D對弧長曲線積分

會計學1D對弧長曲線積分一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細長構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”

可得為計算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例:

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用第1頁/共22頁設(shè)

是空間中一條有限長的光滑曲線,義在上的一個有界函數(shù),都存在,上對弧長的曲線積分,記作若通過對

的任意分割局部的任意取點,2.定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，

稱為積分弧段.曲線形構(gòu)件的質(zhì)量和對第2頁/共22頁如果L是xOy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對弧長的曲線積分為思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!

對弧長的曲線積分要求ds0,但定積分中dx

可能為負.第3頁/共22頁3.性質(zhì)（,為常數(shù))(

由組成)(l為曲線弧

的長度)第4頁/共22頁二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分第5頁/共22頁說明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計算公式相當于“換元法”.第6頁/共22頁如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標形式:則推廣:

設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則第7頁/共22頁例1.

計算其中L是拋物線與點

B(1,1)之間的一段弧.解:上點O(0,0)第8頁/共22頁例2.計算半徑為R,中心角為的圓弧L

對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度

=1).解:

建立坐標系如圖,則第9頁/共22頁例3.計算其中L為雙紐線解:

在極坐標系下它在第一象限部分為利用對稱性,得第10頁/共22頁例4.計算曲線積分

其中為螺旋的一段弧.解:

線第11頁/共22頁例5.

計算其中為球面被平面所截的圓周.解:由對稱性可知第12頁/共22頁例6.計算其中為球面解:化為參數(shù)方程則第13頁/共22頁例7.有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對原點處單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.第14頁/共22頁內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l

曲線弧

的長度)第15頁/共22頁3.計算?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧第16頁/共22頁思考與練習1.

已知橢圓周長為a,求提示:原式=利用對稱性分析:第17頁/共22頁2.

設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關(guān)于z

軸的轉(zhuǎn)動慣量(2)求它的質(zhì)心.解:

設(shè)其密度為

ρ(常數(shù)).(2)L的質(zhì)量而(1)第18頁/共22頁故重心坐標為作業(yè)P1883(3),(4),(6),(7)5第二節(jié)第19頁/共22頁備用題1.

設(shè)

C

是由極坐標系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求提示:

分段積分第20頁/共22頁2