2023年全國中考數(shù)學(xué)壓軸題解析匯編(浙蘇贛皖湘鄂省會(huì))

【2023·杭州·22題】〔1〕先求解以下兩題：①如圖①，點(diǎn)B、D在射線AM上，點(diǎn)C、E在射線AN上，且AB=BC=CD=DE，∠EDM=84°，求∠A的度數(shù)；②如圖②，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，AC∥x軸，點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)都是3，且BC=2，點(diǎn)D在AC上，且橫坐標(biāo)為1，假設(shè)反比例函數(shù)y=(x＞0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B、D，求k的值。〔2〕解題后，你發(fā)現(xiàn)以上兩小題有什么共同點(diǎn)？請簡單寫出。解：〔1〕①∵在△ADE中，∠EDM=∠A+∠AED∴∠AED=∠EDM-∠A∵CD=DE∴∠AED=∠DCE∴∠DCE=∠EDM-∠A∵在△ACD中，∠DCE=∠A+∠ADC∴∠ADC=∠DCE-∠A=∠EDM-2∠A∵BC=CD∴∠ADC=∠DBC∴∠DBC=∠EDM-2∠A∵在△ABC中，∠DBC=∠A+∠ACB∴∠ACB=∠DBC-∠A=∠EDM-3∠A∵AB=BC∴∠A=∠ACB∴∠A=∠EDM-3∠A∴∠A=∠EDM∵∠EDM=84°∴∠A=21°②∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，且橫坐標(biāo)為3∴可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔3，〕∵C的橫坐標(biāo)是3，且BC=2∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔3，〕∵D的橫坐標(biāo)為1，且AC∥x軸∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔1，〕∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上∴1·〔〕=k∴k=3〔2〕兩小題的共同點(diǎn)是：用的量通過一定的等量關(guān)系去表示未知的量，建立方程解答問題【2023·杭州·23題】如圖，正方形ABCD的邊長為4，對稱中心為點(diǎn)P，點(diǎn)F為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，且滿足條件∠EPF=45°，圖中兩塊陰影局部圖形關(guān)于直線AC成軸對稱，設(shè)它們的面積為S1.〔1〕求證：∠APE=∠CFP；〔2〕設(shè)四邊形CMPF的面積為S2，CF=x，y=。①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍，并求出y的最大值；②當(dāng)圖中兩塊陰影局部圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對稱時(shí)，求y的值。解：〔1〕過點(diǎn)P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H。∵AC是正方形ABCD的對角線∴∠HPC=∠HCP=45°∵∠EPF=45°∴∠APE+∠HPF=180°-∠EPF-∠HPC=90°∵∠PHF=90°∴∠CFP+∠HPF=90°∴∠APE=∠CFP〔2〕①∵P是正方形ABCD的對稱中心，邊長為4∴PH=GP=2，AP=CP=2∵CF=x∴S△PFC=CF·PH=x∴S2=2S△PFC=2x∵∠APE=∠CFP，∠PAE=∠PCF=45°∴△APE∽△CFP∴∴AE===∴S△APE=AE·GP=∵S△ABC=AB·BC=8∴S四邊形BFPE=S△ABC-S△APE-S△PFC=8--x∴S1=2S四邊形BFPE=16--2x∴y==∵點(diǎn)F在BC邊上，點(diǎn)E在AB邊上，且∠EPF=45°∴2≤x≤4∵y=∴當(dāng)，即x=2時(shí)，y有最大值，最大值為1②因?yàn)閮蓧K陰影局部圖形關(guān)于直線AC成軸對稱，要使其關(guān)于點(diǎn)P成中心對稱，那么兩塊陰影局部圖形還要關(guān)于直線BD成軸對稱，此時(shí)BE=BF∴AE=CF那么=x，得x=2或-2(舍去)∴x=2∴y==2-2【2023·南京·26題】二次函數(shù)y=a(x-m)2-a(x-m)〔a、m為常數(shù)，且a≠0〕?！?〕求證：不管a與m為何值，該函數(shù)與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；〔2〕設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D。①當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，求a的值；②當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時(shí)，求m的值。解：〔1〕當(dāng)y=0時(shí)，a(x-m)2-a(x-m)=0∵a≠0∴x2-(2m+1)x+m2+m=0∵Δ=(2m+1)2-4(m2+m)=4m2+4m+1=1＞0∴方程a(x-m)2-a(x-m)=0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根故，不管a與m為何值，該函數(shù)與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)〔2〕由y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)(x-m-1)=0解得：x=m或m+1∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔m，0〕點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔m+1，0〕∴AB=m+1-m=1①由y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m-)2-a得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔m+，-a〕∵△ABC的面積等于1∴·1·|-a|=1∴a=±8②∵當(dāng)x=0時(shí)，y=am2+am∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔0，am2+am〕∴S△ABD=·1·|am2+am|=|am2+am|=|a|·|m2+m|由①可得S△ABC=·1·|-a|=|a|∵S△ABC=S△ABD∴|a|·|m2+m|=|a|∵a≠0∴|m2+m|=當(dāng)m2+m=時(shí)，m2+m-=0解得m=或當(dāng)m2+m=-時(shí)，m2+m+=0解得m=∴m=或或【2023·南京·27題】對于兩個(gè)相似三角形，如果沿周界按對應(yīng)點(diǎn)順序環(huán)繞的方向相同，那么稱這兩個(gè)三角形互為順相似；如果沿周界按對應(yīng)點(diǎn)順序環(huán)繞的方向相反，那么稱這兩個(gè)三角形互為逆相似。例如，如圖①，△ABC∽△A’B’C’，且沿周界ABCA與A’B’C’A’環(huán)繞的方向相同，因此△ABC與△A’B’C’互為順相似；如圖②，△ABC∽△A’B’C’，且沿周界ABCA與A’B’C’A’環(huán)繞的方向相反，因此△ABC與△A’B’C’互為逆相似?！?〕根據(jù)圖I、圖II和圖III滿足的條件，可得到以下三對相似三角形：①△ADE與△ABC；②△GHO與△KFO；③△NQP與△NMQ。其中，互為順相似的是；互為逆相似的是〔填寫所有符合要求的序號(hào)〕〔2〕如圖③，在銳角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，點(diǎn)P在△ABC的邊上〔不與點(diǎn)A、B、C重合〕。過點(diǎn)P畫直線截△ABC，使截得的一個(gè)三角形與△ABC逆相似。請根據(jù)點(diǎn)P的不同位置，探索過點(diǎn)P的截線的情形，畫出圖形并說明截線滿足的條件，不必說明理由。解：〔1〕根據(jù)定義，結(jié)合圖形和條件可知，互為順相似的是①②；互為逆相似的是③。〔2〕由題意，分以下三種情況：第一種情況：當(dāng)P在BC邊上時(shí)，過點(diǎn)P能畫出兩條截線PQ1、PQ2，使∠CPQ1=∠A，∠BPQ2=∠A，此時(shí)，△PQ1C、△PBQ2均與△第二種情況：當(dāng)P在AC邊上時(shí)，作∠CBM=∠A，BM交AC于M。當(dāng)點(diǎn)P位于AM上〔不含M〕時(shí)，過點(diǎn)P1能畫出一條截線P1Q1，使∠AP1Q1=∠ABC，此時(shí)，△AP1Q1與△ABC互為逆相似。當(dāng)點(diǎn)P位于CM上時(shí)，過點(diǎn)P2能畫出兩條截線P2Q2、P2Q3，使∠CP2Q2=∠CBA，∠AP2Q3=∠CBA，此時(shí)，△CP2Q2、△AP2Q3均與△ABC互為逆相似。第三種情況：當(dāng)P在AB邊上時(shí)，作∠BCD=∠A，CD交AB于D，作∠ACE=∠B，CE交AB于E。當(dāng)P在AD上〔不含D〕時(shí)，過點(diǎn)P1能畫出一條截線P1Q1，使∠AP1Q1=∠ACB，此時(shí)，△AQ1P1與△ABC互為逆相似。當(dāng)P在DE上時(shí)，過點(diǎn)P2能畫出兩條截線P2Q2、P2Q3，使∠AP2Q2=∠ACB，∠BP2Q3=∠ACB，此時(shí)，△AQ2P2、△Q3BP2均與△ABC互為逆相似。當(dāng)P在BE上〔不含E〕時(shí)，過點(diǎn)P3能畫出一條截線P3Q4，使∠BP3Q4=∠ACB，此時(shí)，△Q4BP3與△ABC互為逆相似?！?023·合肥·22題】某大學(xué)生利用暑假40天社會(huì)實(shí)踐參與了一家網(wǎng)店的經(jīng)營，了解到了一種本錢20元/件的新型商品在第x天銷售的相關(guān)信息如下表示。銷售量p〔件〕p=50-x銷售單價(jià)q〔元/件〕當(dāng)1≤x≤20時(shí)，q=30+x當(dāng)21≤x≤40時(shí)，q=20+〔1〕請計(jì)算第幾天該商品的銷售單價(jià)為35元/件？〔2〕求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕在40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？解：〔1〕當(dāng)1≤x≤20時(shí)，q=解得x=10當(dāng)21≤x≤40時(shí)，q=解得x=35故，第10天或第35天該商品的銷售單價(jià)為35元/件?！?〕由題意得，y=p(q-20)，那么當(dāng)1≤x≤20時(shí)y當(dāng)21≤x≤40時(shí)y∴利潤y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：〔3〕當(dāng)1≤x≤20時(shí)，∴當(dāng)x=15時(shí)，y有最大值為612.5當(dāng)21≤x≤40時(shí)，由y知，y隨x的增大而減小∴當(dāng)x=21時(shí)，y有最大值，此時(shí)最大值為∵612.5＜725∴在這40天中，第21天時(shí)獲得的利潤最大，最大利潤為725元?！?023·合肥·23題】我們把有不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形〞，如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形〞，其中∠B=∠C〔1〕在圖1所示“準(zhǔn)等腰梯形〞ABCD中，選擇適宜的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線將四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)梯形〔畫出一種示意圖即可〕；〔2〕如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形〞ABCD中，∠B=∠C，E為邊BC上一點(diǎn)，假設(shè)AB∥DE，AE∥DC，求證：；〔3〕在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點(diǎn)E,假設(shè)EB=EC，請問當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)〔即圖3所示情形〕，四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形〞，為什么？假設(shè)點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，情況又將如何？寫出你的結(jié)論?！膊槐卣f明理由〕解：〔1〕如以下圖所示〔2〕∵AE∥CD，AB∥ED∴∠AEB=∠C，∠B=∠DEC∴△ABE∽△DCE∴∵∠B=∠C∴∠AEB=∠B∴AB=AE∴〔3〕當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形〞。理由如下：過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H?！逜E平分∠BAD∴EF=EG∵ED平分∠ADC∴EG=EH∴EF=EH∵EB=EC∴Rt△BFE≌Rt△CHE∴∠FBE=∠HCE∵EB=EC∴∠EBC=∠ECB∴∠FBE+∠EBC=∠HCE+∠ECB∴∠ABC=∠DCB∵AD不平行于BC∴四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形〞當(dāng)點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，有兩種情況：一、當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，四邊形ABCD為“準(zhǔn)等腰梯形〞二、當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD的外部時(shí)，四邊形ABCD為“準(zhǔn)等腰梯形〞【2023·武漢·24題】四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G?！?〕如圖①，假設(shè)四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證：；〔2〕如圖②，假設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時(shí)，使得成立？并證明你的結(jié)論；〔3〕如圖③，假設(shè)BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF，請直接寫出的值。解：〔1〕∵DE⊥CF，即∠DGF=90°∴∠ADE+∠CFD=90°∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=∠CDF=90°∴∠ADE+∠AED=90°∴∠AED=∠CFD∴△AED∽△DFC∴〔2〕當(dāng)∠B+∠EGC=180°時(shí)，成立。證明如下：∵∠CGD+∠EGC=180°∴∠B=∠CGD∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠B=∠CDF∴∠CGD=∠CDF∵∠DCG=∠FCD〔公共角〕∴△CDG∽△CFD∴∵AB∥CD∴∠A+∠B=180°∴∠A=∠EGC∵∠DGF=∠EGC〔對頂角〕∴∠A=∠DGF∴∠ADE=∠GDF〔公共角〕∴△ADE∽△GDF∴∴∴〔3〕=。解析如下：連接AC、BD交于H。由條件，易證AC⊥BD，AH=CH∵在四邊形AEGF中，∠BAD=90°，∠EGF=90°∴∠AEG+∠AFG=180°∵∠AEG+∠BED=180°∴∠BED=∠AFG易證∠EBD=∠FAC∴△BED∽△FAC∴=在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD=10，由面積相等AB·AD=BD·AH可求得AH=，那么AC=∴=10÷=【2023·武漢·25題】〔1〕假設(shè)直線m的解析式為y=-，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕①假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔-2，t〕，當(dāng)PA=AB時(shí)，請直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；②試證明：對于直線l上任意給定的一點(diǎn)P，在拋物線上都能找到點(diǎn)A，使得PA=AB成立?！?〕設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)C，假設(shè)△AOB的外心在邊AB上，且∠BPC=∠OCP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：〔1〕聯(lián)立拋物線和直線m的解析式得=-，即2+x-3=0解得x=1或∵當(dāng)x=1時(shí)，y=1；當(dāng)x=時(shí)，y=∴點(diǎn)A坐標(biāo)為〔，〕，點(diǎn)B坐標(biāo)為〔1，1〕〔2〕①∵點(diǎn)P〔-2，t〕在∴-kx-2k-3=0設(shè)A〔x1，〕，B〔x2，〕，那么x1+x2=k，x1x2=-2k-3∵PA=AB∴2x1=x2-2上述三式消去k和x2得，+4x+3=0解得x1=-1或-3∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1，1)或(-3，9)②設(shè)P〔n，-2n-2〕，A〔a，a2〕，過點(diǎn)P、A、B作x軸的垂線，垂足分別為P’、A’、B’?！逷A=AB∴AA’是梯形PP’B’B的中位線∴P’A’=A’B’，2AA’=PP’+BB’∴a-n=xB-a，2a2=-2n-2+y∴B〔xB，yB〕即〔2a-n，2a代入拋物線解析式得：2a2+2n+2=(2a-n)2=4a2+4即2a2+4an+n2-2n-∵Δ=16n2-8(n2-2n-2)=8n2+16n+16=8(n+1)2+8＞0∴對于任意的n，關(guān)于a的方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即對于直線l上任意給定的一點(diǎn)P，在拋物線上都能找到兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)A?！?〕∵△AOB的外心在邊AB上∴∠AOB=90°過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足為E、F。易證得△AEO∽△OFB，那么設(shè)A〔r，r2〕，B〔t，t2〕，其中r＜0，t＞0，那么OE=-r，AF=r2，OF=t，BF=t2∴-rt=r2t2，得rt=-1設(shè)直線m的解析式為，，聯(lián)立拋物線解析式可得-kx-b=0，由韋達(dá)定理得，rt=-b∴b=1，那么點(diǎn)D坐標(biāo)為〔0，1〕由∠BPC=∠OCP∴DP=DC=3設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為〔n，-2n-2〕，過點(diǎn)P作PK⊥y軸于K，那么PK=|n|，DK=|-2n-3|∵PK2+DK2=DP2=9∴n2+(-2n-3)2=9，即5n2+12n=0∴n=0(舍去)或那么-2n-2=-2×()-2=∴點(diǎn)P坐標(biāo)為〔，〕【2023·長沙·25題】設(shè)a、b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]。對于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)m≤x≤n時(shí)，有m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)〞?！?〕反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1，2023]上的“閉函數(shù)〞嗎？請判斷并說明理由；〔2〕假設(shè)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)〞，求此函數(shù)的解析式；〔3〕假設(shè)二次函數(shù)y=是閉區(qū)間[a，b]上的“閉函數(shù)〞，求實(shí)數(shù)a、b的值。解：〔1〕反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1，2023]上“閉函數(shù)〞，理由如下：∵當(dāng)x=1時(shí)，y=2023；當(dāng)x=2023時(shí)，y=1且函數(shù)y=在閉區(qū)間[1，2023]上，y隨x的增大而減小∴當(dāng)1≤x≤2023時(shí)，有1≤y≤2023，符合“閉函數(shù)〞定義，故是閉函數(shù)?！?〕分如下兩種情況：①當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大由題意知，當(dāng)x=m時(shí)，y=km+b=m當(dāng)x=n時(shí)，y=kn+b=n解此方程組得：k=1，b=0∴函數(shù)解析式為y=x②當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小由題意知，當(dāng)x=m時(shí)，y=km+b=n當(dāng)x=n時(shí)，y=kn+b=m解此方程組得：k=-1，b=m+n∴函數(shù)解析式為y=-x+m+n〔3〕由y==知，二次函數(shù)開口向上，對稱軸為x=2，最小值為，且當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大。①當(dāng)b≤2時(shí)，y隨x的增大而減小，那么當(dāng)x=a時(shí)，y==b……(i)當(dāng)x=b時(shí)，y==a……(ii)(i)-(ii)并整理得：(a-b)(a+b+1)=0∵a≠b∴a+b+1=0……(iii)解(i)(iii)方程組的得或∵a＜b∴②當(dāng)a＜2＜b時(shí)，此時(shí)，a=，而由“閉函數(shù)〞定義，對于b，那么有如下兩種可能：即b==＜2，故不可能或=b，即解得b=或(舍去)∴a=，b=③當(dāng)a≥2時(shí)，y隨x的增大而增大，那么當(dāng)x=a時(shí)，y==a當(dāng)x=b時(shí)，y==b即a、b是方程的兩個(gè)根解得a=＜2，b=，故舍去綜上可得，或【2023·長沙·26題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+2與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在第一象限內(nèi)，由點(diǎn)P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN〔垂足為M、N〕分別與直線AB相交于點(diǎn)E、F，當(dāng)點(diǎn)P(a，b)運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形PMON的面積為定值2.〔1〕求∠OAB的度數(shù)；〔2〕求證：△AOF∽△BEO；〔3〕當(dāng)點(diǎn)E、F都在線段AB上時(shí)，由三條線段AE、EF、BF組成一個(gè)三角形，記此三角形的外接圓面積為S1，△OEF的面積為S2。試探究：S1+S2是否存在最小值？假設(shè)存在，請求出該最小值；假設(shè)不存在，請說明理由。解：〔1〕由y=-x+2知，∵當(dāng)x=0時(shí)，y=2∴B〔0，2〕，即OB=2∵當(dāng)y=0時(shí)，x=2∴A〔2，0〕，即OA=2∵OA=OB∴△AOB是等腰直角三角形∴∠OAB=45°〔2〕∵EM∥OB∴∵FN∥OA∴∴AF·BE=ON·OM=2OM·ON∵矩形PMON的面積為2∴OM·ON=2∴AF·BE=4∵OA·OB=4∴AF·BE=OA·OB，即∵∠OAF=∠EBO=45°∴△AOF∽△BEO〔3〕易證△AME、△BNF、△PEF為等腰直角三角形∵AM=EM=2-a∴AE2=2(2-a)2=2a2-∵BN=FN=2-b∴BF2=2(2-b)2=2b2-8b+8∵PF=PE=a+b-2∴EF2=2(a+b-2)2=2a2+4ab+2b2-8a-∵ab=2∴EF2=2a2+2b2-8a-∵EF2=AE2+BF2∴由線段AE、EF、BF組成的三角形為直角三角形，且EF為斜邊，那么此三角形的外接圓面積為：S1=EF2=·2(a+b-2)2=(a+b-2)2∵S梯形OMPF=(PF+OM)·PMS△PEF=PF·PE，S△OME=OM·EM∴S2=S梯形OMPF-S△PEF-S△OME=(PF+OM)·PM-PF·PE-OM·EM=[PF·(PM-PE)+OM·(PM-EM)]=(PF·EM+OM·PE)=PE·〔EM+OM)=(a+b-2)(2-a+a)=a+b-2∴S1+S2=(a+b-2)2+(a+b-2)設(shè)m=a+b-2，那么S1+S2=m2+m=(m+)2-∵面積之和不可能為負(fù)數(shù)∴當(dāng)m＞-時(shí)，S1+S2隨m的增大而增大∴當(dāng)m最小時(shí)，S1+S2就最小∵m=a+b-2=a+-2=()2+2-2∴當(dāng)，即a=b=時(shí)，m最小，最小值為2-2∴S1+S2的最小值=(2-2)2+2-2=2(3-2)π+2-2【2023·南昌·24題】某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：〔1〕操作發(fā)現(xiàn)：在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，那么以下結(jié)論正確的是〔填序號(hào)即可〕：①AF=AG=AB；②MD=ME；③整個(gè)圖形是軸對稱圖形；④MD⊥ME?！?〕數(shù)學(xué)思考：在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，那么MD與ME具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程；〔3〕類比探究：〔i〕在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀。答：〔ii〕在三邊互不相等的△ABC中(見備用圖)，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，要使〔2〕中的結(jié)論仍然成立，你認(rèn)為應(yīng)添加一個(gè)什么樣的條件？〔限用題中字母表示〕并說明理由。解：〔1〕正確結(jié)論為①②③?！?〕MD=ME。證明如下：過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，連接FM；過點(diǎn)E作EG⊥AC于G，連接GM?！摺鰽BD為等腰直角三角形，DF⊥AB∴F為AB的中點(diǎn)，且DF=AB同理可證，G為AC的中點(diǎn)，且EG=AC∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)∴FM∥AC，且FM=AC同理可證，GM∥AB，GM=AB∵FM∥AC，GM∥AB∴四邊形AFMG是平行四邊形∴∠AFM=∠AGM∵∠AFD=∠AGE=90°∴∠DFM=∠MGE∵FM=EG=AC，DF=GM=AB∴△DFM≌△MGE∴MD=ME〔3〕〔i〕△MED是等腰直角三角形。證明方法與(2)相同，得△DFM≌△MGE∴MD=ME，∠MDF=∠EMG令DF與MG交于K，MG∥AB，DF⊥AB那么DF⊥MG，即∠MKD=90°∴∠DME=90°∴△MED是等腰直角三角形〔ii〕當(dāng)∠ABD=∠ACE時(shí)，結(jié)論MD=ME仍然成立。取AB的中點(diǎn)F，連接DF，MF；取AC的中點(diǎn)G，連接EG，MG。那么DF=AB，EG=AC與(2)同理，DF=MG，F(xiàn)M=EG，∠BFM=∠CGM∵BF=DF∴△BDF是等腰三角形∵CG=EG∴△CEG是等腰三角形∵∠ABD=∠ACE，即∠FBD=∠GCE∴∠BFD=∠CGE∵∠DFM=∠BFM-∠BFD∠MGE=∠CGM-∠CGE∴∠DFM=∠MGE∴△DFM≌△MGE〔SAS〕∴MD=ME【2023·南昌·25題】拋物線yn=-(x-an)2+an(n為正整數(shù)，且0＜a1＜a2＜…＜an)與x軸的交點(diǎn)為An-1(bn-1，0)和An(bn，0)，當(dāng)n=1時(shí)，第1條拋物線y1=-(x-a1)2+a1與x軸的交點(diǎn)為A0(0，0)和A1(b1，0)，其他依此類推?！?〕求a1，b1的值及拋物線y2的解析式；〔2〕拋物線y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔，〕；依此類推第n條拋物線yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔，〕；〔用含n的式子表示〕；所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿