2023年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案2

中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)2023年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題題號一二三總分1～56～1011121314得分評卷人復(fù)查人答題時(shí)注意：1．用圓珠筆或鋼筆作答；2．解答書寫時(shí)不要超過裝訂線；3．草稿紙不上交.一、選擇題〔共5小題，每題7分，共35分.每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請將正確選項(xiàng)的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分〕1〔甲〕．如果實(shí)數(shù)，，在數(shù)軸上的位置如下圖，那么代數(shù)式可以化簡為〔〕．A．B．C．D．1〔乙〕．如果，那么的值為〔〕．A．B．C．2D．2〔甲〕．如果正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為〔〕．A．B．C．D．2〔乙〕．在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式的整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)的個(gè)數(shù)為〔〕．A．10B．9C．7D．53〔甲〕．如果為給定的實(shí)數(shù)，且，那么這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對值是〔〕．A．1B．C．D．3〔乙〕．如圖，四邊形中，、是對角線，是等邊三角形．，，，那么的長為〔〕．A．B．4C．D．4.54〔甲〕．小倩和小玲每人都有假設(shè)干面值為整數(shù)元的人民幣．小倩對小玲說：“你假設(shè)給我2元，我的錢數(shù)將是你的倍〞；小玲對小倩說：“你假設(shè)給我元，我的錢數(shù)將是你的2倍〞，其中為正整數(shù)，那么的可能值的個(gè)數(shù)是〔〕．A．1B．2C．3D．44〔乙〕．如果關(guān)于的方程是正整數(shù)〕的正根小于3，那么這樣的方程的個(gè)數(shù)是〔〕．A．5B．6C．7D．85〔甲〕．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6．?dāng)S兩次骰子，設(shè)其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的概率為，那么中最大的是〔〕．A．B．C．D．5〔乙〕．黑板上寫有共100個(gè)數(shù)字．每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個(gè)數(shù)，然后刪去，并在黑板上寫上數(shù)，那么經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是〔〕．A．2023B．101C．100D．99二、填空題〔共5小題，每題7分，共35分〕6〔甲〕．按如圖的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行從“輸入一個(gè)值x〞到“結(jié)果是否〞為一次操作.如果操作進(jìn)行四次才停止，那么的取值范圍是.6〔乙〕.如果，，是正數(shù)，且滿足，，那么的值為．7〔甲〕．如圖，正方形的邊長為2，、分別是、的中點(diǎn)，與、分別交于點(diǎn)、，那么的面積是.7〔乙〕．如圖，的半徑為20，是上一點(diǎn)。以為對角線作矩形，且.延長，與分別交于兩點(diǎn)，那么的值等于．8〔甲〕．如果關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，那么的值為．8〔乙〕．設(shè)為整數(shù)，且.假設(shè)能被5整除，那么所有的個(gè)數(shù)為.9〔甲〕．2位八年級同學(xué)和位九年級同學(xué)一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場．記分規(guī)那么是：每場比賽勝者得3分，負(fù)者得0分；平局各得1分.比賽結(jié)束后，所有同學(xué)的得分總和為130分，而且平局?jǐn)?shù)不超過比賽局?jǐn)?shù)的一半，那么的值為.9〔乙〕．如果正數(shù)，，可以是一個(gè)三角形的三邊長，那么稱是三角形數(shù)．假設(shè)和均為三角形數(shù)，且，那么的取值范圍是.10〔甲〕．如圖，四邊形內(nèi)接于，是直徑，.分別延長，，交點(diǎn)為.作，并與的延長線交于點(diǎn).假設(shè)，，那么的長為.10〔乙〕．是偶數(shù)，且．假設(shè)有唯一的正整數(shù)對使得成立，那么這樣的的個(gè)數(shù)為．三、解答題〔共4題，每題20分，共80分〕11〔甲〕．二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有；關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和小于．求的取值范圍．11〔乙〕．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．與軸交于點(diǎn)，且.經(jīng)過，，三點(diǎn)的圖象是一條拋物線，求這條拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式.12〔甲〕．如圖，的直徑為，過點(diǎn)，且與內(nèi)切于點(diǎn)．為上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．點(diǎn)在上，且，BE的延長線與交于點(diǎn)，求證：．12〔乙〕．如圖，的內(nèi)接四邊形中，，是它的對角線，的中點(diǎn)是的內(nèi)心.求證：〔1〕是的外接圓的切線；〔2〕.13〔甲〕．整數(shù)，滿足：是素?cái)?shù)，且是完全平方數(shù).當(dāng)時(shí)，求的最小值.13〔乙〕．凸邊形中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于？并說明理由．14〔甲〕．求所有正整數(shù)，使得存在正整數(shù)，滿足，且.14〔乙〕．將任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)〔可以相同〕使得，求的最小值．中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)2023年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題1〔甲〕．C解：由實(shí)數(shù)，，在數(shù)軸上的位置可知，且，所以．1〔乙〕．B解：．2〔甲〕．D解：由題設(shè)知，，，所以.解方程組得所以另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為.注：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對稱性，可知兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為.2〔乙〕．B解：由題設(shè)，得.因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以有解得以上共計(jì)9對.3〔甲〕．D解：由題設(shè)知，，所以這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，于是.3〔乙〕．B解：如圖，以為邊作等邊，連接.由于，，，所以，.又因?yàn)?，所?在中，于是，所以.4〔甲〕．D解：設(shè)小倩所有的錢數(shù)為元、小玲所有的錢數(shù)為元，均為非負(fù)整數(shù).由題設(shè)可得消去得，.因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的值分別為1，3，5，15，所以的值只能為4，5，6，11．從而的值分別為8，3，2，1；的值分別為14，7，6，7．4〔乙〕．C解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知，兩根的乘積為，故方程的根為一正一負(fù)．由二次函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，，所以，即.由于都是正整數(shù)，所以，；或，，此時(shí)都有.于是共有7組符合題意．5〔甲〕．D解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對共有36個(gè)，其和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的有序數(shù)對有9個(gè)，8個(gè)，9個(gè)，10個(gè)，所以，因此最大．5〔乙〕．C解：因?yàn)?，所以每次操作前和操作后，黑板上的每個(gè)數(shù)加1后的乘積不變．設(shè)經(jīng)過99次操作后黑板上剩下的數(shù)為，那么，解得，．二、填空題6〔甲〕．解：前四次操作的結(jié)果分別為，，，由得解得.容易驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，，故的取值范圍是．6〔乙〕．7解：由可得．7〔甲〕．8解：連接，記正方形的邊長為2.由題設(shè)易知，所以，由此得，所以.在中，因?yàn)?，所以，于?由題設(shè)可知，所以，.于是，，.又，所以.因?yàn)?，所?7〔乙〕．解：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，那么．因?yàn)?，所以，．所?8〔甲〕．解：根據(jù)題意，關(guān)于的方程有，由此得．又，所以，從而.此時(shí)方程為，解得.故．8〔乙〕．1610解：因?yàn)?=.當(dāng)被5除余數(shù)是1或4時(shí)，或能被5整除，那么能被5整除；當(dāng)被5除余數(shù)是2或3時(shí)，能被5整除，那么能被5整除；當(dāng)被5除余數(shù)是0時(shí)，不能被5整除.所以符合題設(shè)要求的所有的個(gè)數(shù)為．9〔甲〕．8解：設(shè)平局?jǐn)?shù)為，勝〔負(fù)〕局?jǐn)?shù)為，由題設(shè)知，由此得.又，所以.于是，，由此得，或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，不合題設(shè).故．9〔乙〕．解：由題設(shè)得所以，即.整理得，由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，得.又因?yàn)?，所?10〔甲〕．解：如圖，連接，，.由是的直徑知.依題設(shè)，四邊形是的內(nèi)接四邊形，所以，所以，因此.因?yàn)槭堑陌霃?，，所以垂直平分，，于?因此.由，知．因?yàn)?，所以，，?10〔乙〕.12解：由有，且為偶數(shù)，所以同為偶數(shù)，于是是4的倍數(shù)．設(shè)，那么．〔Ⅰ〕假設(shè)，可得，與是正整數(shù)矛盾．〔Ⅱ〕假設(shè)至少有兩個(gè)不同的素因數(shù)，那么至少有兩個(gè)正整數(shù)對滿足；假設(shè)恰是一個(gè)素?cái)?shù)的冪，且這個(gè)冪指數(shù)不小于3，那么至少有兩個(gè)正整數(shù)對滿足．〔Ⅲ〕假設(shè)是素?cái)?shù)，或恰是一個(gè)素?cái)?shù)的冪，且這個(gè)冪指數(shù)為2，那么有唯一的正整數(shù)對滿足．因?yàn)橛形ㄒ徽麛?shù)對，所以m的可能值為2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12個(gè)．三、解答題11〔甲〕．解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒有，所以，即，所以．…………〔5分〕當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，且，解得．…………〔10分〕設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得．因?yàn)?，所以，解得，或．因此．…………?0分〕11〔乙〕．解：因?yàn)?，，所以由勾股定理，?易知，因此.于是，，.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得.所以，，解得.因此為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.…………〔10分〕因此，分別為，的兩條中線，點(diǎn)為的重心，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)經(jīng)過，，三點(diǎn)的拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解得.故經(jīng)過，，三點(diǎn)的拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為.…………〔20分〕12〔甲〕．證明：連接，因?yàn)闉榈闹睆?，所以．又因?yàn)?，所以是等腰三角形．…………?分〕設(shè)與交于點(diǎn)，連接，那么．又因?yàn)?，所以．…………?5分〕又因?yàn)榉謩e是等腰△，等腰△的頂角，所以．…………〔20分〕12〔乙〕．證明：〔1〕如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角的性質(zhì)知所以．同理，.故點(diǎn)是的外心.連接，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，所以，即.故是外接圓的切線.…………〔10分〕〔2〕如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn).由，知.因?yàn)?，，所以，所?又因?yàn)槭堑膬?nèi)心，所以.故．…………〔20分〕13〔甲〕．解：設(shè)〔是素?cái)?shù)〕，〔是正整數(shù)〕.因?yàn)?，所以，…………?分〕因?yàn)榕c都是正整數(shù)，且(為素?cái)?shù))，所以，.解得，.于是.…………〔10分〕又，即.又因?yàn)槭撬財(cái)?shù)，解得.此時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，，.因此，的最小值為2025.…………〔20分〕13〔乙〕．解：假設(shè)凸邊形中有個(gè)內(nèi)角等于，那么不等于的內(nèi)角有個(gè)．〔1〕假設(shè)，由，得，正十二邊形的12個(gè)內(nèi)角都等于；…………〔5分〕〔2〕假設(shè)，且，由，可得，即．當(dāng)時(shí)，存在凸邊形，其中的11個(gè)內(nèi)角等于，其余個(gè)內(nèi)角都等于，．…………〔10分〕〔3〕假設(shè)，且．當(dāng)時(shí)，設(shè)另一個(gè)角等于．存在凸邊形，其中的個(gè)內(nèi)角等于，另一個(gè)內(nèi)角．由可得；由可得，且．…………〔15分〕〔4〕假設(shè)，且，由〔3〕可知．當(dāng)時(shí)，存在凸邊形，其中個(gè)內(nèi)角等于，另兩個(gè)內(nèi)角都等于．綜上，當(dāng)時(shí)，的最大值為12；當(dāng)時(shí)，的最大值為11；當(dāng)時(shí)，的最大值為；當(dāng)時(shí)，的最大值為．…………〔20分〕14〔甲〕．解：由于都是正整數(shù)，且，所以，，…，．于是．…………〔10分〕當(dāng)時(shí)，令，那么.…………〔15分〕當(dāng)時(shí)，其中，令，那么．綜上，滿足條