D格林公式及其應(yīng)用

會(huì)計(jì)學(xué)1D格林公式及其應(yīng)用證明:1)若D既是X-型區(qū)域,又是

Y-

型區(qū)域,且則定理1第1頁/共34頁即同理可證①②①、②兩式相加得:定理1第2頁/共34頁2)若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割為有限個(gè)上述形式的區(qū)域,如圖證畢定理1第3頁/共34頁推論:格林公式例如,所圍面積定理1正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積橢圓第4頁/共34頁例1

設(shè)L是一條分段光滑的閉曲線,證明證則利用格林公式,得

令第5頁/共34頁例2其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).解它與L所圍原式圓周區(qū)域?yàn)镈,則計(jì)算為了使用格林公式,添加輔助線段第6頁/共34頁例3其中L為一無重點(diǎn)且不過原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解設(shè)L所圍區(qū)域?yàn)镈,由格林公式知計(jì)算令第7頁/共34頁在D內(nèi)作圓周取逆時(shí)針方向,,對(duì)區(qū)域應(yīng)用格記L和

lˉ

所圍的區(qū)域?yàn)榱止?得第8頁/共34頁例4其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉域.解,則利用格林公式,有計(jì)算令第9頁/共34頁二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件定理2在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線L,有(2)對(duì)D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無關(guān),函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即設(shè)D是單連通域

,只與起止點(diǎn)有關(guān).第10頁/共34頁(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對(duì)D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).說明:證明(1)(2)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(1))定理2積分與路徑無關(guān)時(shí),曲線積分可記為第11頁/共34頁(2)對(duì)D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即證明(2)(3)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲線積分則同理可證因此有和任一點(diǎn)B(x,y),與路徑無關(guān),有函數(shù)定理2第12頁/共34頁(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有(3)在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即證明

(3)

(4)設(shè)存在函數(shù)

u(x,y)使得則P,Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有定理2第13頁/共34頁證明

(4)(1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖),利用格林公式,得所圍區(qū)域?yàn)樽C畢(1)沿D中任意光滑閉曲線L,有(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有定理2第14頁/共34頁說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域D內(nèi)則2)求曲線積分時(shí),可利用格林公式簡化計(jì)算,3)可用積分法求du=Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動(dòng)點(diǎn)或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點(diǎn)1)計(jì)算曲線積分時(shí),可選擇方便的積分路徑;定理2第15頁/共34頁4)若已知du=

Pdx+Qdy,則對(duì)D內(nèi)任一分段光滑曲定理2線AB,有注:

此式稱為曲線積分的基本公式(P211定理4).

它類似于微積分基本公式:第16頁/共34頁例5是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出這個(gè)函數(shù).證則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使

驗(yàn)證

設(shè)第17頁/共34頁例6在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.證則由定理2

可知存在原函數(shù)

驗(yàn)證

令第18頁/共34頁或第19頁/共34頁

例7其中為拋物線上從到的一段?。谡麄€(gè)所以積分解面內(nèi)都成立，與路徑無關(guān)．故有計(jì)算因?yàn)榈?0頁/共34頁例8作用下沿曲線L:由移動(dòng)到求力場所作的功W解令則有可見,在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān).設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場第21頁/共34頁思考:取圓弧為什么？注意,本題只在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān)!轉(zhuǎn)內(nèi)容小結(jié)積分路徑是否可以取第22頁/共34頁判別:

P,Q

在某單連通域D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),③為全微分方程則求解步驟:方法1湊微分法;方法2利用積分與路徑無關(guān)的條件.1.求原函數(shù)

u(x,y)2.由du=0知通解為

u(x,y)=C.*三、全微分方程則稱為全微分方程.③第23頁/共34頁例9.求解解:因?yàn)楣蔬@是全微分方程.則有因此方程的通解為法1第24頁/共34頁法2此全微分方程的通解為,則有兩邊對(duì)y求導(dǎo)得④⑤由④得與⑤比較得因此方程的通解為第25頁/共34頁例10.求解解:∴這是一個(gè)全微分方程.用湊微分法求通解.將方程改寫為即故原方程的通解為或第26頁/共34頁思考如何解方程這不是一個(gè)全微分方程,就化成例9的方程.使為全微分方程,在簡單情況下,可憑觀察和經(jīng)驗(yàn)根據(jù)微分倒推式得到為原方程的積分因子.但若在方程兩邊同乘注:若存在連續(xù)可微函數(shù)積分因子.第27頁/共34頁內(nèi)容小結(jié)1.格林公式2.等價(jià)條件在

D

內(nèi)與路徑無關(guān).在

D

內(nèi)有對(duì)D

內(nèi)任意閉曲線L有在D

內(nèi)有設(shè)P,Q

在D

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有為全微分方程第28頁/共34頁思考與練習(xí)1.設(shè)且都取正向,問下列計(jì)算是否正確?提示:第29頁/共34頁2.設(shè)提示:第四節(jié)第30頁/共34頁

練習(xí)題1

從點(diǎn)依逆時(shí)針的半圓,計(jì)算解利用格林公式.原式=到點(diǎn)設(shè)

C

為沿添加輔助線如圖,第31頁/共34頁2.

質(zhì)點(diǎn)M沿著以AB為直徑的半圓,從A(1,2)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B(3,4),到原點(diǎn)的距離,解故所求功為銳角,其方向垂直于OM,且與