安徽省蚌埠市田家炳中學(xué)2022年高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)等于()A. B. C.2 D.-22.定義在上的函數(shù)滿足,則()A.-1 B.0 C.1 D.23.已知雙曲線的實(shí)軸長為,離心率為,、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動,若為銳角三角形,則的取值范圍是()A. B. C. D.4.設(shè)點(diǎn),,不共線,則“”是“”()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件5.已知等差數(shù)列中,,則()A.20 B.18 C.16 D.146.在中,D為的中點(diǎn),E為上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),且,相交于點(diǎn)P,則()A. B.C. D.7.已知在平面直角坐標(biāo)系中,圓:與圓:交于,兩點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為()A.1 B.2 C.-1 D.-28.若直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),則()A. B. C.2 D.9.已知定義在上的函數(shù),若函數(shù)為偶函數(shù),且對任意,,都有,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.若函數(shù)有且只有4個不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.11.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,如果在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么實(shí)數(shù)的最大值為()A. B. C. D.12.若復(fù)數(shù)滿足,則(其中為虛數(shù)單位)的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.滿足線性的約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最大值為________14.如圖,在長方體中,,E,F(xiàn),G分別為的中點(diǎn),點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi),若直線平面EFG,則線段長度的最小值是________________.15.已知實(shí)數(shù),滿足,則的最大值為______.16.從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項(xiàng)活動,要求男生中的甲和乙不能同時參加,女生中的丙和丁至少有一名參加,則不同的選法種數(shù)為______.(用數(shù)字作答)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)當(dāng)時,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知橢圓:的離心率為,右焦點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)為坐標(biāo)原點(diǎn),過作兩條射線,分別交橢圓于、兩點(diǎn),若、斜率之積為,求證:的面積為定值.19.(12分)等比數(shù)列中,.(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)記為的前項(xiàng)和.若,求.20.(12分)已知函數(shù),設(shè)為的導(dǎo)數(shù),.(1)求,;(2)猜想的表達(dá)式,并證明你的結(jié)論.21.(12分)某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試,從中隨機(jī)抽取了20人的分?jǐn)?shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分?jǐn)?shù)(以十位數(shù)字為莖,個位數(shù)字為葉):若分?jǐn)?shù)不低于95分,則稱該員工的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”.(1)從這20人中任取3人,求恰有1人成績“優(yōu)秀”的概率;(2)根據(jù)這20人的分?jǐn)?shù)補(bǔ)全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖,并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計所有員工的平均分?jǐn)?shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);②若從所有員工中任選3人,記表示抽到的員工成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.22.(10分)在平面四邊形中,已知,.(1)若,求的面積;(2)若求的長.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

通過復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算,化簡求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)滿足,∴,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,復(fù)數(shù)模長的概念,屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】

推導(dǎo)出,由此能求出的值.【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足,∴,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用,屬于中檔題.3.A【解析】

由已知先確定出雙曲線方程為,再分別找到為直角三角形的兩種情況,最后再結(jié)合即可解決.【詳解】由已知可得,,所以,從而雙曲線方程為,不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線右支上運(yùn)動,則,當(dāng)時,此時,所以,,所以;當(dāng)軸時,,所以,又為銳角三角形,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用,本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況,即為直角三角形,是一道中檔題.4.C【解析】

利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運(yùn)算,結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點(diǎn),,不共線,則“”;故“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項(xiàng)與公差,進(jìn)而求得即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】

設(shè),則,,由B,P,D三點(diǎn)共線,C,P,E三點(diǎn)共線,可知,,解得即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),則,,因?yàn)锽,P,D三點(diǎn)共線,C,P,E三點(diǎn)共線,所以,,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7.D【解析】

由可得,O在AB的中垂線上,結(jié)合圓的性質(zhì)可知O在兩個圓心的連線上,從而可求.【詳解】因?yàn)?,所以O(shè)在AB的中垂線上,即O在兩個圓心的連線上,,,三點(diǎn)共線,所以,得,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)應(yīng)用,幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑.8.B【解析】

計算拋物線的交點(diǎn)為,代入計算得到答案.【詳解】可化為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦點(diǎn),屬于簡單題.9.A【解析】

根據(jù)題意,分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱且在上為減函數(shù),則不等式等價于,解得的取值范圍,即可得答案.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱,因?yàn)閷θ我?,,都有,所以函?shù)在上為減函數(shù),則,解得:.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,涉及不等式的解法,屬于綜合題.10.B【解析】

由是偶函數(shù),則只需在上有且只有兩個零點(diǎn)即可.【詳解】解:顯然是偶函數(shù)所以只需時,有且只有2個零點(diǎn)即可令,則令,遞減,且遞增,且時,有且只有2個零點(diǎn),只需故選:B【點(diǎn)睛】考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍,基礎(chǔ)題.11.B【解析】

根據(jù)條件先求出的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,則,設(shè),則當(dāng)時,,,即,要使在區(qū)間上單調(diào)遞減,則得,得,即實(shí)數(shù)的最大值為,故選:B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換,考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),屬于中檔題.12.B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓上,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定,即可得的最大值.【詳解】由知,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓上,表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)間的距離,又復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在圓的圓心到的距離為1,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的定義及其幾何意義應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域,將直線進(jìn)行平移,利用的幾何意義,可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值?!驹斀狻坑?,得,作出可行域,如圖所示:平移直線,由圖像知,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時,截距最小,此時取得最大值。由,解得,代入直線,得?!军c(diǎn)睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題的解法——平移法。14.【解析】

如圖,連接,證明平面平面EFG.因?yàn)橹本€平面EFG,所以點(diǎn)P在直線AC上.當(dāng)時.線段的長度最小,再求此時的得解.【詳解】如圖,連接,因?yàn)镋,F(xiàn),G分別為AB,BC,的中點(diǎn),所以,平面,則平面.因?yàn)?,所以同理得平面,?所以平面平面EFG.因?yàn)橹本€平面EFG,所以點(diǎn)P在直線AC上.在中,,故當(dāng)時.線段的長度最小,最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明,考查立體幾何中的軌跡問題,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.15.【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域,將目標(biāo)函數(shù)理解為點(diǎn)與構(gòu)成直線的斜率,數(shù)形結(jié)合即可求得.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:因?yàn)榭梢岳斫鉃辄c(diǎn)與構(gòu)成直線的斜率,數(shù)形結(jié)合可知,當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時,斜率取得最大值,故的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查目標(biāo)函數(shù)為斜率型的規(guī)劃問題,屬基礎(chǔ)題.16.1【解析】

由排列組合及分類討論思想分別討論:①設(shè)甲參加,乙不參加,②設(shè)乙參加,甲不參加,③設(shè)甲,乙都不參加,可得不同的選法種數(shù)為9+9+5=1,得解.【詳解】①設(shè)甲參加,乙不參加,由女生中的丙和丁至少有一名參加,可得不同的選法種數(shù)為9,②設(shè)乙參加,甲不參加,由女生中的丙和丁至少有一名參加,可得不同的選法種數(shù)為9,③設(shè)甲,乙都不參加,由女生中的丙和丁至少有一名參加,可得不同的選法種數(shù)為5,綜合①②③得:不同的選法種數(shù)為9+9+5=1,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合及分類討論思想,準(zhǔn)確分類及計算是關(guān)鍵,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)當(dāng)時,的取值范圍為;當(dāng)時,的取值范圍為.【解析】

(1)當(dāng)時,分類討論把不等式化為等價不等式組,即可求解.(2)由絕對值的三角不等式,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時,取“”,分類討論,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時,,不等式可化為或或,解得不等式的解集為.(2)由絕對值的三角不等式,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時,取“”,所以當(dāng)時,的取值范圍為;當(dāng)時,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對值的不等式的求解,以及絕對值三角不等式的應(yīng)用,其中解答中熟記含絕對值不等式的解法,以及合理應(yīng)用絕對值的三角不等式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18.(1);(2)見解析【解析】

(1)由條件可得,再根據(jù)離心率可求得,則可得橢圓方程;(2)當(dāng)與軸垂直時,設(shè)直線的方程為:,與橢圓聯(lián)立求得的坐標(biāo),通過、斜率之積為列方程可得的值,進(jìn)而可得的面積;當(dāng)與軸不垂直時,設(shè),,的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理和、斜率之積為可得,再利用弦長公式求出,以及到的距離,通過三角形的面積公式求解.【詳解】(1)拋物線的焦點(diǎn)為,,,,,,橢圓方程為;(2)(?。┊?dāng)與軸垂直時,設(shè)直線的方程為:代入得:,,,解得:,;(ⅱ)當(dāng)與軸不垂直時,設(shè),,的方程為由,由①,,,即整理得:代入①得:到的距離綜上:為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計算能力,是中檔題.19.(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解析】

(1)先設(shè)數(shù)列的公比為,根據(jù)題中條件求出公比,即可得出通項(xiàng)公式;(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,由等比數(shù)列的求和公式,即可求出結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為,,,或.(2)時,,解得;時,,無正整數(shù)解;綜上所述.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列,熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可,屬于基礎(chǔ)題型.20.,;,證明見解析【解析】

對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),并通過三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式,對函數(shù)再進(jìn)行求導(dǎo)并通過三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式;根據(jù)中,的表達(dá)式進(jìn)行歸納猜想,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】(1),其中,[,其中,(2)猜想,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)時,成立,②假設(shè)時,猜想成立即當(dāng)時,當(dāng)時,猜想成立由①②對成立【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角恒等變換、歸納與猜想和數(shù)學(xué)歸納法;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;熟練掌握用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的步驟是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.21.(1);(2)①82,②分布列見解析,【解析】

(1)從20人中任取3人共有種結(jié)果,恰有1人成績“優(yōu)秀”共有種結(jié)果,利用古典概型的概率計算公式計算即可;(2)①平均數(shù)的估計值為各小矩形的組中值與其面積乘積的和;②要注意服從的是二項(xiàng)分布,不是超幾何分布,利用二項(xiàng)分布的分布列及期望公式求解即可.【詳解】(1)設(shè)從20人中任取3人恰有1人成績“優(yōu)秀”為事件,則,所以,恰有1人“優(yōu)秀”的概率為.(2)組別分組頻數(shù)頻率120.01260.03380.04440.02①,估計所有員工的平均分為82②的可能取值為0、1、2、3,隨機(jī)選取1人是“優(yōu)秀

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