彈性力學應變分析

會計學1彈性力學應變分析§3-1相對位移張量和應變張量xyzO一.一點的相對位移張量P設點的位移分量為相鄰一點AA1P1位移分量為兩點間的位移（矢量）差將在處展開，并忽略高階項，則第1頁/共23頁

相對位移張量一般為非對稱張量。

相對位移張量反映了一點相對位移的總體情況，既包含了因剛體位移產生的相對位移，又包含了因變形位移產生的相對位移；稱為P點的相對位移張量第2頁/共23頁二.轉動張量xyzOPAA1P1設若為剛體位移，則展開第3頁/共23頁由dxidxj的任意性，其項前系數為零。即所以相對剛體位移張量為反對稱張量，并記為滿足此條件的相對位移張量稱為相對剛體位移張量或轉動張量第4頁/共23頁將相對位移張量分解為對稱和反對稱張量為其中第二項

第一項為不包含剛體位移的相對位移張量，即由變形產生的相對位移張量。稱為應變張量，記為。三.應變張量與對比，即等于轉動張量第5頁/共23頁應變張量是對稱張量第6頁/共23頁§3-2幾何方程——Cauchy方程xyzOP

建立應變與位移的關系，揭示應變張量各分量的物理意義考察P點，

分別沿x、y、z正向引三正交線元r、s、t變形后P點移動到P′點P三線元的長度和相對夾角也發(fā)生變化將三線元變形前后的位置分別向三坐標面投影，建立其應變和位移的關系投影引起的誤差為高階微量以向yz平面投影分析為例第7頁/共23頁yzOPP設P點的坐標為y、zs、t的長度為dy、dz點P到P的位移為v、ws點到s的位移為vs、ws由正應變的定義由切應變的定義t點到t的位移為vt

、wt第8頁/共23頁若向xy平面投影同理可得若向zx平面投影同理可得綜合之此方程組表明了應變與位移的關系，稱為幾何方程或Cauchy方程對比應變張量各分量，可見第9頁/共23頁

應變張量分量與工程應變的原始定義完全相同，但工程切應變是角應變分量的2倍，故一點應變狀態(tài)可由應變張量描述幾何方程可表示為第10頁/共23頁§3-3應變張量的性質由于應變張量是對稱二階張量，因此與應力張量具有類似的性質一.任意方向的正應變和任意兩垂直方向的切應變1.設一點的應變狀態(tài)為ij

，則該點任意方向N(l1,l2,l3)正應變2.設一點的應變狀態(tài)為ij

，兩垂直方向分別為r(l1,l2,l3)和

s(l1,l2,l3)，則該點rs方向上的切應變二.應變狀態(tài)的坐標變換

設一點的應變狀態(tài)在Oxyz坐標系下的應變張量為ij

，旋轉后的坐標系為Oxyz，兩坐標系間的方向余弦為lij

，則第11頁/共23頁三.主應變、主方向

設一點的應變狀態(tài)為ij，xyzOrst123

過此點可作任意組三向正交線元，總存在一組線元在變形前后始終保持正交，即兩兩方向上的切應變?yōu)榱恪?/p>

將該組線元方向稱為應變主方向，沿主方向的正應變稱為主應變。（該組線元所構成的三軸又稱為應變主軸，兩兩線元構成的平面稱為應變主平面。）

由以上定義，類似主應力分析可得1.主平面（主方向）方程其中為主應變，lj為主方向第12頁/共23頁2.主應變方程（特征方程）3.應變不變量三實根按

1

2

3排序第13頁/共23頁4.最大最小應變最大正應變max

1最小正應變min

3最大最小切應變5.八面體應變八面體表面法線方向的正應變八面體表面上兩正交方向的切應變6.應變強度第14頁/共23頁四.體積應變和應變張量分解1.體積應變

由正交三線元可構成一微元體，考察變形前后微元體體積的變化。xyzOP變形前微元體體積變形后微元體邊長其中，表示切應變的高價微量變形后微元體體積第15頁/共23頁定義體積應變可見應變張量的第一不變量的物理意義為體積應變考察位移場即其散度說明應變張量的第一不變量或體積應變的數學意義為位移場的散度當=0時，稱為物體是不可壓縮的，因此不可壓縮的條件為：應變張量的第一不變量為零或位移場的散度為零第16頁/共23頁2.應變張量的分解與應力張量的分解類似，可將應變張量分解為球張量和偏張量其中只有體積改變而無形狀改變只有形狀改變而無體積改變第17頁/共23頁不變量第18頁/共23頁§3-4變形協調方程一.問題的提出

1.根據連續(xù)性假定，受力物體在變形前后都是連續(xù)的。3.由于幾何方程是導出關系，數學上它們之間并不是相互獨立的，而存在著一定的相互制約關系。2.由幾何方程可知，給定位移函數ui可唯一地確定應變分量ij。4.物理上，相互獨立的應變分量不能保證物體的連續(xù)性，物體內在變形時會出現分裂和重疊。二.變形協調關系—應變分量間的關系考察幾何方程在xy平面內第19頁/共23頁所以同理，考察yz和zx平面可得故得第一組變形協調方程考察第20頁/共23頁故得第二組變形協調方程如果作不同的數學運算組合可得若干組變形協調方程●若把幾何方程和變形協調方程視為泛定方程組，因僅聯系九個量（六個應變、三個位移），需九個獨立方程。而幾何方程有六個，故在若干組變形協調方程中，只有三個方程獨立?！裥枰赋?，變形協調方程是應變張量的稟性方程。即，滿足變形協調方程是任何真實應變張量的必要條件。第21頁/共23頁§3-5位移邊界條件

給定邊界上的位移和約束情況（如沉降，固定等），被稱