2023年全國中考數學壓軸題解析匯編(浙蘇贛皖湘鄂省會)

【2023·杭州·22題】〔1〕先求解以下兩題：①如圖①，點B、D在射線AM上，點C、E在射線AN上，且AB=BC=CD=DE，∠EDM=84°，求∠A的度數；②如圖②，在直角坐標系中，點A在y軸正半軸上，AC∥x軸，點B、C的橫坐標都是3，且BC=2，點D在AC上，且橫坐標為1，假設反比例函數y=(x＞0)的圖象經過點B、D，求k的值。〔2〕解題后，你發(fā)現以上兩小題有什么共同點？請簡單寫出。解：〔1〕①∵在△ADE中，∠EDM=∠A+∠AED∴∠AED=∠EDM-∠A∵CD=DE∴∠AED=∠DCE∴∠DCE=∠EDM-∠A∵在△ACD中，∠DCE=∠A+∠ADC∴∠ADC=∠DCE-∠A=∠EDM-2∠A∵BC=CD∴∠ADC=∠DBC∴∠DBC=∠EDM-2∠A∵在△ABC中，∠DBC=∠A+∠ACB∴∠ACB=∠DBC-∠A=∠EDM-3∠A∵AB=BC∴∠A=∠ACB∴∠A=∠EDM-3∠A∴∠A=∠EDM∵∠EDM=84°∴∠A=21°②∵點B在反比例函數圖象上，且橫坐標為3∴可設點B的坐標為〔3，〕∵C的橫坐標是3，且BC=2∴點C的坐標為〔3，〕∵D的橫坐標為1，且AC∥x軸∴點D的坐標為〔1，〕∵點D在反比例函數圖象上∴1·〔〕=k∴k=3〔2〕兩小題的共同點是：用的量通過一定的等量關系去表示未知的量，建立方程解答問題【2023·杭州·23題】如圖，正方形ABCD的邊長為4，對稱中心為點P，點F為BC邊上一個動點，點E在AB邊上，且滿足條件∠EPF=45°，圖中兩塊陰影局部圖形關于直線AC成軸對稱，設它們的面積為S1.〔1〕求證：∠APE=∠CFP；〔2〕設四邊形CMPF的面積為S2，CF=x，y=。①求y關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍，并求出y的最大值；②當圖中兩塊陰影局部圖形關于點P成中心對稱時，求y的值。解：〔1〕過點P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H。∵AC是正方形ABCD的對角線∴∠HPC=∠HCP=45°∵∠EPF=45°∴∠APE+∠HPF=180°-∠EPF-∠HPC=90°∵∠PHF=90°∴∠CFP+∠HPF=90°∴∠APE=∠CFP〔2〕①∵P是正方形ABCD的對稱中心，邊長為4∴PH=GP=2，AP=CP=2∵CF=x∴S△PFC=CF·PH=x∴S2=2S△PFC=2x∵∠APE=∠CFP，∠PAE=∠PCF=45°∴△APE∽△CFP∴∴AE===∴S△APE=AE·GP=∵S△ABC=AB·BC=8∴S四邊形BFPE=S△ABC-S△APE-S△PFC=8--x∴S1=2S四邊形BFPE=16--2x∴y==∵點F在BC邊上，點E在AB邊上，且∠EPF=45°∴2≤x≤4∵y=∴當，即x=2時，y有最大值，最大值為1②因為兩塊陰影局部圖形關于直線AC成軸對稱，要使其關于點P成中心對稱，那么兩塊陰影局部圖形還要關于直線BD成軸對稱，此時BE=BF∴AE=CF那么=x，得x=2或-2(舍去)∴x=2∴y==2-2【2023·南京·26題】二次函數y=a(x-m)2-a(x-m)〔a、m為常數，且a≠0〕?！?〕求證：不管a與m為何值，該函數與x軸總有兩個公共點；〔2〕設該函數的圖象的頂點為C，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D。①當△ABC的面積等于1時，求a的值；②當△ABC的面積與△ABD的面積相等時，求m的值。解：〔1〕當y=0時，a(x-m)2-a(x-m)=0∵a≠0∴x2-(2m+1)x+m2+m=0∵Δ=(2m+1)2-4(m2+m)=4m2+4m+1=1＞0∴方程a(x-m)2-a(x-m)=0恒有兩個不相等的實數根故，不管a與m為何值，該函數與x軸總有兩個公共點〔2〕由y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)(x-m-1)=0解得：x=m或m+1∴點A的坐標為〔m，0〕點B的坐標為〔m+1，0〕∴AB=m+1-m=1①由y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m-)2-a得頂點C的坐標為〔m+，-a〕∵△ABC的面積等于1∴·1·|-a|=1∴a=±8②∵當x=0時，y=am2+am∴點D的坐標為〔0，am2+am〕∴S△ABD=·1·|am2+am|=|am2+am|=|a|·|m2+m|由①可得S△ABC=·1·|-a|=|a|∵S△ABC=S△ABD∴|a|·|m2+m|=|a|∵a≠0∴|m2+m|=當m2+m=時，m2+m-=0解得m=或當m2+m=-時，m2+m+=0解得m=∴m=或或【2023·南京·27題】對于兩個相似三角形，如果沿周界按對應點順序環(huán)繞的方向相同，那么稱這兩個三角形互為順相似；如果沿周界按對應點順序環(huán)繞的方向相反，那么稱這兩個三角形互為逆相似。例如，如圖①，△ABC∽△A’B’C’，且沿周界ABCA與A’B’C’A’環(huán)繞的方向相同，因此△ABC與△A’B’C’互為順相似；如圖②，△ABC∽△A’B’C’，且沿周界ABCA與A’B’C’A’環(huán)繞的方向相反，因此△ABC與△A’B’C’互為逆相似。〔1〕根據圖I、圖II和圖III滿足的條件，可得到以下三對相似三角形：①△ADE與△ABC；②△GHO與△KFO；③△NQP與△NMQ。其中，互為順相似的是；互為逆相似的是〔填寫所有符合要求的序號〕〔2〕如圖③，在銳角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，點P在△ABC的邊上〔不與點A、B、C重合〕。過點P畫直線截△ABC，使截得的一個三角形與△ABC逆相似。請根據點P的不同位置，探索過點P的截線的情形，畫出圖形并說明截線滿足的條件，不必說明理由。解：〔1〕根據定義，結合圖形和條件可知，互為順相似的是①②；互為逆相似的是③?！?〕由題意，分以下三種情況：第一種情況：當P在BC邊上時，過點P能畫出兩條截線PQ1、PQ2，使∠CPQ1=∠A，∠BPQ2=∠A，此時，△PQ1C、△PBQ2均與△第二種情況：當P在AC邊上時，作∠CBM=∠A，BM交AC于M。當點P位于AM上〔不含M〕時，過點P1能畫出一條截線P1Q1，使∠AP1Q1=∠ABC，此時，△AP1Q1與△ABC互為逆相似。當點P位于CM上時，過點P2能畫出兩條截線P2Q2、P2Q3，使∠CP2Q2=∠CBA，∠AP2Q3=∠CBA，此時，△CP2Q2、△AP2Q3均與△ABC互為逆相似。第三種情況：當P在AB邊上時，作∠BCD=∠A，CD交AB于D，作∠ACE=∠B，CE交AB于E。當P在AD上〔不含D〕時，過點P1能畫出一條截線P1Q1，使∠AP1Q1=∠ACB，此時，△AQ1P1與△ABC互為逆相似。當P在DE上時，過點P2能畫出兩條截線P2Q2、P2Q3，使∠AP2Q2=∠ACB，∠BP2Q3=∠ACB，此時，△AQ2P2、△Q3BP2均與△ABC互為逆相似。當P在BE上〔不含E〕時，過點P3能畫出一條截線P3Q4，使∠BP3Q4=∠ACB，此時，△Q4BP3與△ABC互為逆相似?！?023·合肥·22題】某大學生利用暑假40天社會實踐參與了一家網店的經營，了解到了一種本錢20元/件的新型商品在第x天銷售的相關信息如下表示。銷售量p〔件〕p=50-x銷售單價q〔元/件〕當1≤x≤20時，q=30+x當21≤x≤40時，q=20+〔1〕請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件？〔2〕求該網店第x天獲得的利潤y關于x的函數關系式；〔3〕在40天中該網店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？解：〔1〕當1≤x≤20時，q=解得x=10當21≤x≤40時，q=解得x=35故，第10天或第35天該商品的銷售單價為35元/件?！?〕由題意得，y=p(q-20)，那么當1≤x≤20時y當21≤x≤40時y∴利潤y關于x的函數關系式為：〔3〕當1≤x≤20時，∴當x=15時，y有最大值為612.5當21≤x≤40時，由y知，y隨x的增大而減小∴當x=21時，y有最大值，此時最大值為∵612.5＜725∴在這40天中，第21天時獲得的利潤最大，最大利潤為725元?！?023·合肥·23題】我們把有不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準等腰梯形〞，如圖1，四邊形ABCD即為“準等腰梯形〞，其中∠B=∠C〔1〕在圖1所示“準等腰梯形〞ABCD中，選擇適宜的一個頂點引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形〔畫出一種示意圖即可〕；〔2〕如圖2，在“準等腰梯形〞ABCD中，∠B=∠C，E為邊BC上一點，假設AB∥DE，AE∥DC，求證：；〔3〕在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點E,假設EB=EC，請問當點E在四邊形ABCD內部時〔即圖3所示情形〕，四邊形ABCD是不是“準等腰梯形〞，為什么？假設點E不在四邊形ABCD內部時，情況又將如何？寫出你的結論?！膊槐卣f明理由〕解：〔1〕如以下圖所示〔2〕∵AE∥CD，AB∥ED∴∠AEB=∠C，∠B=∠DEC∴△ABE∽△DCE∴∵∠B=∠C∴∠AEB=∠B∴AB=AE∴〔3〕當點E在四邊形ABCD內部時，四邊形ABCD是“準等腰梯形〞。理由如下：過點E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H?！逜E平分∠BAD∴EF=EG∵ED平分∠ADC∴EG=EH∴EF=EH∵EB=EC∴Rt△BFE≌Rt△CHE∴∠FBE=∠HCE∵EB=EC∴∠EBC=∠ECB∴∠FBE+∠EBC=∠HCE+∠ECB∴∠ABC=∠DCB∵AD不平行于BC∴四邊形ABCD是“準等腰梯形〞當點E不在四邊形ABCD內部時，有兩種情況：一、當點E在邊BC上時，四邊形ABCD為“準等腰梯形〞二、當點E在四邊形ABCD的外部時，四邊形ABCD為“準等腰梯形〞【2023·武漢·24題】四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G?！?〕如圖①，假設四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證：；〔2〕如圖②，假設四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當∠B與∠EGC滿足什么關系時，使得成立？并證明你的結論；〔3〕如圖③，假設BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF，請直接寫出的值。解：〔1〕∵DE⊥CF，即∠DGF=90°∴∠ADE+∠CFD=90°∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=∠CDF=90°∴∠ADE+∠AED=90°∴∠AED=∠CFD∴△AED∽△DFC∴〔2〕當∠B+∠EGC=180°時，成立。證明如下：∵∠CGD+∠EGC=180°∴∠B=∠CGD∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠B=∠CDF∴∠CGD=∠CDF∵∠DCG=∠FCD〔公共角〕∴△CDG∽△CFD∴∵AB∥CD∴∠A+∠B=180°∴∠A=∠EGC∵∠DGF=∠EGC〔對頂角〕∴∠A=∠DGF∴∠ADE=∠GDF〔公共角〕∴△ADE∽△GDF∴∴∴〔3〕=。解析如下：連接AC、BD交于H。由條件，易證AC⊥BD，AH=CH∵在四邊形AEGF中，∠BAD=90°，∠EGF=90°∴∠AEG+∠AFG=180°∵∠AEG+∠BED=180°∴∠BED=∠AFG易證∠EBD=∠FAC∴△BED∽△FAC∴=在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD=10，由面積相等AB·AD=BD·AH可求得AH=，那么AC=∴=10÷=【2023·武漢·25題】〔1〕假設直線m的解析式為y=-，求A、B兩點的坐標；〔2〕①假設點P的坐標為〔-2，t〕，當PA=AB時，請直接寫出點A的坐標；②試證明：對于直線l上任意給定的一點P，在拋物線上都能找到點A，使得PA=AB成立。〔3〕設直線l交y軸于點C，假設△AOB的外心在邊AB上，且∠BPC=∠OCP，求點P的坐標。解：〔1〕聯立拋物線和直線m的解析式得=-，即2+x-3=0解得x=1或∵當x=1時，y=1；當x=時，y=∴點A坐標為〔，〕，點B坐標為〔1，1〕〔2〕①∵點P〔-2，t〕在∴-kx-2k-3=0設A〔x1，〕，B〔x2，〕，那么x1+x2=k，x1x2=-2k-3∵PA=AB∴2x1=x2-2上述三式消去k和x2得，+4x+3=0解得x1=-1或-3∴點A坐標為(-1，1)或(-3，9)②設P〔n，-2n-2〕，A〔a，a2〕，過點P、A、B作x軸的垂線，垂足分別為P’、A’、B’?！逷A=AB∴AA’是梯形PP’B’B的中位線∴P’A’=A’B’，2AA’=PP’+BB’∴a-n=xB-a，2a2=-2n-2+y∴B〔xB，yB〕即〔2a-n，2a代入拋物線解析式得：2a2+2n+2=(2a-n)2=4a2+4即2a2+4an+n2-2n-∵Δ=16n2-8(n2-2n-2)=8n2+16n+16=8(n+1)2+8＞0∴對于任意的n，關于a的方程總有兩個不相等的實數根，即對于直線l上任意給定的一點P，在拋物線上都能找到兩個滿足條件的點A?！?〕∵△AOB的外心在邊AB上∴∠AOB=90°過點A、B作x軸的垂線，垂足為E、F。易證得△AEO∽△OFB，那么設A〔r，r2〕，B〔t，t2〕，其中r＜0，t＞0，那么OE=-r，AF=r2，OF=t，BF=t2∴-rt=r2t2，得rt=-1設直線m的解析式為，，聯立拋物線解析式可得-kx-b=0，由韋達定理得，rt=-b∴b=1，那么點D坐標為〔0，1〕由∠BPC=∠OCP∴DP=DC=3設點P坐標為〔n，-2n-2〕，過點P作PK⊥y軸于K，那么PK=|n|，DK=|-2n-3|∵PK2+DK2=DP2=9∴n2+(-2n-3)2=9，即5n2+12n=0∴n=0(舍去)或那么-2n-2=-2×()-2=∴點P坐標為〔，〕【2023·長沙·25題】設a、b是任意兩個不等實數，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實數x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]。對于一個函數，如果它的自變量x與函數值y滿足：當m≤x≤n時，有m≤y≤n，我們就稱此函數是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數〞?！?〕反比例函數y=是閉區(qū)間[1，2023]上的“閉函數〞嗎？請判斷并說明理由；〔2〕假設一次函數y=kx+b(k≠0)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數〞，求此函數的解析式；〔3〕假設二次函數y=是閉區(qū)間[a，b]上的“閉函數〞，求實數a、b的值。解：〔1〕反比例函數y=是閉區(qū)間[1，2023]上“閉函數〞，理由如下：∵當x=1時，y=2023；當x=2023時，y=1且函數y=在閉區(qū)間[1，2023]上，y隨x的增大而減小∴當1≤x≤2023時，有1≤y≤2023，符合“閉函數〞定義，故是閉函數?！?〕分如下兩種情況：①當k＞0時，y隨x的增大而增大由題意知，當x=m時，y=km+b=m當x=n時，y=kn+b=n解此方程組得：k=1，b=0∴函數解析式為y=x②當k＜0時，y隨x的增大而減小由題意知，當x=m時，y=km+b=n當x=n時，y=kn+b=m解此方程組得：k=-1，b=m+n∴函數解析式為y=-x+m+n〔3〕由y==知，二次函數開口向上，對稱軸為x=2，最小值為，且當x＜2時，y隨x的增大而減小；當x＞2時，y隨x的增大而增大。①當b≤2時，y隨x的增大而減小，那么當x=a時，y==b……(i)當x=b時，y==a……(ii)(i)-(ii)并整理得：(a-b)(a+b+1)=0∵a≠b∴a+b+1=0……(iii)解(i)(iii)方程組的得或∵a＜b∴②當a＜2＜b時，此時，a=，而由“閉函數〞定義，對于b，那么有如下兩種可能：即b==＜2，故不可能或=b，即解得b=或(舍去)∴a=，b=③當a≥2時，y隨x的增大而增大，那么當x=a時，y==a當x=b時，y==b即a、b是方程的兩個根解得a=＜2，b=，故舍去綜上可得，或【2023·長沙·26題】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x+2與x軸、y軸交于點A、B，動點P(a，b)在第一象限內，由點P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN〔垂足為M、N〕分別與直線AB相交于點E、F，當點P(a，b)運動時，矩形PMON的面積為定值2.〔1〕求∠OAB的度數；〔2〕求證：△AOF∽△BEO；〔3〕當點E、F都在線段AB上時，由三條線段AE、EF、BF組成一個三角形，記此三角形的外接圓面積為S1，△OEF的面積為S2。試探究：S1+S2是否存在最小值？假設存在，請求出該最小值；假設不存在，請說明理由。解：〔1〕由y=-x+2知，∵當x=0時，y=2∴B〔0，2〕，即OB=2∵當y=0時，x=2∴A〔2，0〕，即OA=2∵OA=OB∴△AOB是等腰直角三角形∴∠OAB=45°〔2〕∵EM∥OB∴∵FN∥OA∴∴AF·BE=ON·OM=2OM·ON∵矩形PMON的面積為2∴OM·ON=2∴AF·BE=4∵OA·OB=4∴AF·BE=OA·OB，即∵∠OAF=∠EBO=45°∴△AOF∽△BEO〔3〕易證△AME、△BNF、△PEF為等腰直角三角形∵AM=EM=2-a∴AE2=2(2-a)2=2a2-∵BN=FN=2-b∴BF2=2(2-b)2=2b2-8b+8∵PF=PE=a+b-2∴EF2=2(a+b-2)2=2a2+4ab+2b2-8a-∵ab=2∴EF2=2a2+2b2-8a-∵EF2=AE2+BF2∴由線段AE、EF、BF組成的三角形為直角三角形，且EF為斜邊，那么此三角形的外接圓面積為：S1=EF2=·2(a+b-2)2=(a+b-2)2∵S梯形OMPF=(PF+OM)·PMS△PEF=PF·PE，S△OME=OM·EM∴S2=S梯形OMPF-S△PEF-S△OME=(PF+OM)·PM-PF·PE-OM·EM=[PF·(PM-PE)+OM·(PM-EM)]=(PF·EM+OM·PE)=PE·〔EM+OM)=(a+b-2)(2-a+a)=a+b-2∴S1+S2=(a+b-2)2+(a+b-2)設m=a+b-2，那么S1+S2=m2+m=(m+)2-∵面積之和不可能為負數∴當m＞-時，S1+S2隨m的增大而增大∴當m最小時，S1+S2就最小∵m=a+b-2=a+-2=()2+2-2∴當，即a=b=時，m最小，最小值為2-2∴S1+S2的最小值=(2-2)2+2-2=2(3-2)π+2-2【2023·南昌·24題】某數學活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷了如下過程：〔1〕操作發(fā)現：在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，M是BC的中點，連接MD和ME，那么以下結論正確的是〔填序號即可〕：①AF=AG=AB；②MD=ME；③整個圖形是軸對稱圖形；④MD⊥ME?！?〕數學思考：在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點，連接MD和ME，那么MD與ME具有怎樣的數量關系？請給出證明過程；〔3〕類比探究：〔i〕在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內側作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀。答：〔ii〕在三邊互不相等的△ABC中(見備用圖)，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內側作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE，M是BC的中點，連接MD和ME，要使〔2〕中的結論仍然成立，你認為應添加一個什么樣的條件？〔限用題中字母表示〕并說明理由。解：〔1〕正確結論為①②③?！?〕MD=ME。證明如下：過點D作DF⊥AB于F，連接FM；過點E作EG⊥AC于G，連接GM?！摺鰽BD為等腰直角三角形，DF⊥AB∴F為AB的中點，且DF=AB同理可證，G為AC的中點，且EG=AC∵M為BC的中點∴FM∥AC，且FM=AC同理可證，GM∥AB，GM=AB∵FM∥AC，GM∥AB∴四邊形AFMG是平行四邊形∴∠AFM=∠AGM∵∠AFD=∠AGE=90°∴∠DFM=∠MGE∵FM=EG=AC，DF=GM=AB∴△DFM≌△MGE∴MD=ME〔3〕〔i〕△MED是等腰直角三角形。證明方法與(2)相同，得△DFM≌△MGE∴MD=ME，∠MDF=∠EMG令DF與MG交于K，MG∥AB，DF⊥AB那么DF⊥MG，即∠MKD=90°∴∠DME=90°∴△MED是等腰直角三角形〔ii〕當∠ABD=∠ACE時，結論MD=ME仍然成立。取AB的中點F，連接DF，MF；取AC的中點G，連接EG，MG。那么DF=AB，EG=AC與(2)同理，DF=MG，FM=EG，∠BFM=∠CGM∵BF=DF∴△BDF是等腰三角形∵CG=EG∴△CEG是等腰三角形∵∠ABD=∠ACE，即∠FBD=∠GCE∴∠BFD=∠CGE∵∠DFM=∠BFM-∠BFD∠MGE=∠CGM-∠CGE∴∠DFM=∠MGE∴△DFM≌△MGE〔SAS〕∴MD=ME【2023·南昌·25題】拋物線yn=-(x-an)2+an(n為正整數，且0＜a1＜a2＜…＜an)與x軸的交點為An-1(bn-1，0)和An(bn，0)，當n=1時，第1條拋物線y1=-(x-a1)2+a1與x軸的交點為A0(0，0)和A1(b1，0)，其他依此類推?！?〕求a1，b1的值及拋物線y2的解析式；〔2〕拋物線y3的頂點坐標為〔，〕；依此類推第n條拋物線yn的頂點坐標為〔，〕；〔用含n的式子表示〕；所有拋物線的頂點坐標滿