理可得BC＞BE，從而不難證得結(jié)論．【解答】證明：連結(jié)BE．BC＞AB，BC＞AC，∴∠A＞∠ACB，∠A＞∠ABC，∴∠BDE＞∠A＞∠ABC＞∠DBE，BE＞DE，∵∠BEC＞∠A＞∠C，BC＞BE，DE＜BC．【談?wù)摗勘绢}主要察看學(xué)生對三角形三邊關(guān)系的理解及運(yùn)用能力．10．（10分）如圖，已知△ABC中，∠ABC＞∠ACB，BE、CF分別是角均分線．求證：BE＜CF．第10頁（共16頁）【分析】在∠ABE內(nèi)部以BE為一邊作∠GBE＝∠ACF，GB交AC于G，在GC上截以CH＝BG，過H作HK∥BG交CF于K，從而結(jié)構(gòu)出△BGE≌△CHK，再利用已知條件即可解答．【解答】證明：∵∠ABC＞∠ACB，∴∠ABE＞∠ACF，∠BEC＞∠FCB，在∠ABE內(nèi)部以BE為一邊作∠GBE＝∠ACF，GB交AC于G，在△GBC中，∠GBC＞∠GCB，GC＞GB，GC上截以CH＝BG，過H作HK∥BG交CF于K，則∠BGE＝∠KHC，∴△BGE≌△CHK（ASA），∴BE＝CK＜CF．【談?wù)摗勘绢}察看全等三角形的判斷及全等三角形的性質(zhì)，有必定難度，解答本題的重點(diǎn)是結(jié)構(gòu)全等形．11．（10分）如圖，已知△ABC中，AB＞AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F．求證：AB+CF＞AC+BE．【分析】可在AB上截取AC′＝AC，過C′作C′F′⊥AC于F′，則可得△ACF≌△AC′F′，得出C′F′＝CF，再C′作C′D⊥BE交BE于D，此后在三角形中利用三第11頁（共16頁）角形三邊關(guān)系從而即可得出結(jié)論．【解答】證明：在AB上截取AC′＝AC，C′作C′F′⊥AC于F′（如圖）易證△ACF≌△AC′F′（AAS）所以C′F′＝CF．C′作C′D⊥BE交BE于D，則BD＝BE﹣DE＝BE﹣C′F′，所以BD＝BE﹣CF，在直角三角形BC′D中，BC′＞BD，所以AB﹣AC′＝AB﹣AC＞BE﹣CF，所以AB+CF＞AC+BE．【談?wù)摗勘绢}主要察看了全等三角形的判斷及性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系問題，可以嫻熟掌握．12．（10分）如圖，已知在凸四邊形ABCD中，對角線AC、BD訂交于O，且AC⊥BD，OAOC，OB＞OD．求證：BC+AD＞AB+CD．【分析】可經(jīng)過作協(xié)助線將不一樣樣線段轉(zhuǎn)變到一個或兩個三角形中，再經(jīng)過線段之間的轉(zhuǎn)變從而最后得出結(jié)論．【解答】證明：在OA上截取OC′＝OC，在OB上截取OD′＝OD，連結(jié)C′D′，AD′，BC′，設(shè)BC′、AD′交于E（如圖），第12頁（共16頁）易證△COD≌△C′OD′（SAS），所以CD＝C′D′，易證△AOD≌△AOD′，△COB≌△C′OB（SAS），所以AD＝AD′，CB＝C′B，在△C′D′E中，C′E+D′E＞C′D′①在△ABE中，AE+BE＞AB②+②得AE+D′E+BE+C′E＞AB+C′D′，所以AD′+BC′＞AB+CD，所以AD+BC＞AB+CD．【談?wù)摗勘绢}主要察看了全等三角形的判斷及性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系問題，可以嫻熟掌握．13．（11分）如圖，已知在線段BC同側(cè)作兩個三角形△ABC和△DBC，使AB＝AC，DB＞DC且AB+AC＝DB+DC，設(shè)AC與DB交于E．求證：AE＞DE．【分析】由已知可得BD＞AC，在BD上截取DF＝AC，連結(jié)AF、AD，依據(jù)三角形三邊關(guān)系可得AF＞CD，再由在兩個三角形中，假如有兩對應(yīng)邊分別相等，那么對邊較大的，其夾角也較大，可得∠1＞∠2，再依據(jù)大角對大邊即可證明AE＞DE．【解答】證明：由已知可得2BD＞BD+DC＝AB+AC＝2AC，BD＞AC，BD上截取DF＝AC，連結(jié)AF、AD（如圖）∵BD+DC＝2AC，∴DC+BF＝AB，第13頁（共16頁）∴在△BAF中，AF＞AB﹣BF＝DC．在△BAD與△ADF中，AD＝AD，AC＝DF，AF＞CD，∴∠1＞∠2，AE＞DE．【談?wù)摗勘绢}察看了三角形三邊關(guān)系．解題的